На какое минимальное количество месяцев иван сергеевич может взять кредит
Обновлено: 18.04.2024
Описание материала: Предлагаю вам статью, в которой показаны способы решения экономических задач на кредиты. Описаны два вида кредита: с аннуитетным платежом и дифференцированным платежом. Данный материал будет полезен для учителей математики 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня (задача 17).
1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши (платежи), растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым.
2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.
Задача 1.
1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение:
Ответ: 5 месяцев.
Задача 2.
31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5 годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение:
Дмитрий взял в банке кредит 4 290 000 рублей.
Дмитрий выплатил кредит за два года, поэтому сумма долга в конце второго года равна 0.
Получим уравнение:
При решении задач на кредиты с дифференцированным платежом начисляемые проценты за весь период кредитования можно вычислить с помощью формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии. И потом найти сумму общего платежа. Считаю, что этот метод будет прост и понятен для учащихся.
Задача 3
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму надо выплатить банку за первые 12 месяцев?
Решение:
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен 2400000:24=100000(р.)) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается 100000р.
Сумма начисленных «процентов» за 12 месяцев (в млн. р.):
В скобках арифметическая прогрессия. Воспользовались формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии :
За 12 месяцев буде выплачена половина долга, то есть 1,2 млн р.
Значит за первые 12 месяцев банку нужно выплатить 1 200 000 + 666 000 = 1 866 000 р.
Ответ: 1 866 000 рублей.
Задача 4
15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Решение:
Пусть в банке взяли кредит S рублей. Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
Всего банку будет выплачено S + 0,03S = 1,03S. Значит общая сумма выплаченных денег от суммы кредита составляет 103%.
Ответ: 103%.
Задача 5
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?
Решение:
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен 2400000:24=100000(р.)) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается 100000р.
Сумма начисленных процентов за 12 последних месяцев (в млн):
За 12 месяцев буде выплачена половина долга, то есть 1,2 млн р.
Значит за последние 12 месяцев банку нужно выплатить 1 200 000 + 156 000 = 1 356 000 р.
Ответ: 1 356 000 рублей.
Задача 6
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
Значит за 15 месяцев должны заплатить долг – S рублей и ежемесячных процентов, начисленных к остатку:
Значит за весь срок кредитования будет выплачено 1 488 000 рублей.
Ответ: 1 488 000 рублей.
Задача 7
15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма взятая в кредит. Найдите r.
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
Значит за 9 месяцев должны заплатить долг – S рублей плюс сумму процентов, начисленных к остаткам ежемесячно:
Значит кредит взят под 3% в месяц.
Ответ: 3%.
Задача 8
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
Значит за 15 месяцев должны заплатить долг – S рублей и ежемесячных процентов, начисленных к остатку:
Задача 9
15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь период кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
Значит за 18 месяцев должны заплатить долг – S рублей и сумму ежемесячных процентов, начисленных к остатку:
Значит сумма выплаченных банку денег составляет 119% от суммы долга.
Ответ: 119%.
Задача 10
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
Получим уравнение: 0,5925 S = 177750,
S = 300000
Значит в кредит взяли 300 000 рублей.
Ответ: 300 000 рублей.
Задача 11
15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что я сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 39% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
Значит за 25 месяцев должны заплатить долг –S рублей плюс сумму процентов, начисленных к остаткам ежемесячно:
Значит кредит взят под 3% в месяц.
Ответ: 3%.
Задача 12
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тысяч рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
Получим уравнение: 0,5325 S = 1597500; S = 3 00 000.
Значит планируется взять 3 000 000 рублей.
Ответ: 3 000 000 рублей.
Литература
И.В.Ященко. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. Издательство «Экзамен», М. 2017.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«ХАССП — вся правда. Как не отравить школьника за завтраком или обедом?»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
Задача 1. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Заметим, что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 1,1 млн рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами.
Каждый месяц долг увеличивается не более, чем на
1100000 · 0,01 = 11000 рублей.
Значит, за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более
1100000 + 5 · 11000 = 1155000 рублей,
5 · 275000 = 1375000 рублей.
Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев.
Задача 2. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент
После первой выплаты сумма долга составит
После второй выплаты сумма долга составит
S2 = S1b − X = (Sb − X)b − X = Sb 2 − (1 + b)X.
По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью, поэтому
При S = 4290000 и а = 14,5, получаем: b = 1,145 и
Ответ: 2622050.
Задача 3. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент
После первой выплаты сумма долга составит
После второй выплаты сумма долга составит
S2 = S1b − X = (Sb − X)b − X = Sb 2 − (1 + b)X.
После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна
После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна
По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому
При S = 6902000 и а = 12,5, получаем: b = 1,125 и
Ответ: 2296350.
Задача 4. 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6944000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S1 = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит
S2 = S1b − X = (Sb − X)b − X = Sb 2 − (1 + b)X.
После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна
По условию задачи с учетом третьей выплаты Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому
При S = 6944000 и а = 12,5, получаем:
Ответ: 2916000.
Задача 5. 1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тысяч рублей?
Сразу можно заметить, что максимально допустимая сумма выплаты (220 тысяч рублей) составляет 1/5 часть всей суммы кредита (но без процентов). Значит, минимальное количество месяцев, на которое Тарас Павлович может взять кредит, будет не менее пяти.
Ежемесячно долг может увеличиваться не более чем на
1100000 · 0,02 = 22000 рублей.
За шесть месяцев максимальная сумма долга с процентами может составить
1100000 + (6 · 22000) = 1232000 рублей.
Если эту сумму разделить на 6 равных платежей, то ежемесячная выплата будет составлять примерно 205,3 тысячи рублей. А это не более чем 220 тысяч рублей.
Следовательно, минимальное количество месяцев, на которое Тарас Павлович может взять кредит (с ежемесячной выплатой не более 220 тысяч рублей), составит 6.
Задача 6. 1 января 2015 года Василий Михайлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Василий Михайлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Василий Михайлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 137,5 тыс. рублей?
Из условия мы видим, что 137,5 тыс. рублей - это 1/8 часть от общей суммы кредита (1,1 млн рублей), но без учёта процентов. То есть минимальное количество месяцев будет точно больше восьми.
Вычислим максимальный ежемесячный процент, начисляемый банком, в рублях:
1100000 · 0,01 = 11000 рублей.
За 9 месяцев общая сумма кредита с процентами составит:
1100000 + (11000 · 9) = 1199000 рублей.
Разделим её на 9 (месяцев):
1199000 : 9 ≈ 133222 рубля.
Получившаяся сумма не превышает 137500 рублей, что удовлетворяет условию задачи. Следовательно, минимальное количество месяцев, на которое Василий Михайлович может взять кредит, - 9.
Задача 7 . 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,2 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 1 200 000:24 = 50 000 (руб.). За 12 месяцев нужно выплатить 600 000 рублей (без процентов).
2) Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.
1 200 000 0,01 + 1 150 000 0,01 + 1 100 000 0,01 + . +650 000 0,01 =
= 0,01 (1 200 000 + 1 150 000 + 1 100 000 + . + 650 000) =
= 12 0,01=11 100 000 0,01=111 000 (руб.).
3) 600 000 + 111 000 = 711 000(руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.
Ответ: 711 000 рублей
Задача 8 . 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 933 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования?
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.
Сумма кредита составляет (24 Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12 Х) рублей (без процентов).
2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 933 000 = 12Х + Р.
Р = (24Х + 23Х +. + 13Х) 0,03 = 12 0,03 = 37Х 0,18 = 6,66Х;
933 000 = 12Х + 6,66Х;
933 000 = 18, 66Х;
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 50 000 рублей.
3) 50 000 12 = 600 000 (руб.) нужно вернуть банку в течение второго года (без процентов).
Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за последние 12 месяцев.
(12Х + 11Х + . + Х) 0,03 = 12 0,03 = 13Х 0,18 = 2,34Х;
2,24 50 000=117 000 (руб.)
4) 600 000 + 117 000 = 717 000 (руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение второго года.
Ответ: 717 000 рублей
Задача 9. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 798,75 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет (24 Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12 Х) рублей (без процентов).
2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за последние 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 798,75 = 12Х + Р.
Р = (12Х+11Х+. +Х) 0,01 = 12 0,01 = (12Х + Х) 0,06 = 0,78Х;
798 750 = 12Х + 0,78Х; 798 750 = 12,78Х; Х = 62 500.
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 62 500 рублей.
3) 62 500 12 = 750 000 (руб.) нужно вернуть банку в течение первого года (без процентов).
Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.
(24Х + 23Х + . +13Х) 0,01 = 12 0,01 = 37 6 0,01 Х = 2,22 62 500 = 138 750 (руб.)
4) 750 000 + 138 750 = 888 750 (руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.
Ответ: 888 750 рублей
Задача 10. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года (месяцев первых 12) кредитования нужно вернуть банку 1399,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей
Сумма кредита составляет (24 Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12 Х) рублей (без %).
2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 1 399 500 = 12Х + Р.
Р = (24Х + 23Х +. + 13Х) 0,03= 12 0,03=(24Х + 13Х) 0,18 = 6,66Х;
1 399 500 = 12Х + 6,66Х;
1 399 500 = 18, 66Х;
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 75 000 рублей.
3) 75 000 24 = 1 800 000 (руб.) - сумма планируемого кредита.
Ответ: 1 800 000 рублей
Задача 11. 15 января планируется взять в кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 1695 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.
Сумма кредита составляет (24 Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12 Х) рублей (без процентов).
2). Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 1 695 000 = 12Х + Р.
Р = (12Х + 11Х +. + Х) 0,02 = 12 0,02 = 13Х 0,12 = 1,56Х;
1 695 000= 12Х + 1,56Х;
1 695 000 = 13, 56Х;
Х = 125 000.
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 125 000 рублей.
3) 125 000 24 = 3 000 000 (руб.) - сумма планируемого кредита.
Ответ: 3 000 000 рублей
Задача 12. 15 января планируется взять в кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на пятый месяц (со 2 по 14 июня) кредитования нужно выплатить банку 44 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования?
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет (9 Х) рублей (без процентов).
2) Пусть р – сумма, которую составляют проценты на пятый месяц кредитования.
Составим и решим уравнение: 44 000 = Х + р.
За пять месяцев сумма кредита составит (5 Х) руб.
На пятый месяц проценты составят р = 5Х 0,02 = 0,1Х (руб.).
Тогда 44 000 = Х + 0,1Х; 44 000 = 1,1Х;
Х = 40 000 (руб.) составляет сумма ежемесячных выплат (без процентов).
Сумма кредита составляет 40 000 9 = 360 000(руб.)
3) Подсчитаем сумму, которую составляют проценты за весь период:
(9Х + 8Х +. + Х) 0,02 = 9 0,02 = 10Х 0,09 = 0,9Х;
0,9 40 000 = 36 000(руб.)
4) 360 000 + 36 000 = 396 000(руб.) - сумма, которую нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования.
Ответ: 396 000 рублей
Задача 13. 15 января планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
– 1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;
– выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.
Если переводить в банк каждый год по 2 073 600 рублей, то кредит можно выплатить за 4 года. Если переводить по 3 513 600 рублей, то за 2 года.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«ХАССП — вся правда. Как не отравить школьника за завтраком или обедом?»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
Интегрированный урок математики и экономики в 11-м классе по теме
« Экономические задачи на ЕГЭ»
Тема урока: Экономические задачи на ЕГЭ
Вид урока: интегрированный урок закрепления знаний
Дидактическая цель : создать условия для закрепления учебной информации
- обучающая: научить учащихся решать экономические задачи, связанные с банковскими кредитами.
- развивающая: развить нестандартное мышление обучающихся через умение находить рациональные пути решения, научить переключаться с одного способа на другой.
- воспитательная: воспитать культуру обращения с банковскими кредитами, терпение, упорство в достижении цели.
Формируемые результаты
Предметные: обобщить и систематизировать знания учащихся о процентах
Личностные: развивать готовность к самообразованию и решению творческих задач.
Метапредметные: формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе и познавательной деятельности, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности.
Планируемые результаты
Учащийся научится использовать проценты для решения задач.
Основные понятия: процент, кредит, выплата кредита, процентная ставка.
Алгебра 11 кл.: учебник в 2 частях для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович и др. – 17-е издание, стереотипное – М.: Мнемозина, 2014
Конверты с раздаточным материалом.
Формы работы учащихся: фронтальная работа, групповая технология, ИКТ.
Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей: « Добрый день! Мы рады приветствовать вас сегодня на уроке. Для того чтобы сегодня вы достигли успеха, вам необходимо работать в группах сообща.
Коммуникативные - формирование умения слушать.
Личностные - р азвитие внимания
- Ребята, у вас на столах задания
1. Что такое 1 процент числа? (ответ: 1\100 часть числа)
2. Как найти 10, 20, 25, 50, 75 процентов числа? (ответ: 1\10, 1\5, 1\4, 1\2, 3\4 часть числа соответственно).
3. Вложили в банк 3млн рублей под 20 % годовых. Какая сумма будет на счету через год, если никаких операций со счетом не проводили?
(ответ: 3,6 млн. рублей)
Предлагают свои версии.
Слушают, работают в группах, анализируют результаты.
Делают самооценку своей работы.
Коммуникативные - умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении учебной проблемы,
оформлять свои мысли в устной форме, умение отстаивать свою точку зрения
- Из каких научных областей термины в таблице?
- Подумайте, каких целей вы можете достичь сегодня на уроке.
-Может, кто-то из вас для себя поставит другие цели? (спросить выборочно, кто какие цели поставил).
- А как вы думаете, для чего мы сегодня объединили экономику и математику?
Примерные ответы учащихся:
Экономика и математика
Экономические задачи
Например, при оплате услуг, получения заработной платы, банковское дело.
Слушают, принимают участие в диалоге, анализируют, определяют для себя цели.
Дают определения понятий.
Показать связь математики и экономики.
Личностные -
формирование умений использовать приобретенные знания в повседневной жизни; формирование аккуратности при построении графиков.
Коммуникативные -
умение строить продуктивное взаимодействие со сверстниками и учителем; уметь слушать, вступать в диалог.
Регулятивные -
формирование умений целеполагания и прогнозирования; формирование умений составлять план решения задач, самостоятельно сверять действия с целью и исправлять ошибки.
Познавательные -
умение анализировать и систематизировать знания.
Систематизация знаний и умений.
1) Блок «Математика». (приложение)
- Приступим к работе с блоком МАТЕМАТИКА.
Для того, чтобы определить связь математики и экономики, необходимо повторить основные понятия, связанные с процентами
1 . Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
2. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?
3. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?
2) Блок «Экономика».
- У каждой группы на карточке есть задание «Блок экономика».
15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
3) – Что общего вы наблюдали в заданиях двух блоков?
-Как уменьшается долг?
- Как составляются выплаты?
Выполняют задания на доске, остальные работают в рабочих тетрадях.
С помощью процентов определяют неизвестные характеристики.
Устно аргументируют свои ответы по 1 учащемуся от каждой группы:
-Процент от числа
-Число по его проценту
Личностные - умение контролировать процесс и результат математической деятельности
Коммуникативные -
умение строить продуктивное взаимодействие со сверстниками и учителем; уметь слушать, вступать в диалог. Продолжить формирование умения выражать свои мысли и идеи.
Регулятивные -
формирование умений составлять план решения задач, самостоятельно сверять действия с целью и исправлять ошибки.
Познавательные -
умение анализировать и систематизировать знания.
- Ребята, Вам предлагается задача и каждой группе нужно найти свое решение этой задачи.
1 января 2015 года Иван Сергеевич взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 2% на оставшуюся сумму долга( то есть увеличивает долг на 2), затем Иван Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Иван Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей.
Задача № 2
15-го января Алиса планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата следующие:
- 1-гочисла каждого месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца, где r –целое число;
- выплата должна производиться один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;
- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
(в млн.рублях) 1 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0
Найдите наименьшее значение r, при котором Алисе в общей сумме придётся выплатить больше 1,4 млн. рублей.
- Ребята. В каких научных областях мы сегодня столкнулись с применением процентов?
- Какой можно сделать вывод?
- Оцените свою работу на данном этапе.
(экономика, банковское дело)
Проводят работу, отвечают на поставленные вопросы, строят математическую модель задачи.
Отчитываются о проделанной работе
Личностные -формирование умений использовать приобретенные знания в повседневной жизни.
Формирование аккуратности при построении графиков.
Коммуникативные -
уметь строить продуктивное взаимодействие со сверстниками и учителем.
Уметь слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы.
Самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группах.
Регулятивные -
формирование умений составлять план решения задач, самостоятельно сверять действия с целью и исправлять ошибки.
Формирование умений определять понятия, строить умозаключения и делать выводы.
Познавательные -
формирование умений анализировать и синтезировать знания, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическую цепь рассуждений, систематизировать знания.
Формирование умений применять знания, полученные на уроках математики для решения физических задач.
Подведение итогов урока, рефлексия, домашнее задание.
Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.
Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.
Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации, их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе
Данную задачу проверяют не автоматически, а вручную. Ознакомьтесь с критериями оценки, правильным решением и сами себе поставьте оценку от 0 до 3 баллов. Даже если вы ошиблись в цифровом ответе, можно получить несколько баллов за правильный ход решения. Форма для оценки находится внизу страницы.
Способ 1. Вычисление по действиям
А сделаем грубые прикидки
Если процентов по кредиту нет, то минимум нужно 5 месяцев. Процент относительно невелик - 1%, поэтому мы можем уложиться и в 5 месяцев. Но сразу видно, что срок будет 5 месяцев или больше. Проверим это расчетом.
Коэффициент увеличения суммы долга рассчитывается по формуле
1 месяц. Увеличение долга, банк начислил % 1.600.000 ∗ 1 , 01 = 1.616.000 1.600.000 *1,01=1.616.000 1 . 6 0 0 . 0 0 0 ∗ 1 , 0 1 = 1 . 6 1 6 . 0 0 0
1 месяц. Уменьшение долга кредитор гасит долг 1.616.000 − 350.000 = 1.266.000 1.616.000 -350.000 = 1.266.000 1 . 6 1 6 . 0 0 0 − 3 5 0 . 0 0 0 = 1 . 2 6 6 . 0 0 0
5 месяц уменьшение долга
То есть на пятый месяц кредит гасится полностью. Ответ 5 месяцев.
Способ 2. А можно ли воспользоваться общей формулой выплаты кредита равными долями?
Нет. Дело в том, что кредит выплачивается неравными долями! Последняя выплата, это выплата остатка, и она может быть заметно меньше ежемесячного платежа.
Способ 1. Вычисление по действиям
А сделаем грубые прикидки
Если процентов по кредиту нет, то минимум нужно 5 месяцев. Процент относительно невелик - 1%, поэтому мы можем уложиться и в 5 месяцев. Но сразу видно, что срок будет 5 месяцев или больше. Проверим это расчетом.
Коэффициент увеличения суммы долга рассчитывается по формуле
1 месяц. Увеличение долга, банк начислил % 1.600.000 ∗ 1 , 01 = 1.616.000 1.600.000 *1,01=1.616.000 1 . 6 0 0 . 0 0 0 ∗ 1 , 0 1 = 1 . 6 1 6 . 0 0 0
1 месяц. Уменьшение долга кредитор гасит долг 1.616.000 − 350.000 = 1.266.000 1.616.000 -350.000 = 1.266.000 1 . 6 1 6 . 0 0 0 − 3 5 0 . 0 0 0 = 1 . 2 6 6 . 0 0 0
5 месяц уменьшение долга
То есть на пятый месяц кредит гасится полностью. Ответ 5 месяцев.
Способ 2. А можно ли воспользоваться общей формулой выплаты кредита равными долями?
Нет. Дело в том, что кредит выплачивается неравными долями! Последняя выплата, это выплата остатка, и она может быть заметно меньше ежемесячного платежа.
В работе рассмотрено решение финансовых задач на определение наибольшего (наименьшего) размера льготного кредита.
Просмотр содержимого документа
«Задание № 17. Финансовые задачи. Льготный кредит»
Задание № 17. Финансовые задачи. Льготный кредит
Задача 1. (вариант 1 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 9 млн. руб.
Пусть а млн. руб. – сумма кредита
р = 20 % – процентная ставка
коэффициент наращивания
n = 5 лет – период кредитования
х руб. – сумма платежа в конце 4-го и 5-го годов
После пятого платежа долг равен нулю:
Все выплаты составляют:
По условию общая сумма выплат меньше 9 млн. рублей:
Наибольшее целое
Ответ: 4 млн. рублей.
Задача 2. (№ 514029)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.
Пусть а млн. руб. – сумма кредита
р = 20 % – процентная ставка
коэффициент наращивания
n = 5 лет – период кредитования
х руб. – сумма платежа в конце 4-го и 5-го годов
После пятого платежа долг равен нулю:
Все выплаты составляют:
По условию общая сумма выплат превысит 10 млн. рублей:
Ответ: 6 млн. рублей.
Задания для самостоятельного решения:
1. (вариант 2 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 10 млн. руб.
Ответ: 5 млн. рублей.
2. (вариант 3 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 10 млн. руб.
Ответ: 5 млн. рублей.
3. (вариант 4 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн. руб.
Ответ: 3 млн. рублей.
4. (вариант 5 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 15% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн. руб.
Ответ: 4 млн. рублей.
5. (№ 514048)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн. руб.
Автор статьи
Читайте также: