15 мая планируется взять кредит в банке на 17 месяцев условия его возврата таковы 1472

Обновлено: 23.04.2024

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 21. Задача 15.

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Решение. Пусть кредит берётся на n месяцев. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято хn рублей, нужно вернуть хn плюс проценты. Разница в 20% от суммы, взятой в кредит – это как раз проценты. Получаем равенство:

0,2xn=(xn+x(n-1)+x(n-2)+…+x)⋅0,01. Вынесем х из правой части равенства и разделим на х обе части равенства.

В скобках сумма арифметической прогрессии.

0,2n=(n+1)/2 ⋅ n ⋅ 0,01 → 0,2=(n+1)/2 ⋅ 0,01 → 20=(n+1)/2;

n+1=40 → n=39. Кредит берётся на 39 месяцев.

Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 22. Задача 15.

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Решение. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято 49х рублей, нужно вернуть 49х плюс проценты. Посчитаем проценты:

(49х+48х+47х+…+2х+х) ⋅ 0,01=(49х+х)/2 ⋅ 49 ⋅ 0,01=25х ⋅ 49 ⋅ 0,01=49х ⋅0,25.

Сумма всех выплат после полного погашения составит:

49х+49х ⋅ 0,25 = 1,25 ⋅ 49х = 5/4 ⋅ 49х или 2 млн рублей по условию. Нас интересует значение 49х.

Получаем 49х = 2 ⋅ 4/5 = 1,6 млн рублей. Ответ: 1,6.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 23. Задача 15.

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что долг был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.

1) В январе на эту сумму насчитают 15%, и долг составит 115% от S, т.е.

1,15S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.

Тогда долг составит 1,15S-1,587 млн рублей.

2) В январе на последнюю сумму насчитают 15% и долг составит 115% от последней суммы,

т.е. (1,15S-1,587) ⋅ 1,15 или 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15 млн рублей.

В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.

Тогда долг составит 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15-1,587 или

1,3225S-1,587 ⋅ 2,15 или 1,3225S-3,41205 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3225S-3,41205 = 0.

1,3225S = 3,41205 → S = 3,41205 : 1,3225 → S = 2,58 млн рублей было взято в банке.

Ответ: 2,58 млн рублей.

Примечание. Можно было применить формулу Sk 2 = X(k +1) .

У нас Х = 1,587 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,15 = 1,15.

Тогда S ⋅ 1,15 2 = 1,587(1,15+1); S ⋅ 1,15 2 = 1,587 ⋅ 2,15;

S ⋅ 1,3225 = 1,587 ⋅ 2,15; разделим обе части равенства на 1,3225.

S = 1,2 ⋅ 2,15 = 2,58. Итак, в банке было взято 2,58 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 24. Задача 15.

В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.

1) В январе на эту сумму насчитают 16%, и долг составит 116% от S, т.е.

1,16S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.

Тогда долг составит 1,16S-2,523 млн рублей.

2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 16% и долг составит 116% от последней суммы,

т.е. (1,16S-2,523) ⋅ 1,16 или 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16 млн рублей.

В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.

Тогда долг составит 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16-2,523 или

1,3456S-2,523 ⋅ 2,16 или 1,3456S-5,44968 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3456S-5,44968 = 0.

1,3456S = 5,44968 → S = 5,44968 : 1,3456 → S = 4,05 млн рублей было взято в банке.

Ответ: 4,05 млн рублей.

Примечание. Можно было применить формулу Sk 2 = X(k +1) .

У нас Х = 2,523 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,16 = 1,16.

Тогда S ⋅ 1,16 2 = 2,523(1,16+1); S ⋅ 1,16 2 = 2,523 ⋅ 2,16;

S ⋅ 1,3456 = 2,523 ⋅ 2,16; разделим обе части равенства на 1,3456.

S = 1,875 ⋅ 2,16 = 4,05. Итак, в банке было взято 4,05 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 29. Задача 15.

В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 3,249 млн рублей.

Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.

1) В январе на эту сумму насчитают 14%, и долг составит 114% от S, т.е.

1,14S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.

Тогда долг составит 1,14S-3,249 млн рублей.

2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 14% и долг составит 114% от последней суммы, т.е.

(1,14S-3,249) ⋅ 1,14 или 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14 млн рублей.

В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.

Тогда долг составит 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14-3,249 или

1,2996S-3,249 ⋅ 2,14 или 1,2996S-6,95286 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,2996S-6,95286 = 0.

1,2996S = 6,95286 → S = 6,95286 : 1,2996 → S = 5,35 млн рублей было взято в банке. Ответ: 5,35 млн рублей.

Примечание. Можно было применить формулу Sk 2 = X(k +1) .

У нас Х = 3,249 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,14 = 1,14.

Тогда S ⋅ 1,14 2 = 3,249(1,14+1); S ⋅ 1,14 2 = 3,249 ⋅ 2,14;

S ⋅ 1,2996 = 3,249 ⋅ 2,14; разделим обе части равенства на 1,2996.

S = 2,5 ⋅ 2,14 = 5,35. Итак, в банке было взято 5,35 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 25. Задача 15.

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на n+1 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 600-200=400 тысяч рублей, т.е. nХ=400.

Подсчитаем проценты за все (n+1) месяцев кредитования. Сумму, взятую в кредит запишем как nХ+200.

В скобках у нас сумма арифметической прогрессии. Здесь a₁ = nX+200; a_n = 200. Применим формулу S_n = (a₁+a_n)/2 ⋅ n.

(nX+200+200)/2 ⋅ (n+1) ⋅ 0,03 = (nX+400)(n+1) ⋅ 0,15. Так как nХ=400, то имеем

(400+400)(n+1) ⋅ 0,15 = 800(n+1) ⋅ 0,15 = 120(n+1). Такова сумма процентов за всё время кредитования. Переплата составит 852-600=252 тысячи рублей. Это как раз сумма выплаченных процентов. Получаем равенство:

120(n+1)=252, отсюда n+1=252:120;

n+1=21, тогда n=20. Ответ: 20.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 26. Задача 15.

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысячи рублей.

Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. У нас Х=40 тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 1000-200=800 тысяч рублей, т.е. nХ=800.

Отсюда n=800 : 40 = 20. Кредит собираются взять на 21 месяц.

Подсчитаем проценты за все 21 месяц кредитования. Сумму, взятую в кредит, запишем как 20Х+200.

В скобках у нас сумма арифметической прогрессии.

(20X+200+200)/2 ⋅ 21 ⋅ 0,01r = (10X+200) ⋅21 ⋅ 0,01r. Так как 20Х=800, то имеем

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 3. Задача 15.

По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 12 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».

Обозначим искомое число процентов через r.

Оформим рассуждения по условию задачи в виде таблицы.

Так как вклад «Б» будет менее выгоден, чем вклад «А», то справедливо неравенство:

1,12 2 ∙S + 1,12 2 ∙S ∙0,01r < 1,2 3 ∙S.

Разделим обе части неравенства на S.

r = 37 – наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».

Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 4. Задача 15.

По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 14 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».

Обозначим искомое число процентов через r.

Оформим рассуждения по условию задачи в виде таблицы.

Так как вклад «Б» будет менее выгоден, чем вклад «А», то справедливо неравенство:

1,14 2 ∙S + 1,14 2 ∙S ∙0,01r > 1,1 3 ∙S.

Разделим обе части неравенства на S.

1,14 2 ∙0,01r > 1,1 3 -1,14 2 ;

1,2996 ∙0,01r > 1,331 -1,2996;

1,2996 ∙0,01r > 0,0304;

r = 3 – наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 17. Задача 15.

Александр хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Александра не было денег на покупку акций, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Александр откладывает на покупку пакета акций одну и туже сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 30 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Александру каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

1-й месяц. Александр не смог купить акции за 100 тысяч рублей. Он отложил Х тысяч рублей

2-й месяц. Акции стоят 1,3 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Хтыс. рублей.

3-й месяц. Акции стоят 1,3 2 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

4-й месяц. Акции стоят 1,3 3 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Хтыс. рублей.

n-й месяц. Акции стоят 1,3 n -1 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

Итак, за n месяцев Александр отложил nХ тысяч рублей, и наконец, может купить акции, т.е.

Нужно найти минимальное целое значение n, при котором производная будет менять знак с минуса на плюс. Это значение n и будет точкой минимума функции

Производная отрицательна при n ∙ ln1,3 -1 < 0. Решаем неравенство:

Так как n – количество месяцев, то будем подбирать целое значение показателя степени так, чтобы знак неравенства поменялся.

Если n = 2, то 1,3 2 = 1,69 < e;

Если n = 3, то 1,3 3 = 2,197 < e;

Если n = 4, то 1,3 4 = 2,8561 > e.

Таким образом, производная X ’ (n) поменяет знак с минуса на плюс на промежутке, содержащем n = 4. Это наименьшее целое значение n, при котором функция

Это означает, что Александру достаточно было откладывать по 54925 рублей в течение четырёх месяцев, чтобы купить пакет акций быстрорастущей компании.

Ответ: 54925 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 18. Задача 15.

Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций, а пакет стоил 160 000 рублей. В середине каждого месяца Сергей откладывает на покупку пакета акций одну и туже сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Сергею каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

1-й месяц. Сергей не смог купить акции за 160 тысяч рублей. Он отложил Х тысяч рублей

2-й месяц. Акции стоят 1,25 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

3-й месяц. Акции стоят 1,25 2 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

4-й месяц. Акции стоят 1,25 3 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

n-й месяц. Акции стоят 1,25 n -1 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

Итак, за n месяцев Александр отложил nХ тысяч рублей, и наконец, может купить акции, т.е.

Производная отрицательна при n ∙ ln1,25 -1 < 0. Решаем неравенство:

Если n = 2, то 1,25 2 = 1,5625 < e;

Если n = 3, то 1,25 3 ≈ 1,953 < e;

Если n = 4, то 1,25 4 ≈ 2,4 < e;

Если n = 5, то 1,25 5 ≈ 3,05 > e.

Таким образом, производная X ’ (n) поменяет знак с минуса на плюс на промежутке, содержащем n = 5. Это наименьшее целое значение n, при котором функция

Это означает, что Сергею достаточно было откладывать по 78125 рублей в течение пяти месяцев, чтобы купить пакет акций быстрорастущей компании.

Ответ: 78125 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 19. Задача 15.

Цена ценной бумаги на конец года вычисляется по формуле

S=1,1S_o + 2000, где S_o – цена этой ценной бумаги на начало года в рублях. Максим может приобрести ценную бумагу, а может положить деньги на банковский счёт, на котором сумма увеличивается за год на 12 %. В начале любого года Максим может продать бумагу и положить все вырученные деньги на банковский счёт, а также снять деньги с банковского счёта и купить ценную бумагу. В начале 2021 года у Максима было 80 тыс. рублей, которые он может положить на банковский счёт или может приобрести на них ценную бумагу. Какая наибольшая сумма может быть у Максима через четыре года? Ответ дайте в рублях.

По условию у Максима 80 тыс. рублей, которые он может или положить на счёт или купить ценную бумагу, т.е. S_o = 80 тыс. рублей.

Если в начале 2021 года Максим положит деньги на банковский счёт, то на конец года у него будет 1,12 S_o.

Запишем эту сумму в виде: 1,1S_o + 0,02S_o и сравним её с ценой ценной бумаги на конец года: 1,1S_o + 2000.

Итак, если в начале 2021 года Максим купит ценную бумагу, то на конец года у него будет 1,1 ∙ 80000 + 2000 = 90000 рублей. Оставить ценную бумагу или продать?

На конец 2022 года у Максима будет

1,1 ∙ 90000 + 2000 = 101000 рублей.

Оцениваем значение 0,02S_o = 0,02 ∙ 101000 = 2020 > 2000.

Следовательно, в начале 2023 года Максиму выгоднее продать ценную бумагу и положить деньги на банковский счёт.

На конец 2023 года у него может быть 1,12S_o = 1,12 ∙ 101000 = 113120 рублей.

На конец 2024 года у Максима может быть 1,12S_o = 1,12 ∙ 113120 = 126694,4 рублей.

Ответ: 126694,4 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 33. Задача 15.

15 июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 11-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.

За 15 месяцев банку заплатили 1300-100=1200 тысяч рублей основного долга,

что составляет 1200 : 15 = 80 тысяч рублей – сумму, на которую ежемесячно уменьшается долг.

Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1300 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 80 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:

1 месяц. 1300 ∙ 0,01r = 13r;

2 месяц (1300-80) ∙ 0,01r = 1220 ∙ 0,01r = 12,2r;

3 месяц (1220-80) ∙ 0,01r =1140 ∙ 0,01r = 11,4r;

4 месяц (1140-80) ∙ 0,01r =1060 ∙ 0,01r = 10,6r и так далее.

Заметим, что последовательность чисел 13r; 12,2r; 11,4r; 10,6r и т.д. представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом

а₁ = 13r и разностью d=-0,8r. Нам нужно найти сумму 15-ти членов этой арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой:

Итак, банку придётся отдать 1200 тысяч рублей плюс 111r тысяч рублей процентов за первые 15 месяцев и ещё за 16-й месяц долг 100 тысяч рублей плюс проценты с этой суммы, т.е. r % от 100 тысяч (это 0,01r ∙ 100 = r). Общая сумма выплат по условию равна 1636 тысяч рублей. Получим равенство:

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 34. Задача 15.

15 мая планируется взять кредит в банке на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 17-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1472 тысячи рублей?

Обозначим через Х сумму, которую нужно будет выплатить банку к 15-му числу 17-го месяца в счёт основного долга.

За 16 месяцев банку заплатят 16 ∙ 50 = 800 тысяч рублей основного долга.

Значит, 1472-800=672 тысячи рублей – это проценты за 16 месяцев,

а также за 17-й месяц сумма Х с процентами, т.е. Х+0,02Х=1,02Х.

Итак, взятая сумма кредита (800+Х) тысяч рублей, и нам надо подсчитать проценты с этой суммы за первые 16 месяцев кредитования.

Рассуждаем: в первый месяц банк начислит 2 % на сумму (800+Х), во второй месяц 2 % на сумму (750+Х), затем на (700+Х), на (650+х) и т.д. А в 16-й месяц кредитования банк начислит 2 % на сумму (50+Х) тысяч рублей.

Таким образом, нам надо найти значение выражения:

Сумма в скобках – это сумма арифметической прогрессии с первым членом

Это проценты за первые 16 месяцев кредитования.

Итак, получим равенство:

За 17 месяц в счёт основного долга нужно выплатить 400 тысяч рублей. Тогда в кредит планируется взять 800+400=1200 тысяч рублей.

Ответ: 1 200 000 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 36. Задача 15.

31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

I способ решения. Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных выплат, равных X₁, X₂, X₃, …, X_n, осуществленных после начисления r% по вкладу, то применяем формулу:

Кредит Михаила S полностью погашается за 4 платежа по 2928200 рублей каждый, после начисления r = 10% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга. Таким образом, так как X₁=X₂=X₃=X₄=2928200, получаем сумму взятого кредита:

Окончательно S = 2000000 ∙ 4,641 = 9282000 рублей.

II способ решения (традиционный).

Пусть Михаил взял в банке S рублей.

1) Банк начислил на эту сумму 10% и долг составил 1,1S рублей. Михаил выплатил 2928200 рублей. Долг составил (1,1S-2928200) рублей.

2) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1S-2928200) рублей. Михаил выплатил 2928200 рублей. Долг составил (1,1(1,1S-2928200)-2928200) рублей.

3) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1(1,1S-2928200)-2928200) рублей. Михаил выплатил 2928200 рублей.

Долг составил (1,1(1,1(1,1S-2928200)-2928200)-2928200) рублей.

4) Банк начислил 10% и долг составил

1,1(1,1(1,1(1,1S-2928200)-2928200)-2928200). Банк выплатил 2928200 рублей, и долг был полностью погашен. Составим равенство:

1,1 4 ⋅ S-1,1 3 ⋅2928200-1,1 2 ⋅2928200-1,1⋅2928200-2928200=0;

Примечание. Если обозначить 2 928 200 рублей через Х, то записи решения были бы короче.

Итак, обозначим каждый из четырёх ежегодных платежей через Х.

Пусть Х=2928200 рублей, а взял Михаил в банке S рублей.

1) Банк начислил на эту сумму 10% и долг составил 1,1S. Михаил выплатил Х рублей. Долг составил 1,1S-Х.

2) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1S-Х)=1,1 2 ∙ S-1,1X. Михаил выплатил X. Долг составил 1,1 2 ∙ S-1,1X-X.

3) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1 2 ∙S-1,1X-X)=1,1 3 ∙S-1,1 2 X-1,1X. Михаил выплатил X рублей.

Долг составил 1,1 3 ∙S-1,1 2 X-1,1X-X.

4) Банк начислил 10% и долг составил

1,1(1,1 3 ∙S-1,1 2 X-1,1X-X)=1,1 4 ∙S-1,1 3 X-1,1 2 X-1,1X.

Банк выплатил X, и долг был полностью погашен. Получаем равенство:

1,1 4 ∙S-1,1 3 X-1,1 2 X-1,1X-Х=0.

1,1 4 ∙S=1,1 3 X+1,1 2 X+1,1X+Х=0;

S=4,641X :1,4641. Так как Х=2928200, то

Ответ: 9 282 000.

Ниже простые и очень полезные формулы:

k 2 ⋅ S = (k +1) ⋅ Х . ( I**)

k 3 ⋅ S = (k 2 + k + 1) ⋅ Х. ( II**)

k 4 ⋅ S = (k 3 + k 2 + k + 1) ⋅ Х. ( III**)

Здесь: S – сумма кредита, выданная банком под r%, которая полностью погашается платежами по Х рублей каждый. Значение k=1+0,01r. Показатель степени с основанием k – это количество платежей по Х рублей.

Один из типов экономических задач — это задачи на платежи с равномерно убывающим долгом. Каждый месяц (период) основной долг уменьшается на одинаковую сумму. Ежемесячный платёж будет состоять из суммы основного долга и суммы начисленных процентов на остаток долга.

В этом случае мы имеем дело с дифференцированными платежами.

Внимание: в задачах этого типа применяется формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Задачи для разбора берутся из вариантов ЕГЭ прошлых лет, размещённых на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитать сумму кредита

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту после полного его погашения составила 2 млн руб. (никакие округления при вычислении платежей не производятся)?

S тыс. руб. — сумма кредита,

2 млн руб. = 2000 тыс. руб.,

X тыс. руб. — ежемесячная выплата основного долга.

Суммы ежемесячного долга: S; (S — X); (S — 2 * X . S — 47 * X); (S — 48 * X); 0

S * p; (S — X) * p; (S — 2 * X) * p . (S — 47 * X) * p; (S — 48 * X) * p; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 49 * p — 24 * p) = 2000

S * (1 + 25 * 0,01) = 2000

S = 1600 тыс. руб., или 1,6 млн руб.

Ответ: 1,6 млн руб.

Задача 2. Рассчитать сумму кредита

15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,604 млн руб. (1604 тыс. руб.)?

Задача отличается от предыдущей — выплаты по основному долгу (30 тыс. руб.) осуществляются только первые 20 месяцев, а значит, в последний месяц выплата будет иной.

S тыс. руб. — сумма кредита

Суммы ежемесячного долга: S; (S — 30); (S — 60. S — 570); (S — 600); 0

Начисленные проценты: S * р; (S — 30) * р; (S — 60) * р. (S — 570) * р; (S — 600) * р; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 21 * 0,03) — 0,03 * 6300 = 1604

1,63 * S — 189 = 1604

1,63 * S = 1604 + 189

S = 1100 тыс. руб., или 1,1 млн руб.

Ответ: 1,1 млн руб.

Задача 3. Рассчитать, на сколько месяцев планируется взять кредит

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его выплаты таковы:

1-го числа n-ого месяца долг возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?

Превышение выплат на 30% от суммы кредита — за счёт выплаченных процентов.

Раскрываем скобки и группируем слагаемые.

Ответ: 19 месяцев.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяц долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958,5 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку за первые 12 месяцев?

Просмотр содержимого документа
«Решаем задание 17 ЕГЭ. Банковские задачи. 7»

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958,5 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

S тыс.рублей – сумма кредита, 24 месяца, 1%, пропорциональные выплаты.

Через месяц долг банку увеличивается на 1% и становится равным 1,01 S тыс. рублей. Далее следует первая выплата в размере

Долг банку после первой выплаты составит

Еще через месяц на эту сумму набегают проценты, и долг становится равным Вторая выплата составит сумму После второй выплаты долг банку будет равен

Таким образом, ежемесячные выплаты составляют последовательность:

Известно, что сумма выплат за последние 12 месяцев составит 958,5 тыс. руб., поэтому получаем уравнение:

(воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии),

Итак, в банке планируется взять в кредит 1 800 тыс.руб.

Составим выражение, чтобы найти сумму выплат за первые 12 месяцев:

Подставим вместо S значение и получим: 0,5925∙1800 = 1066,5.

Таким образом, за первые 12 месяцев клиент должен выплатить 1 066 500 рублей.

Задание 17. 15-го января планируется взять кредит в банке на 8 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Обозначим через сумму кредита, взятого в банке. В первый месяц она увеличивается на 2% и становится равной . После этого делается платеж такой, чтобы долг был равен (равномерно уменьшался), получаем сумму платежа:

В следующий месяц сумма увеличивается до и сумма платежа составляет (чтобы осталось ):

Таким образом, за все 8 месяцев сумма выплат составит

То есть сумма выплат составляет 109% от исходного размера кредита.

Задание 17. 15-го июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

Начальная сумма кредита составляет S = 1300 тыс. рублей. В течение 15 месяцев она равномерно уменьшается до M = 100 тыс. рублей. Без учета процентов ежемесячные выплаты составят:

тыс. рублей.

Получаем последовательность из 15 чисел:

1300, 1220, 1140, 1060, …, 100.

Так как каждый месяц начисляются проценты, то реальные выплаты увеличиваются на величину этих процентов:

Получаем сумму выплат за первые 15 месяцев:

Далее, добавляем сумму M и проценты за 1 месяц, получаем общую сумму выплат:

Имеем значение процента по кредиту в 3%.

Задание 17. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн рублей.

Обозначим размер кредита через S. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает по 0,2S. Всего 0,4S за два года.

Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 3-го года долг возрастёт до 1,2S. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 3-го и 4-го годов. После выплаты в конце 3-го года долг равен l,2S-x, а в середине 4-го года он равен 1,2(1,2S - х). В конце 4-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна l,2(l,2S-x) и по условию равна х. Значит,

и общий размер выплат равен

Видим, что при S=5 это неравенство верно, а при S=4 оно неверно, равно как и при меньших значениях S. То есть, кредит составил 5 млн. рублей.

Ответ: 5 000 000.

Задание 17. 15-го марта планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тысячи рублей?

Обозначим через S исходную сумму кредита. В течение первого месяца эта сумма возрастает на 3%, становится равной S+0,03S. Выплату нужно сделать так, чтобы исходная сумма S уменьшилась на 40 тыс. рублей, то есть, нужно выплатить

0,03S+40 тыс. рублей.

Оставшаяся сумма S-40 в следующем месяце снова увеличивается на 3%, становится равной и следует выплатить

тыс. рублей.

Таким образом, в течение 25-ти месяцев сумма выплат составит:

В последний 26-й месяц выплачивается остаток . В сумме имеем:

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также:

15 мая планируется взять кредит в банке на 17 месяцев условия его возврата таковы 1472

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

Просмотр содержимого документа «Решаем задание 17 ЕГЭ. Банковские задачи. 7»

Просмотр содержимого документа
«Решаем задание 17 ЕГЭ. Банковские задачи. 7»