Инвестор располагающий суммой в 300 тыс ден ед может вложить свой капитал

Обновлено: 27.04.2024

Задача 1.1.
Условия задачи: Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В -10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Содержимое работы - 1 файл

kontrolnaya1 (2).doc

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

Дисциплина ЭММ ПМ

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В -10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Математическая модель имеет вид.

F = 0,08x₁ + 0,1x₂ Þ max - целевая функция (прибыль)

x₁ ³ 2x₂ = x₁ -2x₂ ³0 - ограничения по сумме вложений

x_1- сумма капитала вложенная в акции автомобильного концерна А _,

x₂ – сумма капитала вложенная в акции строительного предприятия В, соответственно;

Система неравенств включает ограничения по суммам вложений. Акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем акций В можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:

Диалоговое окно программы «Поиск решения»

Установить целевую ячейку $F$7

Равной O max значению

Изменяемые ячейки переменных:$B$4:$C$4

В соответствии с ограничениями:

v Сделать переменные без ограничений неотрицательными

Метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом»

Результат работы программы «Поиск решения»

1.Определим множество решений неравенств:

x₂ =100 – горизонтальная

2. Приравняем целевую функцию к нулю F = 0,08x₁ + 0,1x₂ =0

через эти две точки проведем линию (L).

3. Построим вектор-градиент и соединим его с началом координат

4. При минимизации целевой функции необходимо в направлении вектора-градиента. В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Именно в этой точке достигается максимум целевой функции.

x₁ = 300 – 100 = 200; F = 0,08*200 + 0,1*100 = 16 + 10 = 26.

5. Ответ: max (F) =26 и достигается при x₁ =200; x₂ =100;

Рекомендуется вложить в акции автомобильного концерна А, 200 тыс. ден. ед., в акции строительного предприятия В, 100 тыс. ден. ед., в первый год получим максимум прибыли 26 тыс. ден. ед.

6. Если поставить задачу минимизации, функциональную линию уровня необходимо смещать в направлении противоположном вектору-градиенту ∆. Минимум целевой функции достигается в точке 0 (0;0) следовательно можно записать min (F) = 0 и достигается при x_{1 =} 0; x₂ = 0.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации каждого вида продукции приведены в таблице.

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Построить экономико – математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум, и почему?

х₁ — тысяч ден. ед. может вложить инвестор в акции автомобильного концерна А.

х₂ — тысяч ден. ед. может вложить инвестор в акции строительного предприятия В.

1) Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

8% =0,08, 10% = 0,1

Построим ОДР задачи:

I.

Прямая проходит через точки (0;300) и (300;0).

О(0;0): 0 + 0 – верно, входит в ОДР;

II. ,

Прямая проходит через точки (200; 100) и (0;0).

О(1;0): 1-20– верно, входит в ОДР;

III.

Прямая проходит через точку (0; 100) и параллельна оси ОХ.

О(0;0): 0- верно, входит в ОДР.

ОДР задачи это треугольник ОАВ.

Искомая область может находиться только в 1 четверти декартовой системы, т.к. .

2) Определим оптимальные точки задачи: т. max и т. min. Для этого используем линии уровня целевой функции, это прямые заданные уравнением (рис.1).

Для определения направления движения к оптимуму, построим вектор-градиент С.

Координаты вектора являются частными производными целевой функции, т.е. (0,08;0,1). Чтобы построить вектор, нужно соединить эту точку с точкой начала координат. Для удобства строим вектор, пропорциональный вектору С. Он имеет координаты (80;100).

Перпендикулярно этому вектору С через начало координат проводим линию нулевого уровня целевой функции. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня в направлении вектора, а при минимизации – в противоположном направлении.

Предельными точками являются соответственно т. А(max) и т.О(min).

т.О(0;0), т.к. это точка начала координат.

Определим координаты т.А, являющейся точкой пересечения всех прямых. Для этого решим систему, состоящую из 3-х уравнений:

.

Отсюда: А(200;100).

3) Определим оптимальное значение функции:

F max = 0,08*200+0,1*100=16+10=26 (тысяч ден. ед.) – максимальная прибыль, которую можно получить в 1 год по акциям.

Если поставить задачу минимизации, функциональную линию уровня необходимо смещать в направлении противоположном вектору-градиенту С. Минимум целевой функции достигается в точке О(0;0), следовательно, можно записать min (F) = 0 и достигается при x_{1 =}0;x₂ = 0.Значит, минимальная прибыль в 1 год составит 0 тыс. ден. ед.

Ответ: max (F) =26 и достигается при x₁ =200;x₂ =100;

Рекомендуется вложить в акции автомобильного концерна А, 200 тыс. ден. ед., в акции строительного предприятия В, 100 тыс. ден. ед., в первый год получим максимум прибыли 26 тыс. ден. ед.

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Построить экономико – математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум, и почему?

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице:

Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы сырья

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;

оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки α_ij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов у_i вектора конечной продукции Y.

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (α_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 1000 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8 % в год, по акциям В – 10 %. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Сформулируем экономическо-математическую модель задачи. Обозначим через x₁стоимость приобретенных акций концерна А,x₂– стоимость приобретенных акций предприятия В. Необходимо максимизировать прибыль:

Полученная задача – задача линейно программирования. Построим ОДР задачи.

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:

1. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину (160; 200) с началом координатO(0, 0).

2. Построим некоторую линию уровня 0,08x₁+ 0,1x₂=a. Пусть, например,a= 26. На рисунке такой линии уровня отвечает прямаяOX, перпендикулярная вектор - градиенту.

3. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня OXв направлении вектор - градиента, а при минимизации – в противоположном направлении.

Максимум функции будет находиться в точке пересечения прямых x₁+x₂= 300 иx₂= 100.

Таким образом, максимума функции (26 ден. ед.) достигается при x₁= 200,x₂= 100. Если решать задачу на минимум, то минимум функции будет равен 0, так как функция ограничена снизу осямиOx1 иOx2.

Задача 2.1

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Нормы расхода сырья на одно изделие

Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности.

Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья IиIIвидов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырьяIIIвида;

оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

1. Обозначим через x₁,x₂,x₃,x₄– количество четырех видов продукции соответственно и запишем математическую модель задачи критерию «максимум стоимости»:

Приведем задачу к каноническому виду

Решим каноническую задачу симплекс-методом.

Задача решена, получена оптимальная симплекс-таблица.

z= 326 – максимальное значение целевой функции. Решениеx₁= 18,x₂= 0,x₃= 0,x₄= 11.

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности запасов сырья используемых в производстве продукции.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений планом X* = (x₁= 18,x₂= 0,x₃= 0,x₄= 11):

18 + 2 ∙ 0 + 0 = 18

18 + 0 + 2 ∙ 0 + 11 = 29 ≤ 30 (*)

18 + 3 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 2 ∙ 11 = 40

Значение целевой функции на этом плане равно

f(X) = 12 ∙ 18 + 7 ∙ 0 + 18 ∙ 0 + 10 ∙ 11 = 326.

2. Двойственная задача имеет вид:

Для нахождения оценок y₁,y₂,y₃используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, тоy₂= 0. Так какx₁> 0 иx₄> 0 , то

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

φ(Y) = 18 ∙ 7 + 30 ∙ 0 + 40 ∙ 5 = 326, т.е.f(X) =φ(Y) = 326.

3. Значение переменных x₂иx₃в оптимизационном плане равно нулю. Это говорит о том, что изделия Б и В невыгодно изготавливать.

4. По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.

В рассматриваемом примере увеличение запасов сырья Iтипа привело бы к увеличению общей стоимости на 7 у.е. (y₁= 7), увеличение запасов сырьяIIIтипа привело бы к увеличению общей стоимости на 5 у.е. (y₃= 5), а увеличение запасов сырьяIIтипа не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость.

Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают какие ресурсы являются более дефицитными, какие менее дефицитные и какие совсем не дефицитными.

В нашем примере недефицитным ресурсом является сырье IIпосколькуy₂= 0.

Острее ощущается дефицитность сырья I(y₁= 7) – он более дефицитен, чем сырьеIII(y₃= 5).

Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов». В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением 5 : 7.

Определим, как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и IIвида на 4 и 3 ед. соответственно и уменьшения на 3 ед. сырьяIIIвида.

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:

Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях – X= (x₁= 22,x₂= 0,x₃= 0,x₄=7,5) соответственно прибыль составит 339 у.е., т.е. увеличится на 13 у.е.

Решим вопрос о целесообразности включения в план изделий «Д» ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также промокод на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Условие

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

сумма капитала вложенная в акции автомобильного концерна А равна 200 ден ед, сумма капитала вложенная в акции автомобильного концерна В равна 100 ден ед. Доход составит 26 ден ед

Решение

Математическая модель имеет вид.
F = 0,08x1 + 0,1x2 - max - целевая функция (прибыль)
x1 + x2 ≤ 300
x1 -2x2 ≥0 - ограничения по сумме вложений
x2 ≤ 100
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0;
Управляющие переменные:
x1- сумма капитала вложенная в акции автомобильного концерна А ,
x2 – сумма капитала вложенная в акции строительного предприятия В, соответственно; F – прибыль.
Система неравенств включает ограничения по суммам вложений. Акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Решим задачу симплекс-методом:
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
1 1 1 0 0 300
1 -2 0 -1 0 0
0 1 0 0 1 100
Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований. В качестве базовой переменной можно выбрать x3. В качестве базовой переменной можно выбрать x4. Получаем новую матрицу:
1 1 1 0 0 300
-1 2 0 1 0 0
0 1 0 0 1 100
В качестве базовой переменной можно выбрать x5. Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (3,4,5). Выразим базисные переменные через остальные: x3 = -x1-x2+300 x4 = x1-2x2 x5 = -x2+100 Подставим их в целевую функцию: F(X) = 0.08x1+0.1x2 Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
A = 1 1 1 0 0
-1 2 0 1 0
0 1 0 0 1
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4, x5 Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X0 = (0,0,300,0,100) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5
x3 300 1 1 1 0 0
x4 0 -1 2 0 1 0
x5 100 0 1 0 0 1
F(X0) 0 -0.08 -0.1 0 0 0
За ведущий выберем столбец 2, так как -0,1 наименьший элемент в F строке

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

и получи доступ ко всей экосистеме Автор24

Читайте также:

  
• Как узнать лицевой счет за электроэнергию по адресу в беларуси
  
• Брокер не дает вывести деньги что делать
  
• Россельхозбанк сити какая башня
  
• Как перевести деньги с нпф на спецсчет
  
• В чем заключался вклад российских ученых в мировую науку