При обследовании уставных фондов банков установлено что пятая часть банков имеют

Обновлено: 25.04.2024

Слово «статистика» состоит из 10 букв: 2 – а, 2 – и, 1 – к, 2 – с, 3– т.

Имеем схему извлечения букв без возвращения.

вероятность извлечения буквы «к» равна Р(к) = 1/10. Остается 9 букв.

вероятность извлечения буквы «и» равна Р(и/к) = 2/10. Остается 8 букв.

вероятность извлечения буквы «т» равна Р(т/ки) = 3/8.

Получим вероятность слова «кит»:

Р(кит) = Р(к)·Р(и/к)·Р(т/ки) = = =

б) слово «статистика»:

= = = =

Ответ: Р(кит) = ; Р(статистика) =

3.2. Служащий кредитного отдела банка знает, что 15% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает, что обанкротились 30% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то какова вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?

Решение

Из условия следует, что из 30% обанкротившихся фирм 15 фирм не вернут кредиты по крайней мере в течение 5 лет, а остальные 15% вернут кредиты в течение 5 лет.

Пусть А – событие, состоящее в том, что клиент окажется не в состоянии вернуть долг банку, В – событие, состоящее в том, что клиент обанкротился. По условию имеем вероятность события В: Р(В) = 30/100 = 0,3,

Р(АВ) = 15/100 = 0,15.

Используем формулу Р(АВ) = Р(В)·Р(А/В),

где Р(А/В) – вероятность события А при условии свершения события В.

Отсюда Р(А/В) = = = 0,5

4.2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго автомата. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 80% деталей отличного качества. 1) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь окажется отличного качества. 2) Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом?

Пусть А – событие: деталь отличного качества. Можно сделать две гипотезы:

В₁ – деталь произведена первым автоматом. Тогда , так как этот автомат производит по условию деталей в 2 раза больше второго.

В₂ – деталь изготовлена вторым автоматом, причем .

Условные вероятности того, что деталь произведена первым автоматом, по условию: Р(А/В₁) = 0,60, , а вторым – Р(А/В₁) = 0,80.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности:

Искомая вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым автоматом, по формуле Байеса:

P(B₁/A) = .

5.2. Вероятность того, что малое предприятие обанкротится в течение года равна 0,3. Найти вероятность того, что в течение года из 6 малых предприятий не обанкротится: а) два предприятия; б) не более двух предприятий.

Пусть А – событие, заключающееся в том, что предприятие не обанкротится в течение года. Число m таких событий для n малых предприятий подчиняется биномиальному распределению вероятности события А:

p_n(m) = = ,

где р = 1–0,3 = 0,7 – вероятность осуществления события А,

q = 1–p = 1–0,7 = 0,3 – вероятность противоположного события: малое предприятие обанкротится в течение года.

а) Найдем вероятность того, что в течение года из 6 малых предприятий не обанкротится ровно два предприятия. Тогда m = 2.

P₆(2) = = = =

= = 15·0,003969 = 0,059535;

б) Для нахождения вероятности P₆(m ≤ 2) того, в течение года из 6 малых предприятий не обанкротится не более двух предприятий, вычислим вероятности Р₆(0), Р₆(1), Р₆(2), и тогда Р = P₆(m ≤ 2) = P₆(0) + P₆(1) + P₆(2)

P₆(0) = = = = 0,000729

P₆(1) = = = = 6·0,001701 =

Ответ: Р = P₆(m ≤ 2) = 0,0704885

6.2. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. рублей. Найти вероятность того, что среди 2000 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: а) 300 банков; б) от 300 до 400 включительно.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

1) 36 карт розданы 4 игрокам. Найти вероятность того, что у первого игрока карты окажутся одной масти.
2) Найти вероятность того, что из 1461 студента первого курса более 2х родились 29 февраля.
Если можно с кратким пояснением.. Большое спасибо!

1) 9/36 * 8/35 * 7/34 * 6/33 * 5/32 * 4/31 * 3/30 * 2/29 * 1/28. Мало, в общем.

2) Ах задачка, ах задачка. а преподаватель не задумался, что студенты одного курса НЕравномерно распределены по годам рождения? Более того, ответ зависит от года - когда-то будет много студентов, родившихся в високосном, а когда-то не будет.

а мне вы можете помочь с теорией вероятности?
При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. рублей. Найти вероятность того, что среди 2000 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: а) 300 банков; б) от 300 до 400 включительно.

2) ~ 0.63, т. е. больше 50%. Обратные вероятности - какова вероятность того, что все 1461 человека родились не 29 февраля? - эта вероятность = (<число дней за 4 года без високосного дня>*>число дней с високосным>)^ <число студентов>= (1460/1461)^1461, потом из 1цы вычитаем полученное число.
Это верно в предположении равновероятного распределения дней рождений.

Обратную вероятность вы сильно преуменьшили - она есть вероятность, что 0 или 1 или 2 человека родились не 29.02.
(В условиях задачи написано "более 2").

egor7 Гуру (2772) да.. моя ошибка.. Дубль 2. Вероятности обратных событий: - что все 1461 студента родились не на 29 фев. в течении 4х лет = (1460/1461)^1461 = P1 - что 1460 студентов родились не на 29 фев. в течении 4х лет = (1460/1461)^1460 = P2. - что 1459 студентов родились не на 29 фев. в течении 4х лет = (1460/1461)^1459 = P3. Вероятность искомого = 1 - P1*P2*P3 = 0.95 ( / )^ = (1460/1461)^1461

Булат 1 Оракул (54355) 1460*1461/2 1066530 * (1460/1461)^1459 * (1/1461)^2 следует читать как 1460*1461/2 * (1460/1461)^1459 * (1/1461)^2

Теорема. Если вероятность р события А в каждом испытании стремится к нулю при n  , то вероятность того, что событие А появится m раз в n испытаниях, можно определить по формуле Пуассона:

где P (λ)  функция Пуассона; m = 0, 1, 2,…, m, …n ; λ=np.

Значения Р(  ) можно определить по таблицам значений функции Пуассона в зависимости от λ и m (см. приложение 3).

ПРИМЕР 5. Завод отправил на базу 5000 деталей. Вероятность повреждения детали в дороге равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут: а) три поврежденные детали; б) 4997 неповрежденных деталей.

РЕШЕНИЕ. а) По условию n=5000, m=3, p=0,0002, =50000,0002=1

б) В данном случае n=5000, m=4997, p=10,0002=0,9998. Для вычисления вероятности Р₅₀₀₀(4997) нельзя применить ни формулу Пуассона (р велико, =50000,9998=4999>10) ни локальную теорему Муавра-Лапласа ( npq =10<20) . Однако событие "не повреждено 4997 из 5000" равносильно "повреждено 3 из 5000". Вероятность последнего события вычислена в п. а).

Задачи для самостоятельного решения

В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора, б) включены все моторы, в) выключены все моторы. Отв. а) Р₆(4)= 0,246; б) Р₆(6)=0,26; в) Р₆(0)= 0,000064.

Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3. Отв. 0,472.

Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4. Отв. 0,767.

Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза. Отв. 0,19.

Изделия производства содержат 5% брака. Найти вероятность, что среди пяти выбранных наугад изделий: а) нет ни одного бракованного; б) три бракованных изделия. Отв. а) 0,774; б) 0,0011.

Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз, б) не менее двух раз. Отв. а) 7/64; б) 57/64.

Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) две опечатки; в) не менее двух опечаток. Отв. а) 0,6321; б) 0,1839; в) 0,2642.

Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение некоторого времени равна 0,002. Найти вероятность, что в течение некоторого времени откажут три элемента. Отв. 0,18.

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. Отв. 0,0457.

Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков. Отв. 0,0782.

Контрольную работу по теории вероятностей с первого раза выполняют 50% студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполняет: а) 180 студентов; б) не менее 180 студентов. Отв. а) 0,054; б) 0,9772.

Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз, т.е. от 1470 до 1500 раз (включительно); б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз. Отв. а) 0,4236; б) 0,5; в) 0,5.

При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставной фонд свыше 100 млн руб. Найти вероятность, что среди 1800 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн руб: а) не менее 300 банков; б) от 300 до 400 банков включительно. Отв. а) 0,997; б) 0,9906.

Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия р=0,9. Вероятность поражения цели при k попаданиях равна. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано 2 выстрела. Отв. 0,9639. (Указание. Применить формулы Бернулли и полной вероятности).

где P (λ)  функция Пуассона; m = 0, 1, 2,…, m, …n ; λ=np.

Значения Р(  ) можно определить по таблицам значений функции Пуассона в зависимости от λ и m (см. приложение 3).

РЕШЕНИЕ. а) По условию n=5000, m=3, p=0,0002, =50000,0002=1

Задачи для самостоятельного решения

= 1825 * = 5

5˂10 следовательно теорема Пуассона

Р1825(4)= = 0,1755.

Локальная теорема Муавра Лапласа. Если n неограниченно возрастает, а р бесконечно мало, но отлично от 0 и 1 (не равно 0,1), то вероятность того, что в n независимых испытаниях события А наступит m раз вычисляется по формуле:

Рn(m) ≈ * * – f(x)- функция Гауса (Ф-я четная, монотонно невозрастающая_

x =

Задача: В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение:

n= 400

m= 300

p = 0,8

q= 0,2

=400 * 0,8 = 320≥10

x = = = = = - = -2,5(искать по таблице значений функции Гауса)

f (-2,5) = 0,0175

P400(300) * 0,0175( вставили в формулу)

Задача: При обследовании уставных фондов банка установлено, что пятая часть банков имеют уставной фонд свыше 100 000 000 руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставной фонд свыше 100 000 000 руб. 300 банков.

Решение:

n = 1800

m= 300

p = = 0,2

= 1800*0,2=360˃10-не работает теорема Пуасона.

x = = = = = = -3,57

f(3,57)=0,0007

Р1800(300)= * 0,0007= = 0,00004

Задача: По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. 1)Найти вероятность того, что из тысячи 480 будут иметь нарушения дисциплины.2)Найти вероятнейшее число таких предприятий.

Решение

n = 1000

m=480

p=0,5 (q)

= 500˃10

Локальная теор. Муавра Лапласа

x = = = = -1,26

f(-1,26)= 0,1804(по табл.)