На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита
Обновлено: 19.04.2024
Встречаются задачи, в которых долг по кредиту уменьшается неравномерно, а убывает согласно данным, представленным в таблице.
Задачи для разбора взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .
Задача 1. Рассчитываем разницу между общей суммой выплат и суммой самого кредита
15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
При решении данной задачи воспользуемся советами, данными в прошлой статье «Проценты по кредиту с равными платежами».
Учитываем, что общая сумма выплат будет превышать сумму кредита за счёт начисленных и уплаченных процентов.
I способ — решим задачу в общем виде, приняв за сумму кредита S руб. р = 5% = 0,05,
Представим решение в виде таблицы.
| Долг с начисленными процентами, руб. | Выплата, руб. | Остаток долга, руб. | Остаток долга, % | |
| Февраль | Sr | Sr — 0,9S | 0,9S | 90% |
| Март | 0,9Sr | 0,9Sr — 0,8S | 0,8S | 80% |
| Апрель | 0,8Sr | 0,8Sr — 0,7S | 0,7S | 70% |
| Май | 0,7Sr | 0,7Sr — 0,6S | 0,6S | 60% |
| Июнь | 0,6Sr | 0,6S r — 0,5S | 0,5S | 50% |
| Июль | 0,5Sr | 0,5Sr | 0 | 0% |
Общая сумма выплат составит:
Общая сумма выплат от суммы кредита:
Следовательно, переплата равна 22,5%.
II способ — используем частный случай.
Пусть сумма кредита равна 100 руб.
| Долг с начисленными процентами, руб. | Выплата, руб. | Остаток долга, руб. | Остаток долга, % | |
| Февраль | 100 * 1,05 = 105 | 105 — 90 = 15 | 90 | 90% |
| Март | 90 * 1,05 = 94,5 | 94,5 — 80 = 14,5 | 80 | 80% |
| Апрель | 80 * 1,05 = 84 | 84 — 70 = 14 | 70 | 70% |
| Май | 70 * 1,05 = 73,5 | 73,5 — 60 = 13,5 | 60 | 60% |
| Июнь | 60 * 1,05 = 66,3 | 66,3 — 50 = 13 | 50 | 50% |
| Июль | 50 * 1,05 = 52,5 | 52,5 | 0 | 0% |
Общая сумма выплат:
Следовательно, переплата равна 22,5%.
Задача 2. Рассчитываем наибольшее значение процентов, при котором общая сумма выплат будет меньше заданного числа
15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:
-
1—го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб.
Выплата, млн руб.
Остаток долга, млн руб.
Обратите внимание! Ежемесячная выплата рассчитывается как разность между долгом на начало месяца и остатком долга. Следовательно, третий столбец заполняется в последнюю очередь.
Общая суммы выплат:
Обратите внимание! Вычисление следует производить до тысячных.
По условию задачи, r — целое число, следовательно, r = 7%.
Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»
Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий
Для оформления продукта необходим брокерский счёт
проект «Открытие Инвестиции»
Открыть брокерский счёт
Тренировка на учебном счёте
Об «Открытие Инвестиции»
Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4
8 800 500 99 66
Согласие на обработку персональных данных
Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
Задание 15 № 513106
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Не снижая общности рассуждений, примем начальную сумму кредита за 100 руб. и будем считать, что выплаты производились 10 числа каждого месяца. Составим таблицу выплат:
| Дата | 14.02 | 14.03 | 14.04 | 14.05 | 14.06 | 14.07 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Долг, руб. | 105 | 94,5 | 84 | 73,5 | 63 | 52,5 |
| Выплата, руб. | 15 | 14,5 | 14 | 13,5 | 13 | 52,5 |
| Остаток долга на день выплаты, руб. | 90 | 80 | 70 | 60 | 50 | 0 |
| Остаток долга на день выплаты, % | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
Тем самым, полная сумма выплат равна 15 + 14,5 +14 +13,5 +13 + 52,5 = 122,5 руб., переплата составила 22,5%.
Задание 15 № 513106
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Не снижая общности рассуждений, примем начальную сумму кредита за 100 руб. и будем считать, что выплаты производились 10 числа каждого месяца. Составим таблицу выплат:
| Дата | 14.02 | 14.03 | 14.04 | 14.05 | 14.06 | 14.07 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Долг, руб. | 105 | 94,5 | 84 | 73,5 | 63 | 52,5 |
| Выплата, руб. | 15 | 14,5 | 14 | 13,5 | 13 | 52,5 |
| Остаток долга на день выплаты, руб. | 90 | 80 | 70 | 60 | 50 | 0 |
| Остаток долга на день выплаты, % | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
Тем самым, полная сумма выплат равна 15 + 14,5 +14 +13,5 +13 + 52,5 = 122,5 руб., переплата составила 22,5%.
Задание 15 № 513106
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Не снижая общности рассуждений, примем начальную сумму кредита за 100 руб. и будем считать, что выплаты производились 10 числа каждого месяца. Составим таблицу выплат:
| Дата | 14.02 | 14.03 | 14.04 | 14.05 | 14.06 | 14.07 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Долг, руб. | 105 | 94,5 | 84 | 73,5 | 63 | 52,5 |
| Выплата, руб. | 15 | 14,5 | 14 | 13,5 | 13 | 52,5 |
| Остаток долга на день выплаты, руб. | 90 | 80 | 70 | 60 | 50 | 0 |
| Остаток долга на день выплаты, % | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
Тем самым, полная сумма выплат равна 15 + 14,5 +14 +13,5 +13 + 52,5 = 122,5 руб., переплата составила 22,5%.
Из пункта A , расположенного на берегу реки, вверх против течения направились две моторные лодки. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость «быстрой» лодки на 3 км/ч больше скорости «медленной» лодки. Через некоторое время они повернули обратно, и «медленная» лодка пришла в пункт A раньше, чем «быстрая», на время не меньше, чем \frac1 того времени, которое лодки шли от начала движения до поворота.
Найдите наибольшее целое значение скорости «быстрой» лодки, если собственные скорости лодок больше скорости течения.
Решение
1 . Пусть x км/ч — скорость «быстрой» лодки, тогда (x-3) км/ч — скорость «медленной» лодки. Обозначим через t время движения лодок от начала движения до поворота (в часах).
2 . Найдём время, затраченное «быстрой» лодкой на весь путь. Так как эта лодка сначала шла t часов против течения, то она прошла расстояние (x-2)\cdot t км. На обратный путь уже по течению она затратила время \frac часов.
3 Аналогично, согласно условию, медленная лодка шла против течения t часов со скоростью ((x-3)-2)=(x-5) км/ч и прошла расстояние (x-5)\cdot t км. При этом x-5>0.
На обратный путь эта лодка затратила время \frac=\frac часов, так как шла по течению.
4 . Согласно условию время движения «быстрой» лодки не менее, чем на \frac1 t больше времени движения «медленной» лодки. Поэтому справедливо неравенство
15x^2-45x+30-15x^2+45x+150\,\,- x^2-x+2 \geqslant 0,
-x^2-x+182 \geqslant 0,
x^2+x-182 \leqslant 0.
Решаем неравенство графически. Находим корни трёхчлена x^2+x-182.
Ветви параболы y=x^2+x-182 направлены вверх, эскиз графика имеет вид, изображённый на рисунке.
Неравенство выполнено, если -14 \leqslant x \leqslant 13.
С учётом ограничения x>5 получим, что наибольшим целым значением x , удовлетворяющим неравенству будет x=13.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1218
Условие
10 января 2016 года Тамара взяла в банке «Максимум» 1,5 млн рублей в кредит. Порядок выплаты кредита следующий: 10 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает оставшийся долг на 1% ), затем (сразу же после начисления процентов) Тамара переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тамара может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 250\,000 рублей?
Решение
Ясно, что за 6 месяцев Тамара не сможет выплатить долг, т.к. вернёт банку не более 250\,000\cdot 6=1\,500\,000 руб., а общий долг будет больше 1,5 млн, так как банк ещё начисляет проценты. Покажем, что Тамара выплатит весь долг за 7 месяцев.
Пусть все ежемесячные платежи, кроме, быть может, последнего, равны 250 тысяч рублей. Через месяц долг Тамары перед банком составит 1\,500\,000\cdot 1,01=1\,515\,000 руб. Затем Тамара выплатит 250\,000 и задолженность составит 1\,265\,000 руб. После этого банк начислит проценты, но 1% от оставшейся суммы будет уже меньше 15\,000 руб., а в дальнейшем будет становиться ещё меньше, так как сумма долга будет уменьшаться. Поэтому долг через 2 месяца будет менее 1\,280\,000 а после очередного платежа — менее 1\,030\,000 . Аналогично через 3 месяца задолженность будет менее 1\,045\,000 руб., а после платежа — менее 795\,000 рублей. Через 4 месяца долг будет менее 810\,000 а после платежа — менее 560\,000 . Через 5 месяцев долг будет менее 575\,000 а после платежа — менее 325\,000 . Через 6 месяцев долг будет менее 340\,000 а после платежа — менее 90\,000 Значит, через 7 месяцев задолженность будет менее 105\,000 и Тамара своим последним платежом полностью расплатится с банком.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Автор статьи
Читайте также: