Планируется взять кредит в размере 300 тысяч на 6 лет условия его возврата таковы

Обновлено: 23.04.2024

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 1. Задача 15.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?

Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей

Так как «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года», то обозначим эту величину через х тысяч рублей.

Тогда общая сумма кредита 8х, а остатки долга, на которые и начисляются ежегодно проценты в январе, по годам составят:

За первые 4 года банк начислит по 20% ежегодно, и проценты составят:

За вторые 4 года банк начислит по 18% ежегодно, и проценты составят:

Общая сумма процентов за 8 лет составит 5,2х+1,8х=7х тысяч рублей.

Итак, банку придётся отдать 8х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 7х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.

Итого общая сумма выплат 15х. По условию это 1125 тысяч рублей.

х=75 тысяч рублей.

Таким образом, в кредит планируется взять 8 ∙ 75 = 600 тысяч рублей.

Ответ: 600 000 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 2. Задача 15.

В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите сумму, которую планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тысяч рублей.

Обозначим через х тысяч рублей эту «одну и ту же сумму», на которую долг уменьшается ежегодно все 10 лет.

Следовательно, планируется взять в долг 10х тысяч рублей, а отдать придётся эти 10х тысяч рублей плюс проценты за все 10 лет, которые банк будет начислять ежегодно в январе на остатки долга, т.е. сначала на 10х, потом на 9х, затем на 8х и т.д.

С 2024 по 2028 год долг возрастает на 18%.

Тогда за первые 5 лет банк начислит:

С 2029 по 2033 год долг возрастает на 16%.

А за вторые 5 лет банк начислит:

0,16(5х+4х+3х+2х+х)=7,2х тысяч рублей.

Итак, банку за всё время нужно будет выплатить

х=75 тысяч рублей.

Таким образом, в кредит планируется взять 10 ∙ 75 = 750 тысяч рублей.

Ответ: 750 000 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 5. Задача 15.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.

Читаем условие: «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». И мы знаем эту величину:

300 : 6 = 50 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 50 тысяч рублей через х.

Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.

За первые 3 года долг возрастает на 20% ежегодно, и проценты составят:

0,2(6х+5х+4х)=3х тысяч рублей.

За вторые 3 года банк начислит по r % ежегодно, и проценты составят:

0,01r ∙ (3х+2х+х)=0,06rх тысяч рублей.

Общая сумма выплат составит 6х+3х+0,06rх тысяч рублей.

По условию это 498 тысяч рублей. Получаем равенство:

9х+0,06rх=498. Но у нас х=50 тысяч рублей.

9 ∙ 50+0,06r ∙ 50=498;

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 31. Задача 15.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн. рублей.

Пусть кредит составит S млн рублей, где S – целое число. За 1-й и 2-й годы заёмщик выплатит по условию по 20 % от суммы кредита,

Долг остался прежним S млн рублей

Будем считать, что берётся кредит S на 2 года (3-й и 4-й). Так как отдавать нужно равными платежами, то обозначим этот ежегодный платёж (без процентов) через Х. Тогда S=2X.

За 2 года (3-й и 4-й) будут выплачены эти 2Х млн рублей плюс проценты с этой суммы, всего

2Х+0,2 ∙ (2Х+Х) = 2Х+0,6Х = 2,6Х млн рублей.

Выразим 2,6Х через S.

Так как S = 2X, то X = S/2, поэтому 2,6X = 1,3S.

Итого за четыре года будет выплачено:

0,4S+1,3S = 1,7S млн рублей.

По условию эта сумма должна быть больше 8 млн рублей.

1,7S > 8, отсюда S = 5 – наименьшее целое число.

Ответ: 5 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 32. Задача 15.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн. рублей.

Пусть кредит составит S млн рублей, где S – целое число. За 1-й и 2-й годы заёмщик выплатит по условию по 25 % от суммы кредита,

Долг остался прежним S млн рублей

За 2 года (3-й и 4-й) будут выплачены эти 2Х млн рублей плюс проценты с этой суммы, всего

2Х+0,25 ∙ (2Х+Х) = 2Х+0,75Х = 2,75Х млн рублей.

Выразим 2,75Х через S.

Так как S = 2X, то X = S/2, поэтому 2,75X = 1,375S.

Итого за четыре года будет выплачено:

0,5S+1,375S = 1,875S млн рублей.

По условию эта сумма должна быть больше 9 млн рублей.

отсюда S = 5 – наименьшее целое число.

Ответ: 5 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 6. Задача 15.

В июле 2023 года планируется взять кредит на 8 лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2024 по 2027 год долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2028 по 2031 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тысяч рублей.

800 : 8 = 100 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 100 тысяч рублей через х.

Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 8х, 7х, 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.

За первые 4 года банк начислит по r % ежегодно, и проценты составят:

За последующие 4 года долг возрастает на 15% ежегодно, и проценты составят:

0,15(4х+3х+2х+х)=1,5х тысяч рублей.

Общая сумма выплат составит 8х+0,26rх+1,5х тысяч рублей.

По условию это 1444 тысяч рублей. Получаем равенство:

9,5х+0,26rх=1444. Значение х=100 тысяч рублей.

9,5 ∙ 100+0,26r ∙ 100=1444;

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 9. Задача 15.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

На самом деле, мы эту сумму знаем: это 650 : 10=65 тысяч рублей. А для чего берём эту сумму за х? Исключительно для удобства рассуждений!

Итак, 65 тыс. руб.=х.

Тогда общая сумма кредита 10х, а остатки долга, на которые и начисляются ежегодно проценты в январе, по годам составят:

За первые 5 лет банк начислит по 19% ежегодно, и проценты составят:

За последующие 5 лет банк начислит по 16% ежегодно, и проценты составят:

0,16(5х+4х+3х+2х+х)=2,4х тысяч рублей.

Общая сумма процентов за 10 лет составит 7,6х+2,4х=10х тысяч рублей.

Итак, банку придётся отдать 10х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 10х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.

Итого общая сумма выплат 20х. А мы знаем, что х=65 тысяч рублей, поэтому общая сумма выплат после полного погашения кредита составит

20 ∙ 65 = 1300 тысяч рублей.

Ответ: 1300 000 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 10. Задача 15.

В июле 2023 года планируется взять кредит на 12 лет в размере 1200 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2024 по 2029 год долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2030 по 2035 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

1200 : 12 = 100 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 100 тысяч рублей через х.

Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 12х, 11х, 10х, 9х, 8х, 7х, 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.

За первые 6 лет банк начислит по 18% ежегодно, и проценты составят:

За последующие 6 лет банк начислит по 15% ежегодно, и проценты составят:

0,15(6х+5х+4х+3х+2х+х)=0,15 ∙ 21х=3,15х тысяч рублей.

Общая сумма процентов за 12 лет составит 10,26х+3,15х=13,41х тысяч рублей.

Итак, банку придётся отдать 12х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 13,41х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.

Итого общая сумма выплат 25,41х тысяч рублей. А мы знаем, что х=100 тысяч рублей, поэтому общая сумма выплат после полного погашения кредита составит

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 8% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?

В августе со 2 по 15-е число 2026 года планируется взять кредит на 1200 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— первого числа каждого месяца долг увеличивается на 1%;

— со 2 по 15 числа каждого месяца, на протяжении следующих десяти месяцев, долг должен уменьшаться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем;

— на одиннадцатый месяц перед начислением процентов долг будет составлять 400 тыс. руб., после чего он погашается одним платежом.

Чему равна общая сумма выплат?

15 января 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с февраля 2025 года по июль 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15 июля 2027 года долг составит 300 тысяч рублей;

— 15 августа 2027 года кредит должен быть погашен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?

В июле 2025 года планируется взять кредит на 300 тыс. руб. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма выплат составит 435 тысяч рублей?

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 13% по сравнению с концом предыдущего

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равна сумма всех выплат?

15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей;

— 15 июля 2027 года долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?

15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на сумму на 17 месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й (с января 2025 года по апрель 2026 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15 апреля 2026 года долг составит 400 тысяч рублей;

— 15 мая 2026 года долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1608 тысяч рублей?

Один из типов экономических задач — это задачи на платежи с равномерно убывающим долгом. Каждый месяц (период) основной долг уменьшается на одинаковую сумму. Ежемесячный платёж будет состоять из суммы основного долга и суммы начисленных процентов на остаток долга.

В этом случае мы имеем дело с дифференцированными платежами.

Внимание: в задачах этого типа применяется формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Задачи для разбора берутся из вариантов ЕГЭ прошлых лет, размещённых на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитать сумму кредита

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту после полного его погашения составила 2 млн руб. (никакие округления при вычислении платежей не производятся)?

S тыс. руб. — сумма кредита,

2 млн руб. = 2000 тыс. руб.,

X тыс. руб. — ежемесячная выплата основного долга.

Суммы ежемесячного долга: S; (S — X); (S — 2 * X . S — 47 * X); (S — 48 * X); 0

S * p; (S — X) * p; (S — 2 * X) * p . (S — 47 * X) * p; (S — 48 * X) * p; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 49 * p — 24 * p) = 2000

S * (1 + 25 * 0,01) = 2000

S = 1600 тыс. руб., или 1,6 млн руб.

Ответ: 1,6 млн руб.

Задача 2. Рассчитать сумму кредита

15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,604 млн руб. (1604 тыс. руб.)?

Задача отличается от предыдущей — выплаты по основному долгу (30 тыс. руб.) осуществляются только первые 20 месяцев, а значит, в последний месяц выплата будет иной.

S тыс. руб. — сумма кредита

Суммы ежемесячного долга: S; (S — 30); (S — 60. S — 570); (S — 600); 0

Начисленные проценты: S * р; (S — 30) * р; (S — 60) * р. (S — 570) * р; (S — 600) * р; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 21 * 0,03) — 0,03 * 6300 = 1604

1,63 * S — 189 = 1604

1,63 * S = 1604 + 189

S = 1100 тыс. руб., или 1,1 млн руб.

Ответ: 1,1 млн руб.

Задача 3. Рассчитать, на сколько месяцев планируется взять кредит

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его выплаты таковы:

1-го числа n-ого месяца долг возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?

Превышение выплат на 30% от суммы кредита — за счёт выплаченных процентов.

Раскрываем скобки и группируем слагаемые.

Ответ: 19 месяцев.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Экономические задачи ввели в единый государственный экзамен по математике (профильный уровень) с 2015 года. При их решении у экзаменующихся часто возникают затруднения, ведь в жизни они пока не сталкивались с кредитами и вкладами, а значит, плохо понимают условия задач и действия, выполняемые внутри них.

Разбор типовых задач (задание 17) из ЕГЭ по математике профильного уровня будет полезен не только выпускникам школ, но и любителям прикладных методов в банковской сфере.

Как решать экономические задачи?

Часть экономических задач можно решить универсальным способом — с помощью составления таблицы, которая позволит упорядочить данные по временным интервалам.

Для всех типов задач при составлении таблицы используется единый алгоритм.

Условия задач взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .

Задачи на равные платежи по кредиту

В задачах этого типа заёмщик всегда вносит равные суммы. При решении подобных задач надо следовать ряду советов.

Задача 1. Рассчитываем общую сумму кредита

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

Какая сумма была взята в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

S руб. — сумма кредита,
р = 0,31,
r = 131,
В = 69 690 821 руб. — ежегодная выплата.

Долг с начисленными процентами	Выплата	Остаток долга
1	S * r	B	S * r — B
2	(S * r — B) * r	B	(S * r — B) * r — B
3	((S * r — B) * r — B) * r	B	0

По последней строке составляем уравнение:

Далее последовательно раскроем скобки:

Теперь можно подставить числовые данные:

Многолетняя практика по решению реальных экзаменационных вариантов показывает, что числовые данные для задач подбираются неслучайно. Составители могут специально подбирать значения таким образом, чтобы получающиеся при вычислениях дроби можно было сократить. Поэтому, прежде чем взяться за вычисление знаменателя, надо проверить, будет ли число 69 690 821 делиться на 1,31.

Ответ: Общая сумма кредита 124 809 100 руб.

Задача 2. Рассчитываем процент кредита

31 декабря 2020 г. Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на х%), затем Пётр переводит очередной платёж. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 руб., то выплатит долг за четыре года. Если по 4 392 000 руб., то за два года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

S тыс. руб. — сумма кредита,
Х% — в десятичной дроби,
r = 1 + a,
А = 2 592 000 руб. — ежегодный платёж 1,
В = 4 392 000 руб. — ежегодный платёж 2.

Долг с начисленными процентами	Выплата	Остаток долга
1	S * r	А	S * r — А
2	(S * r — А) * r	А	(S * r — А) * r — А
3	((S * r — А) * r — А) * r	А	((S * r — А) * r — А) * r — А
4	(((S * r — А) * r — А) * r — A) * r	А	0
1	S * r	B	S * r — B
2	(S * r — B) * r	B	0

Из таблицы видно, что последнее начисление банка при каждой схеме выплат равно ежегодной выплате.

Получаем систему уравнений:

Помните о культуре вычислений и об отсутствии калькулятора.

Выражаем S из каждого уравнения:

Теперь подставляем числовые значения:

Значит, а = 1,2 — 1 = 0,2, или 20%

Ответ: Пётр взял кредит под 20%.

О чём необходимо помнить при решении экономических задач

Старайтесь предварительно упрощать выражения, используя алгебраические преобразования.

Мы разобрали алгоритм решения задач с использованием таблицы, но возможны и другие способы решений.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Встречаются задачи, в которых долг по кредиту уменьшается неравномерно, а убывает согласно данным, представленным в таблице.

Задачи для разбора взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитываем разницу между общей суммой выплат и суммой самого кредита

15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

При решении данной задачи воспользуемся советами, данными в прошлой статье «Проценты по кредиту с равными платежами».

Учитываем, что общая сумма выплат будет превышать сумму кредита за счёт начисленных и уплаченных процентов.

I способ — решим задачу в общем виде, приняв за сумму кредита S руб. р = 5% = 0,05,

Представим решение в виде таблицы.

Долг с начисленными процентами, руб.	Выплата, руб.	Остаток долга, руб.	Остаток долга, %
Февраль	Sr	Sr — 0,9S	0,9S	90%
Март	0,9Sr	0,9Sr — 0,8S	0,8S	80%
Апрель	0,8Sr	0,8Sr — 0,7S	0,7S	70%
Май	0,7Sr	0,7Sr — 0,6S	0,6S	60%
Июнь	0,6Sr	0,6S r — 0,5S	0,5S	50%
Июль	0,5Sr	0,5Sr	0	0%

Общая сумма выплат составит:

Общая сумма выплат от суммы кредита:

Следовательно, переплата равна 22,5%.

II способ — используем частный случай.

Пусть сумма кредита равна 100 руб.

Долг с начисленными процентами, руб.	Выплата, руб.	Остаток долга, руб.	Остаток долга, %
Февраль	100 * 1,05 = 105	105 — 90 = 15	90	90%
Март	90 * 1,05 = 94,5	94,5 — 80 = 14,5	80	80%
Апрель	80 * 1,05 = 84	84 — 70 = 14	70	70%
Май	70 * 1,05 = 73,5	73,5 — 60 = 13,5	60	60%
Июнь	60 * 1,05 = 66,3	66,3 — 50 = 13	50	50%
Июль	50 * 1,05 = 52,5	52,5	0	0%

Общая сумма выплат:

Следовательно, переплата равна 22,5%.

Задача 2. Рассчитываем наибольшее значение процентов, при котором общая сумма выплат будет меньше заданного числа

15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб.

Выплата, млн руб.

Остаток долга, млн руб.

Обратите внимание! Ежемесячная выплата рассчитывается как разность между долгом на начало месяца и остатком долга. Следовательно, третий столбец заполняется в последнюю очередь.

Общая суммы выплат: