Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег которую нужно выплатить банку

Обновлено: 10.08.2022

Встречаются задачи, в которых долг по кредиту уменьшается неравномерно, а убывает согласно данным, представленным в таблице.

Задачи для разбора взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитываем разницу между общей суммой выплат и суммой самого кредита

15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в процентах от кредита) 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

При решении данной задачи воспользуемся советами, данными в прошлой статье «Проценты по кредиту с равными платежами».

Учитываем, что общая сумма выплат будет превышать сумму кредита за счёт начисленных и уплаченных процентов.

I способ — решим задачу в общем виде, приняв за сумму кредита S руб. р = 5% = 0,05,

Представим решение в виде таблицы.

Долг с начисленными процентами,
руб.
Выплата, руб. Остаток долга, руб. Остаток долга, %
Февраль Sr Sr — 0,9S 0,9S 90%
Март 0,9Sr 0,9Sr — 0,8S 0,8S 80%
Апрель 0,8Sr 0,8Sr — 0,7S 0,7S 70%
Май 0,7Sr 0,7Sr — 0,6S 0,6S 60%
Июнь 0,6Sr 0,6S r — 0,5S 0,5S 50%
Июль 0,5Sr 0,5Sr 0 0%

Общая сумма выплат составит:


Общая сумма выплат от суммы кредита:


Следовательно, переплата равна 22,5%.

II способ — используем частный случай.

Пусть сумма кредита равна 100 руб.

Долг с начисленными процентами, руб. Выплата, руб. Остаток долга, руб. Остаток долга, %
Февраль 100 * 1,05 = 105 105 — 90 = 15 90 90%
Март 90 * 1,05 = 94,5 94,5 — 80 = 14,5 80 80%
Апрель 80 * 1,05 = 84 84 — 70 = 14 70 70%
Май 70 * 1,05 = 73,5 73,5 — 60 = 13,5 60 60%
Июнь 60 * 1,05 = 66,3 66,3 — 50 = 13 50 50%
Июль 50 * 1,05 = 52,5 52,5 0 0%

Общая сумма выплат:


Следовательно, переплата равна 22,5%.

Задача 2. Рассчитываем наибольшее значение процентов, при котором общая сумма выплат будет меньше заданного числа

15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

    1—го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб.

Выплата, млн руб.

Остаток долга, млн руб.

Обратите внимание! Ежемесячная выплата рассчитывается как разность между долгом на начало месяца и остатком долга. Следовательно, третий столбец заполняется в последнюю очередь.

Общая суммы выплат:



Обратите внимание! Вычисление следует производить до тысячных.

По условию задачи, r — целое число, следовательно, r = 7%.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.


Задание 15 № 517580

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возврастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит.

Долг уменьшается на 15-е число равномерно:

Первого числа долг возрастает на 3%, значит, долг на первое число:

Приведем другое решение.

По формуле для переплаты П при выплате суммы кредита S дифференцированными платежами имеем:

где n — искомое число месяцев, а r = 3 — величина платежной ставка в процентах (см. Гущин Д. Д. «Встречи с финансовой математикой»; для получения полного балла доказательство этих формул необходимо приводить на экзамене). По условию, переплата П равна 0,3S, тогда:

откуда n = 19.

Аналоги к заданию № 517463: 517470 517578 517580 Все


Задание 15 № 549675

Петр Иванович получил кредит в банке под определенный процент годовых. Ровно через год (после начисления процентов) Петр Иванович в счет погашения кредита вернул той суммы, которую задолжал к тому моменту. А еще через год он внес сумму, на 43% превышающую величину займа, и тем самым полностью погасил кредит. Каков был процент годовых?

Пусть S — сумма кредита, взятая под r% годовых, а Запишем в таблицу, как менялся долг Петра Ивановича.

Решим полученное уравнение

Ответ: кредит был взят под 30% годовых.


Задание 15 № 526343

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Пусть кредит взят на n лет. Обозначим сумму кредита S = 16 млн руб, а процентную ставку —

В соответствии с условием задачи заполним таблицу:

Суммируем все выплаты:

Подставив численные значения, найдём n:


Задание 15 № 516764

Дмитрий взял кредит в банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно втрое больше предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

Пусть S = 270 200 рублей — величина кредита, а х (руб.) — первый платеж Дмитрия. Тогда оставшиеся два платежа составляли 3x и 9x рублей соответственно.

В конце первого года долг Дмитрия после его платежа составлял руб.; в конце второго года — руб., а в конце третьего — руб., что составило 0 рублей, так как за три года кредит был погашен полностью. Далее имеем:

Подставляя в это выражение получаем рублей.

Ответ: 26 620 руб.

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (C часть).


Задание 15 № 516783

Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Обозначим исходную сумму 804 000 рублей через S, а третий платеж Георгия через x рублей. Тогда первые два платежа составляли 4x и 2x рублей соответственно.

В конце первого года долг Георгия после его платежа составлял (1,1S – 4x) рублей; в конце второго года — рублей, а в конце третьего — рублей, что составило 0 рублей, так как за три года кредит был погашен полностью. Имеем уравнение:

Подставляя в это выражение получаем рублей.

Ответ: 133 100 руб.

Аналоги к заданию № 516764: 516783 Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2. (C часть).


Задание 15 № 548269

Василий взял кредит в банке на с рок 14 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 8%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Василием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Василием

Пусть сумма кредита равна S. По условию долг перед банком по состоянию на конец месяца должен уменьшаться до нуля равномерно:

В конце каждого месяца долг возрастает на 8%, значит, последовательность размеров долга по состоянию перед ежемесячными выплатами такова:

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить

Значит, общая сумма выплат составляет 160% от суммы кредита.

Аналоги к заданию № 506957: 548269 Все


Задание 15 № 506957

Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита?

Сверх кредита Сергеем уплачено у. е., что составляет 60% от суммы полученного кредита

Эта было решение, так сказать "в лоб", его можно значительно сократить, если хорошо разобраться в условии задачи.

Сделаем это так:-->

Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Сергей взятую сумму, без учета процентов, возвращал равными долями.

Общая сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита, обусловлена только применением процентной ставки.

В первом месяце эта часть заплаченной суммы составляла во втором — в третьем — в восьмом — наконец, в последнем —


Задание 15 № 563662

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 13% по сравнению с концом предыдущего

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равна сумма всех выплат?

Обозначим взятую в кредит сумму S (тыс. руб.) и составим таблицу по данным задачи.

По составленной таблице найдем общую сумму выплат:

Ответ: 1020 тыс. руб.

Аналоги к заданию № 563578: 563552 563662 563734 Все


Задание 15 № 563734

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равна сумма всех выплат?

Обозначим взятую в кредит сумму S (тыс. руб.) и составим таблицу по данным задачи.

По составленной таблице найдем общую сумму выплат:

Ответ: 1 млн 170 тыс. руб.

Аналоги к заданию № 563578: 563552 563662 563734 Все


Задание 15 № 559578

В июле 2021 года планируется взять кредит на сумму 21 млн рублей на 7 лет (последняя выплата запланирована в 2028 году). Условия его возврата таковы:

— пока долг больше половины, каждый январь он возрастает на p% по сравнению с концом предыдущего года;

— если долг не превышает половины исходной суммы, то каждый январь долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего года;

— c февраля по июнь надо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите p, если общая сумма выплат составит 24,72 млн рублей.

Пусть первый повышающий коэффициент равен а второй повышающий коэффициент равен В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года, эта сумма равна млн руб. Составим таблицу.

Долг в январе
(после начисления процентов)
млн руб.

Сумма выплат равна


Задание 15 № 563636

В августе со 2 по 15-е число 2026 года планируется взять кредит на 1200 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— первого числа каждого месяца долг увеличивается на 1%;

— со 2 по 15 числа каждого месяца, на протяжении следующих десяти месяцев, долг должен уменьшаться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем;

— на одиннадцатый месяц перед начислением процентов долг будет составлять 400 тыс. руб., после чего он погашается одним платежом.

Чему равна общая сумма выплат?

Через 10 месяцев долг будет составлять 400 тыс. руб., поэтому за десять месяцев он уменьшится на 800 тыс. руб., при этом будет уменьшаться на одну и ту же сумму каждый месяц. Это означает, что каждый месяц долг будет уменьшаться на 80 тыс. руб., и на 15 число каждого месяца, начиная с августа, составит (в тыс. руб.): 1200, 1120, 1040, 960, 880, 800, 720, 640, 560, 480, 400, 0.

На первое число каждого месяца начиная с сентября долг (в тыс. руб.) будет составлять:

Выплаты (в тыс. руб.) составят:

Найдем их сумму: тыс. руб.

Ответ: 1 млн 288 тыс. руб.

Приведем другое решение.

Общая сумма выплат состоит из основного долга 1200 тыс. руб. и начисленных процентов.

Через 10 месяцев долг будет составлять 400 тыс. руб., поэтому за десять месяцев он уменьшится на 800 тыс. руб., при этом будет уменьшаться на одну и ту же сумму каждый месяц. Это означает, что каждый месяц долг будет уменьшаться на 80 тыс. руб., и на 15 число каждого месяца, начиная с августа, составит (в тыс. руб.): 1200, 1120, 1040, 960, 880, 800, 720, 640, 560, 480, 400, 0.

Сумма начисленных за 11 месяцев процентов составит

Следовательно, общая сумма выплат составит 1200 + 88 = 1288 тыс. руб.


Задание 15 № 563111

4 декабря 2020 года Ваня взял кредит на сумму 3 млн рублей. Условия возврата кредита таковы:

— 3‐го числа каждого месяца долг возрастает на 10%;

— с 4‐го по 25‐е число каждого месяца, начиная с января 2021 года, необходимо погасить часть долга одним платежом;

— в период с 04.01.2021 по 25.01.2021 необходимо заплатить x тыс. руб.;

— с февраля по ноябрь 2021 года 26‐го числа каждого месяца долг (вместе с начисленными процентами) должен быть меньше долга на 26‐е число предыдущего месяца на одну и ту же величину;

— в период с 04.12.2021 по 25.12.2021 необходимо заплатить x тыс. руб.;

— к 26.12.2021 кредит должен быть полностью погашен.

Общая сумма выплат составит 5,06 млн руб. Найдите x.

Заметим, что 26 января долг составлял тыс. руб. Пусть c февраля по ноябрь долг уменьшался на a тыс. руб., а повышающий коэффициент Заполним таблицу.

Долг на 3 число месяца
после начисления процентов,
тыс. руб.

Из равенства для последней выплаты выразим a:

Найдём сумму выплат, заметив, что выплаты с февраля по ноябрь являются последовательными членами арифметической прогрессии:

Подставим значения k, S и a:

По условию сумма выплат равна 5060 тыс. руб., тогда


Задания Д16 C5 № 511865

1 апреля 2015 года близнецы Саша и Паша планируют взять в кредит одинаковые суммы денег на покупку автомобилей. Саша хочет оформить кредит в банке «Вампириал» под 20% годовых, а Паша — в банке «Хитер-Инвест» под 10% годовых. Схема выплаты кредита у каждого банка следующая: 1 апреля каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20% и 10% соответственно), затем клиент переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Кто из братьев должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег, если известно, что Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами, а Паша — пятью равными платежами.

Пусть братья планируют взять кредит в размере K у. е.

Рассчитаем кредит Саши.

Сумма долга по состоянию на 01.04.2016 г. 1,2K у. е. Клиент переводит в банк A у. е.

Долг на 01.04.2017 г. 1,2K − A у. е. Банк начисляет проценты. Долг становится 1,2 2 K − 1,2A у. е. Клиент переводит в банк A у. е. Кредит будет погашен.

Саша за 2 года банку заплатит у. е.

Сумма долга по состоянию на 01.04.2016 г. 1,1K у. е. Клиент переводит в банк B у. е.

Долг на 01.04.2017 г. 1,1KB у. е. Банк начисляет проценты. Долг становится 1,12K − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Долг становится 1,1 2 K − 1,1BB у. е.

01.04.2018 г. банк начисляет проценты. Долг становится 1,1 3 K − 1,1 2 B − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Долг становится 1,1 3 K − 1,1 2 B − 1,1BB у. е.

01.04.2019 г. банк начисляет проценты. Долг становится 1,1 4 KM − 1,1 3 B − 1,1 2 B − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Долг становится 1,1 4 K − 1,1 3 B − 1,1 2 B − 1,1BB у. е.

01.04.2020 г. банк начисляет проценты.

Долг становится 1,1 5 K − 1,1 4 B − 1,1 3 B − 1,1 2 B − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Кредит будет погашен.

Найдем значение знаменателя как сумму первых 5 членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, знаменателем 1,1.

Паша за 5 лет банку заплатит у. е.

Для удобства в дальнейших расчетах K примем за 6,1051k. В таком случае Саша в банк должен заплатить у. е., а Паша — у. е.


Задания Д16 C5 № 513229

Алексей взял в банке кредит 10 млн рублей под 10% годовых. По договору Алексей возвращал кредит ежегодными платежами. В конце каждого года к оставшейся сумме долга добавлялось 10% этой суммы и своим ежегодным платежом Алексей погашал эти добавленные проценты и уменьшал сумму долга. Ежегодные платежи подбирались так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый год (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась 15 млн рублей. Определите, на сколько лет Алексей брал кредит в банке.

Будем считать все суммы в миллионах рублей. Пусть Алексей взял кредит на n лет. Тогда остаток его долга после очередного платежа составлял а выплаты составляли


Задание 15 № 517503

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года.

В июле 2020 года долг составлял 147 тыс. руб. После начисления 10% он стал составлять 147 + 14,7 = 161,7 тыс. руб. Пусть первая выплата была равна x тыс. руб. Тогда долг на июль 2021 года стал составлять 161,7 − x тыс. руб.

После второго начисления процентов сумма долга составила (161,7 − x)1,1 = 177,87 − 1,1x. Этот долг был погашен вторым платежом, равным x, откуда получаем уравнение 177,87 − 1,1x = x. Из этого уравнения находим x = 84,7 тыс. руб. Поэтому банку было выплачено 2x = 169,4 тыс. руб.

Приведём решение в общем случае.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга составит S1 = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит

По условию кредит будет погашен двумя платежами, поэтому откуда

При S = 147 000 и а = 10, получаем: b = 1,1 и

Ответ: 169 400 рублей.

Источник: ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть)., Задания 17 (С5) ЕГЭ 2017, Резервная волна ЕГЭ по математике 24.06.2019. Вариант 992

Продолжаем цикл статей, посвящённых решению экономических задач ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задачи для разбора взяты из реальных вариантов ЕГЭ прошлых лет, которые размещены на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .

Задачи на нахождение процента по кредиту или вкладу

Рассмотрим ряд задач, в которых требуется определить процент, под который был взят кредит или размещён вклад.

Задача 1. Рассчитать, на сколько процентов возрастает долг по кредиту

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн руб. на срок 15 лет.

Условия его возврата таковы:

    каждый январь долг возрастает на r по сравнению с концом предыдущего года;

Найти r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн руб., а наименьший — не менее 0,5 млн руб.

Решение

Из условия задачи следует, что ежегодно основной долг по кредиту уменьшается на одну и ту же величину и составляет:


Очевидно, что наибольший платёж — это первый платёж по кредиту, наименьший — последний, в сумме 500 тыс. руб.

Значит, уплаченные проценты в последнем платеже составят:

500 – 400 = 100 тыс. руб.

Они будут начислены на остаток задолженности в предпоследнем месяце. Этот остаток равен 400 тыс. руб.


Ответ: 25%.

Задача 2. Рассчитать, на сколько процентов возрастает долг по кредиту

31 декабря 2020 г. Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под определённый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 руб., то выплатит долг за четыре года. Если по 587 250 руб., то за два года. Найдите а.

Решение

S руб. — сумма кредита

а — проценты по кредиту в десятичной дроби

А = 328 050 руб. — ежемесячная выплата по I схеме

В = 587 250 руб. — ежемесячная выплата по II схеме

Долг с начисленными

процентами

Выплата

Остаток долга

(((S r – А) r) – А) r – А

(((S r – А) r – А) r – A) r

Последний платёж при каждой схеме выплат будет равен ежемесячной выплате. Используем это при составлении системы уравнений.


Выражаем S из каждого уравнения и приравниваем:


Теперь подставляем числовые значения:


Значит, а = 1,125 – 1 = 0,125, или 12,5%.

Ответ: 12,5%.

Задача 3. Рассчитать процент, при котором сумма на счёте вкладчика станет максимально возможной

В январе 2000 г. ставка по депозитам в банке составляла х% годовых, тогда как в январе 2001 г. она составила у% годовых, причём известно, что x + y = 30. В январе 2000 г. вкладчик открыл счёт в банке, положив на него некоторую сумму. Через год, в январе 2001 г., вкладчик снял со счёта пятую часть этой суммы. Укажите значение х, при котором сумма на счёте вкладчика в январе 2002 г. станет максимально возможной.

Решение

S руб. — сумма вклада

x — проценты по вкладу в десятичной дроби в 2000 г.

y — проценты по вкладу в десятичной дроби в 2001 г.

Сумма вклада на 1 января 2001 г. = руб.

После снятия со счёта 1/5S на нём осталось:


Сумма вклада на 1 января 2001 г.:


Следовательно, S = S(x) — квадратичная функция. Ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в своей вершине.

Найдём абсциссу вершины параболы:


Ответ: 25%.

Сумма вклада принята в рублях. Возможно использование у. е. (условных единиц).

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Экономические задачи ввели в единый государственный экзамен по математике (профильный уровень) с 2015 года. При их решении у экзаменующихся часто возникают затруднения, ведь в жизни они пока не сталкивались с кредитами и вкладами, а значит, плохо понимают условия задач и действия, выполняемые внутри них.

Разбор типовых задач (задание 17) из ЕГЭ по математике профильного уровня будет полезен не только выпускникам школ, но и любителям прикладных методов в банковской сфере.

Как решать экономические задачи?

Часть экономических задач можно решить универсальным способом — с помощью составления таблицы, которая позволит упорядочить данные по временным интервалам.

Для всех типов задач при составлении таблицы используется единый алгоритм.


Условия задач взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .

Задачи на равные платежи по кредиту

В задачах этого типа заёмщик всегда вносит равные суммы. При решении подобных задач надо следовать ряду советов.

    Не торопитесь сразу в ходе решения использовать числовые данные задачи. Решите задачу в общем виде.

Задача 1. Рассчитываем общую сумму кредита

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

    каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;

Какая сумма была взята в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

S руб. — сумма кредита,
р = 0,31,
r = 131,
В = 69 690 821 руб. — ежегодная выплата.

Долг с начисленными
процентами
Выплата Остаток долга
1 S * r B S * r — B
2 (S * r — B) * r B (S * r — B) * r — B
3 ((S * r — B) * r — B) * r B 0

По последней строке составляем уравнение:


Далее последовательно раскроем скобки:


Теперь можно подставить числовые данные:


Многолетняя практика по решению реальных экзаменационных вариантов показывает, что числовые данные для задач подбираются неслучайно. Составители могут специально подбирать значения таким образом, чтобы получающиеся при вычислениях дроби можно было сократить. Поэтому, прежде чем взяться за вычисление знаменателя, надо проверить, будет ли число 69 690 821 делиться на 1,31.


Ответ: Общая сумма кредита 124 809 100 руб.

Задача 2. Рассчитываем процент кредита

31 декабря 2020 г. Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на х%), затем Пётр переводит очередной платёж. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 руб., то выплатит долг за четыре года. Если по 4 392 000 руб., то за два года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

S тыс. руб. — сумма кредита,
Х% — в десятичной дроби,
r = 1 + a,
А = 2 592 000 руб. — ежегодный платёж 1,
В = 4 392 000 руб. — ежегодный платёж 2.

Долг с начисленными
процентами
Выплата Остаток долга
1 S * r А S * r — А
2 (S * r — А) * r А (S * r — А) * r — А
3 ((S * r — А) * r — А) * r А ((S * r — А) * r — А) * r — А
4 (((S * r — А) * r — А) * r — A) * r А 0
1 S * r B S * r — B
2 (S * r — B) * r B 0

Из таблицы видно, что последнее начисление банка при каждой схеме выплат равно ежегодной выплате.

Получаем систему уравнений:


Помните о культуре вычислений и об отсутствии калькулятора.

Выражаем S из каждого уравнения:



Теперь подставляем числовые значения:


Значит, а = 1,2 — 1 = 0,2, или 20%

Ответ: Пётр взял кредит под 20%.

О чём необходимо помнить при решении экономических задач

Старайтесь предварительно упрощать выражения, используя алгебраические преобразования.

Мы разобрали алгоритм решения задач с использованием таблицы, но возможны и другие способы решений.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также: