Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев в конце каждого месяца 12
Обновлено: 17.04.2024
Встречаются задачи, в которых долг по кредиту уменьшается неравномерно, а убывает согласно данным, представленным в таблице.
Задачи для разбора взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .
Задача 1. Рассчитываем разницу между общей суммой выплат и суммой самого кредита
15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
При решении данной задачи воспользуемся советами, данными в прошлой статье «Проценты по кредиту с равными платежами».
Учитываем, что общая сумма выплат будет превышать сумму кредита за счёт начисленных и уплаченных процентов.
I способ — решим задачу в общем виде, приняв за сумму кредита S руб. р = 5% = 0,05,
Представим решение в виде таблицы.
Долг с начисленными процентами, руб. | Выплата, руб. | Остаток долга, руб. | Остаток долга, % | |
Февраль | Sr | Sr — 0,9S | 0,9S | 90% |
Март | 0,9Sr | 0,9Sr — 0,8S | 0,8S | 80% |
Апрель | 0,8Sr | 0,8Sr — 0,7S | 0,7S | 70% |
Май | 0,7Sr | 0,7Sr — 0,6S | 0,6S | 60% |
Июнь | 0,6Sr | 0,6S r — 0,5S | 0,5S | 50% |
Июль | 0,5Sr | 0,5Sr | 0 | 0% |
Общая сумма выплат составит:
Общая сумма выплат от суммы кредита:
Следовательно, переплата равна 22,5%.
II способ — используем частный случай.
Пусть сумма кредита равна 100 руб.
Долг с начисленными процентами, руб. | Выплата, руб. | Остаток долга, руб. | Остаток долга, % | |
Февраль | 100 * 1,05 = 105 | 105 — 90 = 15 | 90 | 90% |
Март | 90 * 1,05 = 94,5 | 94,5 — 80 = 14,5 | 80 | 80% |
Апрель | 80 * 1,05 = 84 | 84 — 70 = 14 | 70 | 70% |
Май | 70 * 1,05 = 73,5 | 73,5 — 60 = 13,5 | 60 | 60% |
Июнь | 60 * 1,05 = 66,3 | 66,3 — 50 = 13 | 50 | 50% |
Июль | 50 * 1,05 = 52,5 | 52,5 | 0 | 0% |
Общая сумма выплат:
Следовательно, переплата равна 22,5%.
Задача 2. Рассчитываем наибольшее значение процентов, при котором общая сумма выплат будет меньше заданного числа
15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:
-
1—го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб.
Выплата, млн руб.
Остаток долга, млн руб.
Обратите внимание! Ежемесячная выплата рассчитывается как разность между долгом на начало месяца и остатком долга. Следовательно, третий столбец заполняется в последнюю очередь.
Общая суммы выплат:
Обратите внимание! Вычисление следует производить до тысячных.
По условию задачи, r — целое число, следовательно, r = 7%.
Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»
Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий
Для оформления продукта необходим брокерский счёт
проект «Открытие Инвестиции»
Открыть брокерский счёт
Тренировка на учебном счёте
Об «Открытие Инвестиции»
Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4
8 800 500 99 66
Согласие на обработку персональных данных
Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
Вариант 2. (Интеллект-центр. Репетиционные варианты ЕГЭ 2015)
Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев.
В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%,
а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем.
Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате
сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
Михаил Александрович! Спасибо!
Сделала: - каждая задача - отдельная тема.
P.S. У нас теперь в "Подготовка к ЕГЭ" есть подфорум для №19.
Воспользовался репликой Ольги Игоревны относительно 4 рублей. И родились вот такие таблицы.
Чтобы понять, почему `900:9`, целесообразно ознакомиться с рассмотрением задачи 13 ("Антон взял кредит").
Решение этой задачи в моем представлении.
Я оформил решение с привлечением таблицы исключительно для наглядности и понимания "происходящего". Разумеется, экзаменационная работа вовсе не обязана выглядеть так, как я представил здесь .
Решение этой задачи в моем представлении.
Я оформил решение с привлечением таблицы исключительно для наглядности и понимания "происходящего". Разумеется, экзаменационная работа вовсе не обязана выглядеть так, как я представил здесь .
Большое спасибо за интересный способ решения!
Но есть сомнения по поводу однозначности условия задачи: когда начальная сумма долга должна уменьшиться равномерно на то же число - до начисления процентов или потом? Почему сумма долга уменьшается именно на `S/9`, а не `R/9`, где `R` - реальная сумма выплат, которая, вообще говоря, зависит от `x`. Но в любом случае Ваша реконструкция получения правильного ответа не вызывает сомнения!
Не могу сказать ничего относительно логического "провала" или еще какого-то противоречия.
Но хочется надеяться, что найдется форумчанин, который решит эту задачу графическим методом.
А это было бы здорово!
Не сразу понял, что Вы предложили ещё один способ решения задачи, основанный на следующей идее: Сергей во время каждого платежа отдает все набежавшие проценты+часть начальной суммы, соответствующей погашению в текущем месяце. Отличная идея!
Не сразу понял, что Вы предложили ещё один способ решения задачи, основанный на следующей идее: Сергей во время каждого платежа отдает все набежавшие проценты+часть начальной суммы, соответствующей погашению в текущем месяце. Отличная идея!
Думаю и уверен, что "Очень краткое решение данной задачи", опубликованное мной выше, является наиболее удачным подходом к решению данной задачи.
Ранние мои подходы могут служить всего лишь поисками пути, т.е. некоторым анализом.
Задачи такого типа для многих из нас являются новыми. Но они очень интересны!
Ребятам не хватает финансово-экономического, хозяйственно-вычисительного опыта. Да и проценты после 5-6 классов (там они научились вычислять проценты используя пропорцию по принципу "крест на крест") в учебных пособиях особого развития не получили.
I. Если суммы, возвращаемые банку, равномерно уменьшаются
Задачи о банковских кредитных операциях оказались одними из самых популярных среди задач повышенного уровня сложности, предлагаемых на ЕГЭ выпускникам средних общеобразовательных школ.
Такие задачи в зависимости от схемы возвращения долга клиента бывают, как правило, двух типов:
Тип 1.
Физическое лицо (далее - клиент) берет кредит в банке на определенный срок (на столько-то месяцев, лет, иной срок). В конце каждого месяца (года, иного срока) долг клиента увеличивается на какое-то количество процентов, а затем уменьшается на сумму, вычисленную установленным порядком и возвращенную банку в указанный срок.
Суммы, возвращаемые банку в конце каждого месяца (года, иного периода времени) подбираются таким образом, чтобы в результате долг после каждого месяца (года, иного периода времени) будет уменьшаться равномерно, т.е. на одну и ту же величину.
Такую схему выплат банку, производимых клиентом называют дифференцированной.
Тип 2.
Клиент взял кредит в банке на определенный срок (месяцев, лет, иной срок) под определенный процент годовых (месячных).
Схема выплаты кредита: по истечении 1 года (месяца) банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, т.е. увеличивает долг на согласованное с клиентом число процентов, затем клиент переводит в банк фиксированную сумму, закрепленную договором.
Эту схему возвращения долга называют аннуитетной.
Договоримся:
а) расчеты будем вести в тысячах или в миллионах рублей, кратко обозначая их так: «. тыс. руб., руб., млн руб.» или в «руб.» (рублей) в зависимости от условия задачи;
б) будем называть:
кредитным периодом - период, в течение которого осуществляется поэтапное возвращение банку суммы кредита;
кредитором - субъект, который предоставляет клиенту кредит.
Обсудим задачи типа 1.
Пусть сумма кредита, выданного клиенту на n месяцев под $$r\%$$ месячных составляет К у. е. Клиент переводит банку ежемесячно некоторую сумму, которая имеет две составляющие:
первая составляющая - неизменная (фиксированная) сумма (обозначим её Ф), равная $$\frac$$ у.е.;
вторая составляющая - выплата очередной процентной ставки банка, которая равномерно уменьшается в связи с равномерным уменьшением оставшегося долга.
Итак, происходит следующее:
К началу первого месяца кредитования долг клиента составляет $$К$$ у.е. без учета процентной надбавки (далее - основной долг), долг по процентам - $$0,01r\cdot К$$ y.e.
Сумма частичного погашения кредита в первый месяц кредитования представляет собой сумму найденных результатов, т.е. $$\frac+0,01rK=K\left(\frac+0,01r\right)$$ (у.е.).
После перевода в банк указанной суммы основной долг клиента уменьшается на $$\frac$$ у.е. и становится равным $$\frac$$у.е. А долг по процентам - $$\frac$$ у.е. И такой «процесс» будет продолжаться до полного погашения основного долга клиента.
Скажем это другими словами:
- основной долг из месяца в месяц равномерно уменьшается ровно на $$\frac$$у.е.
- подобное уменьшение основного долга на постоянную сумму из-за равномерного уменьшения всего долга клиента обеспечит равномерное уменьшение и долга по процентам.
Таким образом, последовательность, составленная из процентных ставок банка, есть некоторая конечная арифметическая прогрессия $$(a_n),$$ состоящая из членов, первый член которой равен $$0,01rК$$, а последний, $$n-$$й член, равен $$\frac$$.
Знание этих двух параметров прогрессии позволяет решить почти любую задачу рассматриваемого типа без учета неизменной части очередных долгов клиента.
Далее мы так и поступим при рассмотрении задач, связанных с дифференцированной схемой начисления процентных надбавок.
Задача 1.
Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга за каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
Пусть размер кредита равен K у.е. Тогда процентная ставка банка в первом месяце кредитования составит $$a_1=0,12K=\frac$$у.е., в последний (девятый) месяц кредитования - $$a_9=0,12K:9=\frac$$ (у.е.). Cумма первых 9 членов арифметической прогрессии \[S_9=\frac\cdot 9=\left(\frac+\frac\right):2\cdot 9=\frac=0,6K.\]
Таким образом, общая сумма, уплаченная банку Сергеем, составляет $$60\%$$от суммы кредита. ($$0,6К:К\cdot 100\%=60\%)$$.
Задача 2.
Иван взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 10\%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Иваном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга за каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. За весь срок кредитования Иван выплатил банку в общей сложности 16~875 рублей. Какую сумму он взял в кредит? \noindent
Пусть К - сумма кредита.
Процентная ставка банка в первый месяц кредитования $$0,1К,$$ в последний (6-й месяц) $$\frac,$$ сумма всех переплат Ивана $$\left(0,1К+\frac\right):2\cdot 6=\frac\cdot 3=0,35К.$$
За весь срок кредитования Иван выплатил банку сумму, равную $$К+0,35К=1,35К$$. По условию задачи: $$1,35К=16875$$. Откуда: $$К=12500.$$
О т в е т: 12500 рублей.
Задача 3.
Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга за каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63\%. Найдите месячную процентную ставку. \noindent
Пусть К - сумма кредита, $$r-$$ месячная процентная ставка банка.
Процентная ставка банка в первый месяц кредитования $$0,01rК,$$ в последний (6-й месяц) $$\frac.$$
Сумма всех переплат Антона $$\left(0,01rК+\frac\right):2\cdot 6=\frac\cdot 3=0,035rК.$$ Из условия задачи следует: $$0,035rК=0,63К.$$ Значит, $$r=0,63K:0,035K=18.$$
Задачи, рассмотренные выше, являются самыми простыми. Рассмотрим теперь несколько задач, предложенных на ЕГЭ в 2019-м году, которые, быть может, несколько посложнее .
Задача 4.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20\% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платеж составит 0,24 млн рублей?
Предположим что кредит будет оформлен на $$n$$лет.
Неизменная часть выплат клиента будет равна $$\frac$$ млн руб. в год, размер процентной
надбавки в первый год кредитования составит $$3\cdot 0,2=0,6$$ млн руб., а в последний ($$n-$$й) год кредитования $$\frac$$ млн руб.
Так как выплата банку будет наименьшей именно в последний год кредитования, то сумма $$\frac+\frac$$ по условию задачи окажется равной 0,24, т.е. $$\frac=0,24$$. $$n=\frac\Leftrightarrow n=15.$$
В первый год кредитования банку будет возвращено $$\frac+0,6=0,2+0,6=0,8$$ (млн руб.) B 15-й год: 0,24 млн рублей.
О т в е т: 7,8 млн рублей.
Задача 5.
В июле планируется взять кредит в банке на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга~на~ июль предыдущего года.
Найдите r, если известно, что за весь период выплатили на 15\% больше, чем взяли в кредит.
Пусть размер планируемого кредита равен К у.е.
Неизменная часть выплат клиента будет равна $$\frac$$ у.е. в год. Размер процентной
\noindent надбавки в первый год кредитования составит $$0,01rK$$ у.е. в $$15-$$й год кредитования $$\frac$$ у.е.
Ежегодные платежи клиента по процентам образуют конечную арифметическую прогрессию, сумма первых 15 членов которой равна
$$\left(0,01rК+\frac\right):2\cdot 15=(16\cdot 0,01rК:30\cdot 15=0,08rК.$$ Полученный результат по условию задачи равен $$0,15rK.$$ $$0,08rK=0,015K<\Leftrightarrow >r=1,875.$$
Задача 6.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на \% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите если известно, что набольший платеж по кредиту составляет не более 1,9 млн рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн. рублей.
Неизменная часть ежегодных платежей $$\frac=0,4$$ (млн.руб.) , переменная часть: в
первый год кредитования $$6\cdot 0,01r=0,06r$$ (млн руб.), в$$15-$$й год кредитования $$\frac=0,004r$$ (млн руб.)
Так как выплата банку будет наименьшей в последний год кредитования, наибольшей - в первый год, то имеет место цепочка равносильных систем верных неравенств: \[<\left\< \begin 0,4+0,06r?1,9 \\ 0,4+0,004r?0,5 \end \right.><\Leftrightarrow ><\left\< \begin 0,06r?1,5 \\ 0,004r?0,1 \end \right.>\Leftrightarrow <\left\< \begin r?25 \\ r?25 \end \right.><\Leftrightarrow >r=25.\]
Задача 7.
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после его полного погашения равнялась 1 млн рублей? (Cчитайте, что округления при вычислении платежа не производится).
Пусть сумма планируемого кредита равна$$К$$ рублей. Неизменная часть ежегодных платежей составляет $$\frac$$млн. руб. Переменная часть:
в первый год кредитования $$0,02r$$ млн руб.,
в$$15-$$й год кредитования $$\frac=\frac$$ (млн руб.)
Все платежи клиента по процентным ставкам банка образуют конечную арифметиче-скую прогрессию $$(а_)$$, у которой $$a_1=0,02К$$, $$a_=\frac$$.
Наша задача: найти сумму всех 24 членов этой прогрессии. \[S_=\frac>\cdot 24=\frac\cdot 24=0,25К.\]
Сумма выплат клиента банку в целом составит $$К+0,25К=1,25К$$ (млн. руб.) По условию задачи: $$1,25SК=1<\Leftrightarrow >К=0,8.$$ Итак, $$К=0,8$$млн. руб. = 800~000 руб.
О т в е т: 800~000 рублей.
Задача 8.
15-го апреля планируется взять в банке кредит на сумму 1 200 тысяч рублей на $$(n+1)$$ месяц.
\noindent Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на \% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
-15-го числа каждого с 1-го по -й месяц долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
-15-го числа -го месяца долг составит 400 тысяч рублей;
- к 15-му числу $$(n+1)$$ месяца долг должен быть погашен полностью. Найдите $$r$$, если банку всего было выплачено 1 288 тысяч рублей.
Из условия задачи следует: $$n=(1200-400):80=10.$$
Долг на 15-е число 10-го месяца фактически совпадает с долгом на начало $$11-$$го месяца.
\noindent О т в е т: 1.
Задача 9.
15-го января планируется взять в банке кредит на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц.
\noindent Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2 \% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
-15-го числа каждого с 1-го по 20-й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
-15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
- к 15-му числу 21 месяца долг должен быть погашен полностью.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Из условия задачи ясно, что 15-го числа каждого с 1-го по 20-й месяц долг должен
\noindent быть на 10 тыс. руб. меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. $$(300-100):20=10$$ (тыс. руб.)
Долг на 15-е число 20-го месяца фактически совпадает с долгом на начало $$21-$$го месяца.
В первый месяц процентная надбавка банка составит $$300\cdot 0,02=6$$ (тыс. руб.), в 21-й месяц $$100\cdot 0,02=2$$ (тыс. руб.)
Процентные ставки банка образуют убывающую арифметическую прогрессию $$(a_n)$$, где $$a_1=300\cdot 0,02=6,а_=100\cdot 0,02=2.$$
Общая сумма платежей клиента за весь период кредитования составит: $$300+84=384$$ (тыс. руб.)
О т в е т: 384~000 рублей.
Задача 10.
15-го января планируется взять в банке кредит на 700 тысяч рублей на (+1) месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1\% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- 15-го числа каждого с 1-го по -й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- за (+1)-й месяц долг должен быть погашен полностью.
Найдите , если банку всего было выплачено 755 тысяч рублей, а долг на 15-е число
\noindent -го месяца составлял 300 тысяч рублей.
Обратим внимание на то, что данная задача несколько отличается от задач, которые рассмотрены выше. Дело в том, что в последний $$(n+1)$$ - й месяц кредитования клиент будет вносить в банк большую сумму, нежели в в предыдущие месяцы кредитования.
Следовательно, в данном случае и процентная ставка банка не будет равна $$\frac$$ тыс. руб.
Переплата клиента за весь период кредитования составит $$755-700=55$$ (тыс. руб).
Процентная ставка за первый месяц кредитования равна $$700\cdot 0,01=7$$ (тыс. руб.), а за (+1)-й месяц $$300\cdot 0,01=3$$ (тыс. руб.)
Задача 11.
15 января планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 21 месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1\% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- на 15-е число каждого с 1-го по 20-й месяц долг должен уменьшаться на 40 тыс. руб.
- за двадцать первый месяц долг должен быть погашен полностью.
Сколько тысяч рублей составляет долг на 15-е число 20-го месяца, если банку всего было выплачено 1852 тыс. рублей?
Пусть размер кредита составляет тыс. руб. В контексте данной задачи процентные
\noindent ставки банка будут уменьшаться по правилам арифметической прогрессии $$(а_n),$$ где
$$а_1=0,01К,n=21,$$разность $$d=-0,01\cdot 40=-0,4,$$
Процентная ставка банка за 21-й кредитный месяц равна $$a_=a_1+20d=0,01K-8.$$ А сумма процентных ставок, выплаченная банку сверх кредита, будет равна
Вся сумма, выплаченная банку, равна $$1,21K-84,$$ что в свою очередь равно 1852.
\noindent Таким образом, $$1,21K-84=1852$$ $$\Leftrightarrow $$ $$К=\frac$$ $$\Leftrightarrow $$ $$К=1600.$$
Долг на 15-е число 20-го месяца фактически совпадает с долгом клиента на начало 21-го кредитного месяца. (тыс. руб.)
Рассмотрим новую последовательность - последовательность долгов клиента перед каждым кредитным месяцем, которая является также арифметической прогрессией. Первый член ее равен 1600, разность равна 40. Нам надо найти ее 21-й член, который как было сказано выше, равен долгу на 15-е число 20-го месяца. Искомый долг равен
1 апреля 2017 года Юрий открыл в банке счёт «Пополняй», вложив 6 млн. рублей сроком на 4 года под 10% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 марта каждого последующего года.
1 апреля 2018 года и 1 апреля 2020 года Юрий решил пополнять счёт на п тысяч рублей (п – целое число).
1 апреля 2021 года Юрий собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.
Найдите наибольшее значение п, при котором доход Юрия от вложений в банк за эти 4 года окажется не более 3 млн. рублей.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3162
1 июня планируется в банке взять в кредит некоторую сумму денег на срок 12 месяцев. Условия возврата таковы:
— 15 числа каждого месяца долг возрастает на r % (r – целое число) по сравнению с началом текущего месяца;
— с 16 по 28 число необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало каждого следующего месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим месяцем.
Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что за вторую половину года было выплачено более, чем на 30% меньше, нежели за первую половину.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта
Задание 3208
Петр Иванович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными платежами по 200000 руб. При этом в начале каждого года сумма кредита увеличивалась на 10 %, а в конце года производился платёж. Если бы Петр Иванович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928200 руб. На сколько лет был взят кредит?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3428
Брокерская фирма выставила на торги пакет акций, состоящий из акций двух компаний: нефтяной компании (по 100 долларов за акцию) и газовой компании (по 65 долларов 60 центов за акцию). Всего было выставлено 200 акций. Все акции газовой компании были проданы, а часть акций нефтяной компании осталась непроданной. Общая сумма выручки оказалась равной 13120 долларов. Определите процент акций газовой компании в выставленном на продажу пакете и найдите сумму выручки, полученной за акции газовой компании.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3665
1 июля планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
‐ 1 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 1 число предыдущего месяца.
На сколько месяцев был взят кредит, если известно, что сумма выплат за первый год оказалась на 144 тыс. рублей больше, чем сумма выплат за второй год? Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4021
В январе 2014 года Аристарх Луков‐Арбалетов взял в кредит 1 млн. рублей под 12% годовых на четыре года. Часть денег Аристарх закопал в огороде, чтобы ежегодно гасить проценты по кредиту. На оставшиеся деньги Аристарх купил доллары США по курсу 33 рубля за один доллар, а на половину этих долларов ‐ биткоины (BTC) по курсу 750 долларов за 1 BTC. 1 января 2018 года Аристарх продал биткоины по цене 13800 долларов США за один BTC и доллары по курсу 69 рублей за один доллар. Найдите доход, полученный Аристархом, округлив его до целого числа млн. рублей.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть $$S=10^$$ руб, тогда каждый год %: $$10^\cdot0,12=120000$$ $$v$$
Осталось $$520000$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac=15757$$ долларов и 19 рублей.
На половину суммы биткоины: $$\frac=7878,5$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac=10$$ биткоинов и $$7878,5+378,5$$ долларов $$\Rightarrow$$ 10 биткоинов и 8257 долларов.
После продажи: $$(10\cdot13800+8257)\cdot69=10091733$$ рублей
Задание 4764
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Задание 4765
За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом $$11\frac$$% и, наконец, 12,5% в месяц. известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на $$104\frac$$% Определите срок хранения вклада.
Задание 4766
Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.
Задание 4767
В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5%?
Задание 4768
Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.
Задание 4769
В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год, после начисления процентов, хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
Задание 4770
При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца.
Задание 4771
Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?
Задание 4772
Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
Задание 4773
1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?
Задание 7878
В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере 880 000 рублей. Условия его возврата таковы:
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8701
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8721
15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8744
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8763
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8782
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8801
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1 378 тысяч рублей.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8875
19 января планируется взять в кредит некоторую сумму на 16 месяцев. Условия кредита таковы:
‐ 1 числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца
‐ со 2 по 18 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга
‐ 19‐го числа каждого месяца с 1‐й по 15‐й месяц долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 19‐е число предыдущего месяца
‐ к 19‐му числу 16‐го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 19‐го числа 15‐го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 914 тыс. рублей?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8896
По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение — 25 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число п млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число т млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение п, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение т, такое, что при найденном ранее значении п первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8916
По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение — 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 9049
Всеволод и Александра в один день открыли в банке по вкладу с возможностью частичного снятия средств. Размер каждого вклада составил 1 000 000 рублей. В конце очередного месяца банк увеличивает размер вклада на некоторую фиксированную сумму, но только в том случае, если клиент в течение данного месяца не снимал деньги со счета. Всеволод попал под условия бонусной акции, поэтому его ежемесячная прибавка оказалась выше, чем у Александры. Некоторое время наши герои не обращались в банк. Но когда вклад Всеволода достиг суммы 1 200 000 рублей, он каждый месяц с марта по август 2019 года снимал со счета по 25 000 рублей, а вклад Александры продолжал ежемесячно расти. При этом в конце июля 2019 года суммы на вкладах наших героев оказались одинаковыми, а спустя некоторое время сравнялись повторно. Определите размер вкладов Всеволода и Александры, когда они сравняются повторно, если после августа 2019 года наши герои не будут снимать деньги со счетов?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Один из типов экономических задач — это задачи на платежи с равномерно убывающим долгом. Каждый месяц (период) основной долг уменьшается на одинаковую сумму. Ежемесячный платёж будет состоять из суммы основного долга и суммы начисленных процентов на остаток долга.
В этом случае мы имеем дело с дифференцированными платежами.
Внимание: в задачах этого типа применяется формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.
Задачи для разбора берутся из вариантов ЕГЭ прошлых лет, размещённых на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .
Задача 1. Рассчитать сумму кредита
15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:
-
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту после полного его погашения составила 2 млн руб. (никакие округления при вычислении платежей не производятся)?
S тыс. руб. — сумма кредита,
2 млн руб. = 2000 тыс. руб.,
X тыс. руб. — ежемесячная выплата основного долга.
Суммы ежемесячного долга: S; (S — X); (S — 2 * X . S — 47 * X); (S — 48 * X); 0
S * p; (S — X) * p; (S — 2 * X) * p . (S — 47 * X) * p; (S — 48 * X) * p; 0
Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты
S * (1 + 49 * p — 24 * p) = 2000
S * (1 + 25 * 0,01) = 2000
S = 1600 тыс. руб., или 1,6 млн руб.
Ответ: 1,6 млн руб.
Задача 2. Рассчитать сумму кредита
15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
-
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,604 млн руб. (1604 тыс. руб.)?
Задача отличается от предыдущей — выплаты по основному долгу (30 тыс. руб.) осуществляются только первые 20 месяцев, а значит, в последний месяц выплата будет иной.
S тыс. руб. — сумма кредита
Суммы ежемесячного долга: S; (S — 30); (S — 60. S — 570); (S — 600); 0
Начисленные проценты: S * р; (S — 30) * р; (S — 60) * р. (S — 570) * р; (S — 600) * р; 0
Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты
S * (1 + 21 * 0,03) — 0,03 * 6300 = 1604
1,63 * S — 189 = 1604
1,63 * S = 1604 + 189
S = 1100 тыс. руб., или 1,1 млн руб.
Ответ: 1,1 млн руб.
Задача 3. Рассчитать, на сколько месяцев планируется взять кредит
15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его выплаты таковы:
-
1-го числа n-ого месяца долг возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?
Превышение выплат на 30% от суммы кредита — за счёт выплаченных процентов.
Раскрываем скобки и группируем слагаемые.
Ответ: 19 месяцев.
Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»
Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий
Для оформления продукта необходим брокерский счёт
проект «Открытие Инвестиции»
Открыть брокерский счёт
Тренировка на учебном счёте
Об «Открытие Инвестиции»
Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4
8 800 500 99 66
Согласие на обработку персональных данных
Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
Автор статьи
Читайте также: