На счет в банке положили некоторую сумму с условием ее ежегодного увеличения на некоторое

Обновлено: 18.04.2024

Страховой фонд владеет акциями, стоимость которых равна \(t^2\) тыс. рублей в конце каждого года \(t\) ( \(t=1; 2; . \) ). Фонд может продать все акции в конце некоторого года и положить все вырученные с продажи средства на счет в банке. Известно, что тогда в конце каждого следующего года банк будет увеличивать сумму, находящую на счете, в \(r\) раз, где \(r\) – некоторое положительное большее единицы число. Оказалось, что если фонд продаст все акции и вложит деньги в банк именно в конце 21-ого года, то в конце 25-ого года он получит наибольшую из возможных прибыль. Определите, какие при этом значения может принимать число \(r\) .

(ЕГЭ 2017, досрочная волна)

Если фонд продаст акции в конце \(t\) -ого год, то на конец 25-ого года они пролежат в банке \(25-t\) лет. Так как каждый год банк увеличивает сумму в \(r\) раз, то за \(25-t\) лет он увеличит ее в \(r^\) раз. Следовательно, на конец 25-ого года фонд будет иметь \[f(t)=t^2\cdot r^ \quad >>\]

Рассмотрим эту функцию. В ней \(r\) – некоторое конкретное, но неизвестное число, а \(t\) – переменная. Найдем ее производную: \[f'=2t\cdot r^+t^2\cdot r^\cdot \ln r\cdot (-1)=r^\cdot t\cdot (2-t\ln r)\] Таким образом, нулем производной, учитывая, что \(t\geqslant 1\) , является \(t=\dfrac2<\ln r>\) .
Причем заметим, что эта точка является точкой максимума. Следовательно, до \(t=\frac2<\ln r>\) функция возрастает, а после – убывает.

Таким образом, если, продав акции в 21-ый год, фонд получит наибольшую из возможных прибыль, то это значит, что мы имеем такую картинку:

(Для примера на картинке точка \(t=21\) находится правее точки максимума, но левее \(t=22\) ; может быть наоборот: \(21\) будет находиться левее точки максимума, но правее \(20\) . Главное, что \(21\) находится между \(20\) и \(22\) и ближе, чем \(20\) или \(22\) , к точке максимума!)

То есть \(f(21)>f(20)\) и \(f(21)>f(22)\) . Из этого условия будет следовать, что \(f(21)>f(t)\) при любом целом \(t\) от 1 до 25. Решим полученную систему: \[\begin 21^2\cdot r^4>20^2\cdot r^5\\ 21^2\cdot r^4>22^2\cdot r^3 \end \quad\Rightarrow\quad \begin r\\[2ex] r>\dfrac \end\] откуда получаем, что \(r\in\left(\dfrac;\dfrac\right).\)

Планируется открыть вклад в банке в размере \(10\) млн рублей на \(4\) года. В конце каждого года банк добавляет \(10\%\) к той сумме, которая была на счете в банке на начало года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет счет на целое число \(m\) млн рублей. Найдите наименьшее значение \(m\) , при котором банк за \(4\) года начислит на вклад более \(7\) млн рублей.

(резервный день, 2016)

\[\begin <|l|c|c|>\hline \text&\text&\text\\ &\text \ \%&\text \ \%\\ \hline 1&10&1,1\cdot 10\\ \hline 2&1,1\cdot 10&1,1^2\cdot 10\\ \hline 3&1,1^2\cdot 10+m&1,1(1,1^2\cdot 10+m)\\ \hline 4&1,1(1,1^2\cdot 10+m)+m&1,1(1,1(1,1^2\cdot 10+m)+m)\\ \hline \end\]

Таким образом, в конце \(4\) -ого года размер вклада составит \(1,1(1,1(1,1^2\cdot 10+m)+m)\) млн рублей. Фраза “банк за \(4\) года начислит на вклад более \(7\) млн рублей” означает, что на конец \(4\) -ого года чистая прибыль по вкладу составит более \(7\) млн рублей.

Для того, чтобы вычислить чистую прибыль, нужно от всей суммы, которая находится на счете на конец \(4\) -ого года, отнять сумму, которую клиент вложил в банк. Таким образом, чистая прибыль составит:
\(1,1(1,1(1,1^2\cdot 10+m)+m)-(10+m+m)\)
Значит, получаем неравенство:
\(1,1(1,1(1,1^2\cdot 10+m)+m)-(10+m+m)>7 \Leftrightarrow 1,1^4\cdot 10+1,1^2m+1,1m-10-2m>7\)

Решив данное неравенство, получим: \(m>\dfrac \Rightarrow\) наименьшее целое \(m=8\) млн рублей.

\(15\) -ого января планируется взять кредит в банке на сумму \(1\) млн рублей на \(6\) месяцев. Условия его возврата таковы:
\(\bullet\) \(1\) -ого числа каждого месяца долг возрастает на целое число \(r\) процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
\(\bullet\) со \(2\) -ого по \(14\) -е числа каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
\(\bullet\) \(15\) -ого числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
\[\begin <|l|c|c|c|c|c|c|c|>\hline \text & 15.01 & 15.02 & 15.03 & 15.04 & 15.05 & 15.06 & 15.07\\ \hline \text & 1 & 0,9 & 0,8 & 0,7 & 0,6 & 0,5 & 0\\ \hline \end\]
Найдите наименьшее значение \(r\) , при котором общая сумма выплат будет составлять более \(1,3\) млн рублей.

(основная волна, 2016)

Составим таблицу, где \(\dfrac=t.\)

\(\begin <|l|c|c|c|c|>\hline \text & \text & \text & \text & \text\\ & \text & \text & \text & \\ & \text & \text & & \\ \hline 1&1 &t &0,9 & t-0,9\\ \hline 2&0,9 &0,9t &0,8 & 0,9t-0,8\\ \hline 3&0,8 &0,8t &0,7 & 0,8t-0,7\\ \hline 4&0,7 &0,7t &0,6 & 0,7t-0,6\\ \hline 5&0,6 &0,6t &0,5 & 0,6t-0,5\\ \hline 6&0,5 &0,5t &0 & 0,5t\\ \hline \end\)

Таким образом, \(r>\dfrac\)
Т.к. \(r\) – целое, то наименьшее \(r\) , удовлетворяющее неравенству — это \(r=7\) .

В августе \(2016\) года планируется взять кредит в банке в размере \(5,3\) млн рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый год в январе долг возрастает на \(y \%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего года;
– с февраля по июль необходимо выплатить часть долга одним платежом;
– в августе \(2017, \ 2018\) и \(2019\) годов долг остается равным \(5,3\) млн рублей;
– платежи в \(2020\) и \(2021\) годах равны.
При каком \(y\) долг будет выплачен полностью, причем общая выплата по кредиту должна составить \(8,18\) млн рублей.

(досрочная волна, резерв, 2016)

Составим таблицу, обозначив за \(x\) млн рублей – годовой платеж в \(2020\) и \(2021\) годах.

\(\begin <|l|c|c|c|>\hline \text&\text&\text&\text\\ \hline 1&5,3 &(1+0,01y)\cdot 5,3 &0,01y\cdot 5,3\\ \hline 2&5,3 &(1+0,01y)\cdot 5,3 &0,01y\cdot 5,3\\ \hline 3&5,3 &(1+0,01y)\cdot 5,3 &0,01y\cdot 5,3\\ \hline 4&5,3 &(1+0,01y)\cdot 5,3 &x\\ \hline 5&(1+0,01y)\cdot 5,3-x &(1+0,01y)((1+0,01y)\cdot 5,3-x) &x\\ \hline \end\)

Т.к. в итоге кредит должен быть погашен, то \((1+0,01y)((1+0,01y)\cdot 5,3-x)=x\)

Общая сумма выплат – это сумма всех платежей: \(3\cdot 0,01y\cdot 5,3+2x=8,18\)

Найдем из этого уравнения платеж \(x=\dfrac\) . Следовательно:

Обозначим за \(t=0,01y\) , тогда уравнение сведется к \(1325t^2+2241t-288=0 \Rightarrow t=0,12 \Rightarrow y=12 \%\)

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на \(10\%\) по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на \(1\) млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше \(10\) млн рублей.

(досрочная волна, \(2016\) )

Пусть \(A\) млн рублей – первоначальный вклад. Составим таблицу:

Т.к. в конце четвертого года вклад должен быть больше \(10\) млн рублей, то имеем следующее неравенство:
\[1,1(1,1(1,1^2A+1)+1)>10 \Rightarrow 1,1^4A+1,1^2+1,1>10\]
Преобразовав данное неравенство, получим:

Выполнив деление в столбик до целой части, получим, что наименьшее целое \(A\) , удовлетворяющее неравенству, \(A=6\) .

Строительство нового аквапарка стоит \(40\ млн. рублей\) . Затраты на обслуживание \(x\) тысяч посетителей составляют \(\fracx^2 + 5x + 3,5\ млн. рублей\) в год. Если билеты продавать по цене \(P\ тыс. рублей\) за штуку, то прибыль аквапарка (в млн. рублей) за один год составит \(Px - \left(\fracx^2 + 5x + 3,5\right)\) . Когда аквапарк будет построен, он будет принимать посетителей в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей (желающих будет предостаточно). При каком наименьшем значении \(P\) строительство аквапарка окупится не более, чем за \(4\) года?

(ЕГЭ 2015, резервный день)

Так как строительство аквапарка должно окупиться не более, чем за \(4\) года, то прибыль за \(4\) года должна составить не менее \(40\ млн. руб.\) , то есть цена \(P\) должна быть такой, чтобы существовало какое-нибудь решение неравенства

\[\begin &4\biggl(Px - \left(\dfracx^2 + 5x + 3,5\right)\biggr)\geqslant 40\qquad\Leftrightarrow\qquad Px - \left(\dfracx^2 + 5x + 3,5\right)\geqslant 10\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad & -\dfracx^2 + (P - 5)x - 3,5\geqslant 10\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfracx^2 - (P - 5)x + 13,5\leqslant 0\,. \end\]

График левой части последнего неравенства при всяком фиксированном \(P\) представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Тогда у последнего неравенства есть решение тогда и только тогда, когда вершина соответствующей параболы лежит не выше оси \(Ox\) : \[y_> \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac\cdot\bigl(0,75(P - 5)\bigr)^2 - (P - 5)\cdot\bigl(0,75(P - 5)\bigr) + 13,5\leqslant 0\,,\] что равносильно \[\dfrac(P - 5)^2\geqslant 13,5\qquad\Leftrightarrow\qquad (P - 5)^2\geqslant 36\,,\] откуда с учётом условия \(P > 0\) , получим: \(P\geqslant 11\) .

Таким образом, минимальная цена билета, при которой аквапарк имеет шанс окупиться за 4 года (при наличии достаточного количества желающих его посетить), составляет \(P = 11\) .

15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

\(\bullet\) 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на \(y\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
\(\bullet\) со 2-ого по 14-ое числа каждого месяца необходимо выплатить часть долга в виде платежа банку;
\(\bullet\) 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту превысила сумму кредита на \(30\%\) процентов. Найдите \(y\) .

(ЕГЭ 2015, основная волна)

Фраза “долг должен быть на одну и ту же сумму меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, т.к. кредит взят на 11 месяцев, то эта “одна и та же сумма”, на которую уменьшается долг каждый месяц, равна \(\frac1\) части от суммы кредита. Обозначим сумму кредита за \(A\) и составим таблицу.
Т.к. каждый месяц долг увеличивается на \(y\%\) , то в первый месяц долг увеличиться на \(0,01y\cdot A\) рублей, то есть составит \(A+0,01yA\) рублей.
После выплаты долг должен уменьшиться на \(\frac1A\) рублей, то есть должен составить \(\fracA\) рублей. Значит, выплата в первый месяц будет равна \(A+0,01yA-\fracA=0,01yA+\frac1A\)

\[\begin <|l|c|c|c|>\hline \text&\text\%& \text&\text\\ \hline 1& A+0,01y\cdot A& \fracA& 0,01y\cdot A+\frac1A\\ \hline 2& \fracA+0,01y\cdot \fracA& \fracA& 0,01y\cdot \fracA+\frac1A\\ \hline 3& \frac9A+0,01y\cdot \frac9A& \frac8A& 0,01y\cdot \frac9A+\frac1A\\ \hline \dots&\dots&\dots&\dots\\ \hline 10& \frac2A+0,01y\cdot \frac2A& \frac1A& 0,01y\cdot \frac2A+\frac1A\\ \hline 11& \frac1A+0,01y\cdot \frac1A& 0& 0,01y\cdot \frac1A+\frac1A\\ \hline \end\]

Заметим, что все выплаты состоят из двух частей, причем одна часть \(\left(\frac1A\right)\) фиксирована.

По условию общая сумма выплат \(R\) превысила на \(30\%\) сумму кредита \(A\) . Это значит, что переплата по кредиту \(R-A\) составляет \(30\%\) от \(A\) . Найдем общую сумму выплат:

\(R=\left(0,01y\cdot A+\frac1A\right)+\left(0,01y\cdot \fracA+\frac1A\right)+ \left(0,01y\cdot \frac9A+\frac1A\right)+\dots+\)

\(+\left(0,01y\cdot \frac2A+\frac1A\right)+\left(0,01y\cdot \frac1A+\frac1A\right)=\)

\(=0,01y\cdot A\left(1+\frac+\frac9+\dots+\frac2+\frac1\right)+11\cdot \frac1A=\)

\(=0,01y\cdot A\cdot \frac12\left(\frac1+1\right)\cdot 11+A=0,06yA+A\)

Тогда переплата составила \(R-A=0,06yA\) . Т.к. переплата составила \(30\%\) от \(A\) , то

Задание 15 № 518112

Мистер Джонсон по случаю своего тридцатилетия открыл 1 октября 2010 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 6000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 30% на сумму, находящуюся на счёте. Через 7 лет 1 октября 2017 года октября, следуя примеру мистера Джонсона, мистер Браун по случаю своего тридцатилетия тоже открыл в банке счет, на который ежегодно кладёт по 13 800 рублей, а банк начисляет 69% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов мистера Джонсона и мистера Брауна сравняются, если деньги со счетов не снимают?

Через n лет 1 октября на первом счёте будет сумма (суммируем n + 1 член геометрической прогрессии)

В это же время на втором счёте будет сумма

Приравняем эти суммы и решим полученное уравнение:

Таким образом, суммы на счетах сравняются через 13 лет после открытия первого вклада, то есть в 2023 году.

Аналоги к заданию № 507714: 518112 Все

Задание 15 № 514620

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 6 млн рублей.

Составим неравенство согласно условию задачи:

Наименьшее целое значение x равно 5.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С5., ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 610 (C часть).

Задание 15 № 506954

Пусть сумма, которой первоначально располагала администрация края, составляла S у. е., а цена барреля сырой нефти M у. е. Тогда первоначально возможный объем закупок составлял баррелей. Этот объем примем за 100 процентов. За 2 месяца хранения в банке положенная сумм выросла до у. е., а цена барреля сырой нефти за это же время убыла до у. е. Следовательно, 1 ноября 2001 г. руководство края на эту сумму могла закупить баррелей сырой нефти. Процентное отношение этого объема к первоначально возможному объему закупок составит:

Значит, руководство края смогло пополнить 1 ноября 2001 г. нефтяные запасы края на 96% больше, чем 1 сентября того же года.

Замечание 1. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых p %, то сумма вклада через один год составит руб.

Замечание 2. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых p %, то сумма вклада через n лет составит руб.

Задача. Спустя два года после того, как некоторая сумма внесена в банк, вклад за счет процентов увеличился на 2200 руб. Если бы первоначальная сумма была на 1000 руб. больше, то итоговая прибыль равнялась бы 2640 руб. Чему равен процент годовых, если он за два года не менялся?

Решение. Рассмотрим изменение вклада за два года.

Сумма за счёт процентов (руб.)

x + 1000 + 2640

x, y 0.

Составим систему уравнений

Ответ: 20 %.

1. В банк положен вклад из расчета 20 % годовых. Через какое наименьшее количество лет вклад увеличится в 2 раза? Ответ: 4 года

2. Клиент положил некоторую сумму в банк. При одинаковом проценте годовых через три года была получена сумма в 1,728 раз превышающая первоначальную. Какой процент годовых выплачивал банк? Ответ: 20 %

3. Себестоимость продукции сначала повысилась на 10%, а затем понизилась на 20%. На сколько процентов понизилась себестоимость продукции? Ответ: на 12 %

4. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 75 % от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке? Ответ: 120 %

5. Если 1 кубометр газа на 50 % дороже 1 кг угля и дает тепла на 20 % больше, то на сколько процентов при переходе с угля на газ возрастут расходы на топливо при прочих равных условиях? Ответ: 25 %

6. 31 декабря Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (от есть увеличивает долг на 10 %), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

7. 1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1 %), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

9. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Долг (в процентах от кредита)

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5 %, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

10. В начале года некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось – в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у.е., к концу следующего – 749 у.е. Если первоначально суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у.е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.

11. Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21 % превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

12. Спустя два года после того, как некоторая сумма внесена в банк, вклад за счет процентов увеличился на 4400 руб. Если бы первоначальная сумма была на 2000 руб. больше, то итоговый доход равнялся бы 5280 руб. Чему равен процент годовых, если он за два года не менялся? Под доходом понимается разница между итоговой суммой и первоначальной. Процент годовых – это процент, на который увеличивается сумма вклада за один год.

Решение. 1. Обозначим через x руб. первоначальную сумму вклада, а через k – коэффициент на который будет умножаться сумма вклада каждый год.

2. Получим систему уравнений

3. Разделив второе уравнение системы на первое, получим линейное уравнение, корнем которого является x = 10 000 руб.

4. ; k = 1,44; k = 1,2. Процент годовых равен 20%.

13. По прогнозу экспертов, цены на квартиры в Москве через год упадут: в рублях на 20%, в евро на 40%. А в Сочи цены в рублях упадут на 10%. На сколько процентов упадут цены на квартиры в Сочи в евро?

14. При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца.

15. Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20 %), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 4 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000 рублей?

Ответ: 2 096 875

16. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% – в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

17. 31 декабря 2010 года Дмитрий взял в банке 5 005 000 рублей в кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20 %), затем Дмитрий переводит в банк платёж. Весь долг Дмитрий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы выплатил долг за 2 равных платежа?

18. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом % и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на %. Определите срок хранения вклада.

19. (ЕГЭ-2015) 15-го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

20. (ЕГЭ-2015) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей? Ответ: 4.

21. (ЕГЭ-2017) В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на 77200 рублей?

22. (ЕГЭ-2018) 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 20 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1407 тысяч рублей?

Решение. Пусть 15-го числа 25-го месяца долг составит B тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля следующим образом:

B + 500; B + 480; B + 460; . ; B + 20; B; 0.

Первого числа каждого месяца долг возрастает на 3%, значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число такова:

1,03(B + 500); 1,03(B + 480); . ; 1,03(B + 20); 1,03 ∙ B.

Следовательно, выплаты (в тыс. рублей) должны быть следующими:

0,03(B + 500) + 20; 0,03(B + 480) + 20; . ; 0,03(B + 20) + 20; 1,03 ∙ B.

Всего следует выплатить

II. Задачи на оптимальный выбор

1. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t 2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Ответ: 5 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект; 461 у.е.

2. Первичная информация разделяется по серверам № 1 и № 2 и обрабатывается на них. С сервера № 1 при объеме t 2 гб. входящей в него информации выходит 20t, а с сервера № 2 при объеме
t 2 гб. входящей в него информации выходит 21t гб. обработанной информации; 25 t 3 364 гб.?

3. ЕГЭ-2017. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; 3; . ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Ответ: 1/11 r

4. (ФИПИ, ЕГЭ-2016). В двух шахтах добывают алю­миний и никель. В первой шахте работают 20 шахтеров, каждый из которых трудится 5 часов в день. При этом один шахтер за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте работают 100 шахтеров, каждый из которых трудится 5 часов в день. При этом один шахтер за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности произ­водится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог про­извести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Пусть в первой шахте х чел ∙ час, а во второй шахте у чел ∙ час потрачены на до­бычу алюминия. Составим таблицу по данным задачи.

Одно из нелёгких заданий - финансовая математика. Учителя часто игнорируют эти задания, а ученики не любят их ввиду запутанных условий. Однако, всё не так сложно, как кажется с первого взгляда, нужно только внимательно и скрупулёзно разобраться с принципом решения таких задач. В данной разработке подробно разбирается принцип решения задач на вклады, приведены примеры их решения и собраны задачи для самостоятельного решения из базы данных ЕГЭ.

Просмотр содержимого документа
«Задание 17 ЕГЭ. Финансовая математика. Вклады.»

ЗАДАНИЕ 17 ЕГЭ.

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА. ВКЛАДЫ

БАНКОВСКИЕ ЗАДАЧИ НА ВКЛАДЫ

Нахождение срока вклада.

Вычисление процентной ставки по вкладу.

Нахождение суммы вклада.

Нахождение ежегодной суммы пополнения вклада.

Нахождение прибыли от вклада.

Разберём задачи на вклады. Обычно встречаются задачи на вклады двух типов: без ежегодного взноса определённой суммы и с внесением такой суммы.

Для определённости введём обозначения, используемые при решении задач.

– сумма первоначального вклада.

– сумма ежегодного вклада (часто ).

– временной промежуток (количество месяцев, лет).

– сумма через n лет (месяцев).

– процентная ставка.

Задачи на вклады решаются двумя способами: с помощью таблиц и с помощью формул. Рассмотрим задачу на вклад с ежегодным пополнением на определённую сумму.

I способ. Приведём пример таблицы накопления вклада. Таблицы удобны, если временной промежуток вклада невелик.

дата или № года (месяца)

% на сумму в конце года (месяца)

сумма с учётом %

сумма вклада

сумма в конце года (месяца)

Из таблицы видно, что чем больше срок вклада, тем сложнее вычисления. Поэтому, при больших сроках удобнее пользоваться формулами.

II способ. Чтобы понять, откуда берётся формула, приведём её вывод. Воспользуемся таблицей выше. Рассмотрим сумму вклада в конце второго года (месяца).

В последнем выражении, в квадратных скобках стоит сумма п членов геометрической прогрессии, в которой . Воспользуемся формулой для .

Тогда общая сумма вклада через п лет (с учётом пополнения) будет:

Если же в n-ом году счёт будет закрыт, то последнего пополнения не будет! Тогда формула имеет вид:

Если сумма ежегодного пополнения равна первоначальному взносу , то формула принимает более компактный вид:

В задачах на вклады без ежегодного пополнения ситуация немного проще.

дата или № года (месяца)

% на сумму в конце года (месяца)

сумма в конце года (месяца)

через п лет

В виде формулы это выглядит так:

Банк выплачивает 4 % годовых. Через сколько лет внесённая сумма удвоится?

– сумма вклада, , .

По окончании первого года, после начисления процентов, на счёте станет:

По окончании второго года, после начисления процентов, на счёте станет:

На какой срок необходимо вложить 5000 рублей при 30% годовых, чтобы сумма дохода составила 560 рублей?

Так как сумма дохода равна , то срок вклада будем рассчитывать в днях, и т.к. нас интересует только доход, то . Эта формула означает следующее: на первоначальный взнос назначается годовой процент р, но т.к. срок вклада меньше года, то эту сумму делят на 365 дней и умножают на количество дней, в течении которых вклад находился в банке (п). Важно, что здесь не добавляется сам первоначальный взнос, т.е. формула отражает чистую прибыль.

На какой срок необходимо вложить 15 000 рублей при 9 % годовых, чтобы сумма дохода составила 2 000 рублей?

Так как нас интересует только доход, то

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

– сумма вклада;

месяцев – срок начисления 5% ставки;

месяцев – срок начисления 12% ставки;

месяцев – срок начисления % ставки;

месяцев – срок начисления 12,5% ставки.

При ставке 5% через месяц сумма вклада составила . Через два месяца сумма вклада составила . И так далее, через п месяцев сумма вклада составит .

При ставке 12% через месяц сумма вклада составит:

. Через два месяца –

. И так далее, через т месяцев сумма вклада составит .

Аналогично, при ставке через k месяцев сумма вклада будет .

Так же, при ставке 12,5% через l месяцев сумма вклада будет .

По условию задачи известно, что по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на , т.е. составила .

Значит, весь срок вклада составляет: месяцев.

Ответ: 7 месяцев

Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладёт 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?

Решение. Сначала рассмотрим как происходит накопление денежных средств на счёте сына. Так как каждый год банк начисляет 20% на сумму, которая была в конце предыдущего года, то вся сумма будет составлять 120%. Затем прибавляем ежегодный взнос 1000 руб.

сумма на счёте сына

через n лет

Теперь рассмотрим сумму на счёте сына через n лет.

В этой сумме слагаемое (слагаемых со степенями п плюс первое слагаемое). Нетрудно заметить, что эта сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии, у которой . Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

Это сумма, которая будет на счёте сына через п лет.

сумма на счёте дочери

через n-6 лет

Теперь рассмотрим сумму на счёте дочери через n - 6 лет.

В этой сумме слагаемых (слагаемых со степенями п - 6 плюс первое слагаемое). Эта сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии, у которой . Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

Это сумма, которая будет на счёте дочери через п - 6 лет.

В задаче поставлено условие, что суммы вкладов сына и дочери должны сравняться, поэтому приравниваем их.

Значит, суммы на счетах сына и дочери сравняются через 11 лет после открытия счёта сына. И это произойдёт в году.

Ответ: в 2019 году.

Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение. Рассмотрим два способа решения данной задачи.

I способ. Составим сравнительную таблицу стоимости ценной бумаги после увеличения цены и банковского процента.

стоимость ценной бумаги в начале года

сумма увеличения стоимости ценной бумаги

общая стоимость ценной бумаги в конце года

банковский процент (8%)

Из таблицы видно, что банковский процент превысит сумму увеличения стоимости ценной бумаги через 5 лет, значит, продавать бумаги надо в течение 6 лет.

II способ. Если ценная бумага будет находится у Алексея n лет, то через n лет он получит рублей. Если в начале го года Алексей продаст бумагу и положит деньги в банк, то по итогам года получит Это следует делать, если . Найдем, каким должно быть число n.

– число целое, значит, . Так как Алексей положил деньги в банк в течении года, то максимальную прибыль он получит, если положит деньги в банк в течении 6 года.

Ответ: в течении 6 года.

В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х% годовых, тогда как в январе 2001 года она была у% годовых, причём известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счёт в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счёта пятую часть этой суммы. Укажите значение х, при котором сумма на счёте вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение. Пусть – первоначальный вклад. При годовых через год на счёте будет . После снятия со счёта , на нём осталось:

. На эту сумму через год начислили и на счёте стало . Так как , то . Тогда:

Мы получили функцию относительно переменной х:

Наибольшее значение эта квадратичная функция достигает в своей вершине, т.к. ветви её направлены вниз. Найдём абсциссу вершины параболы:

Итак, при сумма на счёте вкладчика в январе 2002 года будет максимально возможной.

Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить своё материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определённый процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить своё материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счёта в Спёрбанке, Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от её вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» И открыла счёт в том коммерческом банке, о котором говорила её соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния. Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила её первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли. » Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без навара! А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров?

Решение. Пусть – первоначальные накопления; - процентная ставка в Спёрбанке, тогда - процентная ставка в коммерческом банке. Открыв счёт в Спёрбанке, через год на нём образуется сумма . В коммерческий банк была внесена сумма, равная половине этой, т.е. . Через год в коммерческом банке на счёте, после начисления процентов, будет . По условию задачи известно, что эта сумма на 65% больше, чем первоначальные накопления, т.е. составляет 165% от и равна . Составляем уравнение:

не удовлетворяет условию задачи, значит, в Спёрбанке процентная ставка равна 10%.

Банк под определённый процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счёта. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение. Обозначим первоначальный вклад через , а первоначальную процентную ставку через а%. Тогда через год, после начисления процентов на счёте станет Четверть этой суммы сняли со счёта, тогда осталось:

. На эту оставшуюся сумму через год начислили проценты в размере . В итоге, к концу года на счёте накопилась сумма: . По условию задачи известно, что она превысила первоначальный вклад в 1,44 раз, т.е. стала равной . Составим уравнение:

не удовлетворяет условию задачи. Значит, первоначальная процентная ставка составляла 20%. Поэтому новая процентная ставка равна: .

По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Решение. Обозначим через - первоначальную сумму по обоим вкладам, а через – процентную ставку вклада «Б» на третий год. Составим таблицу:

№1. За­да­ние 19 № 507890. Оля хочет взять в кре­дит 100 000 руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10 % го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Оля взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 24000 руб­лей?

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a %. Тогда в по­след­ний день каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a Со­ста­вим таб­ли­цу вы­плат.

Долг банку (руб.)

Оста­ток доли после вы­пла­ты (руб.)

Зна­чит, Оля по­га­сит кре­дит за 6 лет.

Ответ: 6.

№2. За­да­ние 19 № 507212. 31 де­каб­ря 2014 года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк X руб­лей. Какой долж­на быть сумма X, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Пусть сумма кре­ди­та равна а го­до­вые со­став­ля­ют Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

После чет­вер­той вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию че­тырь­мя вы­пла­та­ми Алек­сей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му

При и по­лу­ча­ем: и

Ответ: 2 296 350.

ВТОРОЙ СПОСОБ

Пусть x — один из че­ты­рех ра­зо­вых (рав­ных) пла­те­жей.Тогда можно со­ста­вить ли­ней­ное урав­не­ние:

(((((((6902000 * 1,125 ) – x ) * 1,125 ) – x ) * 1,125) – x ) * 1,125 ) –x = 0.

Вы­пол­нив все вы­чис­ле­ния, по­лу­чим:

11055669, 43359375 = 4,814453125x

Ответ: 2296350.

№3.За­да­ние 19 № 506956. Два бро­ке­ра ку­пи­ли акции од­но­го до­сто­ин­ства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции воз­рос­ла, они про­да­ли часть акций на сумму 3927 р. Пер­вый бро­кер про­дал 75% своих акций, а вто­рой 80% своих. При этом сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром. На сколь­ко про­цен­тов воз­рос­ла цена одной акции?

Пер­вый спо­соб (близ­кий к ариф­ме­ти­че­ско­му ре­ше­нию).

Пусть пер­вый бро­кер купил акций, а вто­рой — акций. Тогда пер­вый про­дал акций, вто­рой — акций.

То, что сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ных вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром, озна­ча­ет: сумма, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, боль­ше суммы, по­лу­чен­ной пер­вым, в 2,4 раза:

Так как цена одной акции у обоих бро­ке­ров оди­на­ко­ва, а по­лу­чен­ные суммы прямо про­пор­ци­о­наль­ны ко­ли­че­ству акций, про­дан­ных каж­дым бро­ке­ром, то

Если — ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти ко­ли­че­ства акций, куп­лен­ных бро­ке­ра­ми, то ими при­об­ре­те­но акций на сумму 3640 р. Сле­до­ва­тель­но, на тот мо­мент цена каж­дой акции со­став­ля­ла:

р.

Пер­вый бро­кер про­дал акций, вто­рой акций. Всего было про­да­но акций. К мо­мен­ту про­да­жи цена одной акции стала

(р), т.е. на (р) выше.

Зна­чит, цена одной акции воз­рос­ла на 37,5%

Вто­рой спо­соб (пре­об­ла­да­ет ал­геб­ра­и­че­ский под­ход).

Пусть р. — пер­во­на­чаль­ная цена одной акции, — ко­ли­че­ство акций, куп­лен­ных пер­вым бро­ке­ром, — ко­ли­че­ство акций, куп­лен­ных вто­рым бро­ке­ром. И пусть цена одной акции воз­рос­ла на %. Тогда: (1)

Со вре­ме­нем цена одной акции вы­рос­ла до руб­лей.

Пер­вый бро­кер про­дал акций на сумму руб­лей, а вто­рой бро­кер — на руб­лей.

Со­глас­но усло­вию за­да­чи имеем: т.е.

Так как сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром, то

Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в урав­не­ние (1), будем иметь:

Под­ста­вим то же зна­че­ние в урав­не­ние (2):

А зна­че­ние нами най­де­но выше.

Ответ: 37,5.

№4.За­да­ние 19 № 506090. 31 де­каб­ря 2013 года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­делённую сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

Пусть сумма кре­ди­та равна a, еже­год­ный пла­теж равен x руб­лей, а го­до­вые со­став­ля­ют k %. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент m = 1 + 0,01k. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит: a₁ = am − x. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит:

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга:

По усло­вию тремя вы­пла­та­ми Сер­гей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му от­ку­да При a = 9 930 000 и k = 10, по­лу­ча­ем: m = 1,1 и

Ответ: 3 993 000 руб­лей.

Второй способ

Пусть — один из трёх ра­зо­вых пла­те­жей. Тогда сумма долга после опла­ты в пер­вом году со­ста­вит: После вне­се­ния вто­ро­го пла­те­жа сумма долга ста­нет рав­ной Сумма долга после тре­тье­го пла­те­жа: Тре­тьим пла­те­жом Сер­гей дол­жен по­га­сить долг, то есть долг ста­нет рав­ным нулю:

Третий способ

В пер­вый год ему на­чис­лят 993000 и сумма долга со­ста­вит 10923000 минус еже­год­ный пла­теж (х) и по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее 10923000-х

На вто­рой год опять про­цен­ты и минус еже­год­ный пла­теж:

На тре­тий год та же ис­то­рия:

((10923000-х)*1,1-х)*1,1-х=0 (так как он за­крыл долг тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми).

Даль­ше нехит­рые вы­чис­ле­ния уров­ня сред­ней школы и при­хо­дим к вы­ра­же­нию:

От­сю­да на­хо­дим, что х=3993000.

№ 5. За­да­ние 19 № 506950. В банк по­ме­ще­на сумма 3900 тысяч руб­лей под 50% го­до­вых. В конце каж­до­го из пер­вых че­ты­рех лет хра­не­ния после вы­чис­ле­ния про­цен­тов вклад­чик до­пол­ни­тель­но вно­сил на счет одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму. К концу пя­то­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов ока­за­лось, что раз­мер вкла­да уве­ли­чил­ся по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным на 725%. Какую сумму вклад­чик еже­год­но до­бав­лял к вкла­ду?

Не­ко­то­рая часть най­ден­ной суммы об­ра­зо­ва­на хра­не­ни­ем пер­во­на­чаль­но вло­жен­ной суммы (3900 тыс.руб.) Вы­чис­лим эту часть. По­сколь­ку про­цент­ная над­бав­ка на­чис­ля­лась в раз­ме­ре 50% го­до­вых, то за 5 лет хра­не­ния этой части вкла­да вло­жен­ная сумма уве­ли­чи­лась в раза. То есть стала:

Те­перь най­дем дру­гую часть об­ра­зо­ван­ной суммы с уче­том до­пол­ни­тель­ных вкла­дов в те­че­ние че­ты­рех лет, а также про­цент­ных на­чис­ле­ний на эту сумму. Эта часть равна раз­но­сти двух сумм, вы­чис­лен­ных выше.

Это — с одной сто­ро­ны. С дру­гой же сто­ро­ны эта сумма об­ра­зо­ва­лась так:

Пусть вклад­чик в конце года и в те­че­ние 4 лет вно­сил до­пол­ни­тель­ный вклад в сумме тыс. руб.

В конце пер­во­го года хра­не­ния этой суммы она вы­рос­ла до тыс. руб.

Вклад­чик до­пол­ни­тель­но внес еще тыс. руб. На на­ча­ло сле­ду­ю­ще­го ка­лен­дар­но­го года эта часть суммы стала:

Через год эта сумма вы­рос­ла до:

Но вклад­чик внес на счет еще тыс.руб. Сумма стала:

Через год эта сумма вы­рос­ла до:

Вклад­чик вновь внес на счет тыс. руб. Часть вкла­да ста­но­вит­ся рав­ной:

К концу по­след­не­го года хра­не­ния всего вкла­да эта часть вы­рас­та­ет до:

Те­перь решим урав­не­ние:

Итак, ис­ко­мая сумма равна 210 тыс. руб.

Ответ: 210 000.

№6.За­да­ние 19 № 506948. За время хра­не­ния вкла­да в банке про­цен­ты по нему на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но сна­ча­ла в раз­ме­ре 5%, затем 12%, потом и, на­ко­нец, 12,5% в месяц. из­вест­но, что под дей­стви­ем каж­дой новой про­цент­ной став­ки вклад на­хо­дил­ся целое число ме­ся­цев, а по ис­те­че­нии срока хра­не­ния пер­во­на­чаль­ная сумма уве­ли­чи­лась на Опре­де­ли­те срок хра­не­ния вкла­да.

1. Про­цен­ты на вклад на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но.

2. Каж­дая по­сле­ду­ю­щая про­цент­ная над­бав­ка по ис­те­че­нии ка­лен­дар­но­го ме­ся­ца на­чис­ля­лась с уче­том вновь об­ра­зо­ван­ной суммы вкла­да и с уче­том преды­ду­щих над­ба­вок.

Если пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да при еже­ме­сяч­ной 5%-ной став­ке на­чис­ле­ния про­цен­тов про­дер­жа­лась ме­ся­цев, то вклад еже­ме­сяч­но уве­ли­чи­вал­ся в раз, и этот ко­эф­фи­ци­ент будет со­хра­нен до тех пор, пока став­ка не из­ме­нит­ся.

При из­ме­не­нии про­цент­ной над­бав­ки с 5% на 12% (став­ка 12% про­дер­жа­лась ме­ся­цев) пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да за ме­ся­цев уве­ли­чит­ся в раз.

Пред­по­ло­жим, что про­цент­ная став­ка про­дер­жа­лась ме­ся­цев, а про­цент­ная став­ка про­дер­жа­лась ме­ся­цев. Тогда со­от­вет­ству­ю­щие ко­эф­фи­ци­ен­ты по­вы­ше­ния со­ста­вят:

Таким об­ра­зом, ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния суммы вкла­да в целом за весь пе­ри­од хра­не­ния вкла­да в банке со­ста­вит:

Это — с одной сто­ро­ны. Но с дру­гой сто­ро­ны, со­глас­но усло­вию за­да­чи пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да за это же время уве­ли­чи­лась на т.е. в

Со­глас­но ос­нов­ной тео­ре­ме ариф­ме­ти­ки каж­дое на­ту­раль­ное число, боль­шее 1, можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей, и это пред­став­ле­ние един­ствен­ное с точ­но­стью до по­ряд­ка их сле­до­ва­ния. В таком слу­чае:

Решим эту си­сте­му от­но­си­тель­но на­ту­раль­ных и

Из по­след­не­го урав­не­ния си­сте­мы имеем: При этих зна­че­ни­ях и си­сте­ма при­мет вид:

Итак, вклад в банке на хра­не­нии был 7 ме­ся­цев. При най­ден­ных зна­че­ни­ях и дей­стви­тель­но равно нулю.

Ответ: 7.

№7.За­да­ние 19 № 506954. В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

Пусть сумма, ко­то­рой пер­во­на­чаль­но рас­по­ла­га­ла ад­ми­ни­стра­ция края, со­став­ля­ла у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти у.е. Тогда пер­во­на­чаль­но воз­мож­ный объем за­ку­пок со­став­лял бар­ре­лей. Этот объем при­мем за 100 про­цен­тов. За 2 ме­ся­ца хра­не­ния в банке по­ло­жен­ная сумм вы­рос­ла до у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти за это же время убыла до у.е. Сле­до­ва­тель­но, 1 но­яб­ря 2001 г. ру­ко­вод­ство края на эту сумму могла за­ку­пить бар­ре­лей сырой нефти. Про­цент­ное от­но­ше­ние этого объ­е­ма к пер­во­на­чаль­но воз­мож­но­му объ­е­му за­ку­пок со­ста­вит:

Зна­чит, ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить 1 но­яб­ря 2001 г. неф­тя­ные за­па­сы края на 96% боль­ше, чем 1 сен­тяб­ря того же года.

Ответ: 96.

№8.За­да­ние 19 № 506957. Сер­гей взял кре­дит в банке на срок 9 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 12%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Сер­ге­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы кре­ди­та со­ста­ви­ла общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?

Пред­ло­же­ние «Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну» озна­ча­ет: Сер­гей взя­тую сумму воз­вра­щал рав­ны­ми до­ля­ми.

Общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку сверх кре­ди­та, обу­слов­ле­на толь­ко при­ме­не­ни­ем про­цент­ной став­ки.

В пер­вом ме­ся­це эта часть за­пла­чен­ной суммы со­став­ля­ла , во вто­ром — в тре­тьем — в вось­мом — на­ко­нец, в по­след­нем —

Всего за 9 ме­ся­цев:

Ис­ко­мое про­цент­ное от­но­ше­ние есть 60

Ответ: 60.

№9.За­да­ние 19 № 507913. Оля хочет взять в кре­дит 1 200 000 руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10 % го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Оля взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 320 000 руб­лей?

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a %. Тогда в по­след­ний день каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a Со­ста­вим таб­ли­цу вы­плат.

Читайте также:

  
• Какие заемщики юридические лица стали для российских банков нежелательными клиентами
  
• Запасной кошелек почта банк условия
  
• Как купить биткоин в россии через сбербанк
  
• Куда пожаловаться на сбербанк страхование
  
• Что такое bsb в банковских реквизитах