15 го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев условия его возврата таковы
Обновлено: 03.10.2023
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 21. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Решение. Пусть кредит берётся на n месяцев. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято хn рублей, нужно вернуть хn плюс проценты. Разница в 20% от суммы, взятой в кредит – это как раз проценты. Получаем равенство:
0,2xn=(xn+x(n-1)+x(n-2)+…+x)⋅0,01. Вынесем х из правой части равенства и разделим на х обе части равенства.
В скобках сумма арифметической прогрессии.
0,2n=(n+1)/2 ⋅ n ⋅ 0,01 → 0,2=(n+1)/2 ⋅ 0,01 → 20=(n+1)/2;
n+1=40 → n=39. Кредит берётся на 39 месяцев.
Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 22. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Решение. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято 49х рублей, нужно вернуть 49х плюс проценты. Посчитаем проценты:
(49х+48х+47х+…+2х+х) ⋅ 0,01=(49х+х)/2 ⋅ 49 ⋅ 0,01=25х ⋅ 49 ⋅ 0,01=49х ⋅0,25.
Сумма всех выплат после полного погашения составит:
49х+49х ⋅ 0,25 = 1,25 ⋅ 49х = 5/4 ⋅ 49х или 2 млн рублей по условию. Нас интересует значение 49х.
Получаем 49х = 2 ⋅ 4/5 = 1,6 млн рублей. Ответ: 1,6.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 23. Задача 15.
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что долг был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.
1) В январе на эту сумму насчитают 15%, и долг составит 115% от S, т.е.
1,15S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.
Тогда долг составит 1,15S-1,587 млн рублей.
2) В январе на последнюю сумму насчитают 15% и долг составит 115% от последней суммы,
т.е. (1,15S-1,587) ⋅ 1,15 или 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15 млн рублей.
В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.
Тогда долг составит 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15-1,587 или
1,3225S-1,587 ⋅ 2,15 или 1,3225S-3,41205 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3225S-3,41205 = 0.
1,3225S = 3,41205 → S = 3,41205 : 1,3225 → S = 2,58 млн рублей было взято в банке.
Ответ: 2,58 млн рублей.
Примечание. Можно было применить формулу Sk 2 = X(k +1) .
У нас Х = 1,587 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,15 = 1,15.
Тогда S ⋅ 1,15 2 = 1,587(1,15+1); S ⋅ 1,15 2 = 1,587 ⋅ 2,15;
S ⋅ 1,3225 = 1,587 ⋅ 2,15; разделим обе части равенства на 1,3225.
S = 1,2 ⋅ 2,15 = 2,58. Итак, в банке было взято 2,58 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 24. Задача 15.
В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.
1) В январе на эту сумму насчитают 16%, и долг составит 116% от S, т.е.
1,16S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.
Тогда долг составит 1,16S-2,523 млн рублей.
2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 16% и долг составит 116% от последней суммы,
т.е. (1,16S-2,523) ⋅ 1,16 или 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16 млн рублей.
В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.
Тогда долг составит 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16-2,523 или
1,3456S-2,523 ⋅ 2,16 или 1,3456S-5,44968 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3456S-5,44968 = 0.
1,3456S = 5,44968 → S = 5,44968 : 1,3456 → S = 4,05 млн рублей было взято в банке.
Ответ: 4,05 млн рублей.
Примечание. Можно было применить формулу Sk 2 = X(k +1) .
У нас Х = 2,523 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,16 = 1,16.
Тогда S ⋅ 1,16 2 = 2,523(1,16+1); S ⋅ 1,16 2 = 2,523 ⋅ 2,16;
S ⋅ 1,3456 = 2,523 ⋅ 2,16; разделим обе части равенства на 1,3456.
S = 1,875 ⋅ 2,16 = 4,05. Итак, в банке было взято 4,05 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 29. Задача 15.
В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 3,249 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.
1) В январе на эту сумму насчитают 14%, и долг составит 114% от S, т.е.
1,14S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.
Тогда долг составит 1,14S-3,249 млн рублей.
2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 14% и долг составит 114% от последней суммы, т.е.
(1,14S-3,249) ⋅ 1,14 или 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14 млн рублей.
В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.
Тогда долг составит 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14-3,249 или
1,2996S-3,249 ⋅ 2,14 или 1,2996S-6,95286 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,2996S-6,95286 = 0.
1,2996S = 6,95286 → S = 6,95286 : 1,2996 → S = 5,35 млн рублей было взято в банке. Ответ: 5,35 млн рублей.
Примечание. Можно было применить формулу Sk 2 = X(k +1) .
У нас Х = 3,249 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,14 = 1,14.
Тогда S ⋅ 1,14 2 = 3,249(1,14+1); S ⋅ 1,14 2 = 3,249 ⋅ 2,14;
S ⋅ 1,2996 = 3,249 ⋅ 2,14; разделим обе части равенства на 1,2996.
S = 2,5 ⋅ 2,14 = 5,35. Итак, в банке было взято 5,35 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 25. Задача 15.
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на n+1 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.
Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 600-200=400 тысяч рублей, т.е. nХ=400.
Подсчитаем проценты за все (n+1) месяцев кредитования. Сумму, взятую в кредит запишем как nХ+200.
В скобках у нас сумма арифметической прогрессии. Здесь a1 = nX+200; an = 200. Применим формулу Sn = (a1+an)/2 ⋅ n.
(nX+200+200)/2 ⋅ (n+1) ⋅ 0,03 = (nX+400)(n+1) ⋅ 0,15. Так как nХ=400, то имеем
(400+400)(n+1) ⋅ 0,15 = 800(n+1) ⋅ 0,15 = 120(n+1). Такова сумма процентов за всё время кредитования. Переплата составит 852-600=252 тысячи рублей. Это как раз сумма выплаченных процентов. Получаем равенство:
120(n+1)=252, отсюда n+1=252:120;
n+1=21, тогда n=20. Ответ: 20.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 26. Задача 15.
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысячи рублей.
Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. У нас Х=40 тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 1000-200=800 тысяч рублей, т.е. nХ=800.
Отсюда n=800 : 40 = 20. Кредит собираются взять на 21 месяц.
Подсчитаем проценты за все 21 месяц кредитования. Сумму, взятую в кредит, запишем как 20Х+200.
В скобках у нас сумма арифметической прогрессии.
(20X+200+200)/2 ⋅ 21 ⋅ 0,01r = (10X+200) ⋅21 ⋅ 0,01r. Так как 20Х=800, то имеем
Задание 15 № 510103
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Пусть начальная сумма кредита равна S0, тогда переплата за первый месяц равна По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной
Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:
По условию общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, тогда:
Примечание Дмитрия Гущина.
Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами
В условиях нашей задачи получаем: откуда для n = 19 находим r = 3.
Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 19 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С)., Задания 17 (С4) ЕГЭ 2015
Задание 15 № 510103
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Пусть начальная сумма кредита равна S0, тогда переплата за первый месяц равна По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной
Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:
По условию общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, тогда:
Примечание Дмитрия Гущина.
Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами
В условиях нашей задачи получаем: откуда для n = 19 находим r = 3.
Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 19 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С)., Задания 17 (С4) ЕГЭ 2015
Задание 15 № 510103
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Пусть начальная сумма кредита равна S0, тогда переплата за первый месяц равна По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной
Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:
По условию общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, тогда:
Примечание Дмитрия Гущина.
Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами
В условиях нашей задачи получаем: откуда для n = 19 находим r = 3.
Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 19 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.
Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С)., Задания 17 (С4) ЕГЭ 2015
Задание 17. 15-го января планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
— 1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;
— выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.
Если переводить в банк каждый год по 2 073 600 рублей, то кредит можно выплатить за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года.
Обозначим через сумму кредита. Тогда в конце первого года он будет увеличен до рублей. Для простоты записи обозначим через . После этого делается платеж в размере 2073600 рублей, получаем сумму долга:
В следующем году сумма долга вновь увеличивается на процентов и погашается на величину , имеем:
В результате, через 4 года получим сумму долга
Соответственно, при выплате кредита за 2 года платежами , получим
Умножим последнее выражение на и вычтем из уравнения (1), получим:
Решаем кубическое уравнение, получаем подходящее значение , то есть
Решение кубического уравнения
Решим кубическое уравнения, умножим обе его части на -1, получим:
Это уравнение представляет собой кубический многочлен относительно переменной t. Тогда его можно разделить на величину , где a – один из (любой) корней кубического уравнения и получить квадратное уравнение относительно неизвестного t. Теорема Безу гарантирует в этом случае нулевое значение остатка от деления. Проделаем эту операцию. Для поиска какого-либо корня кубического уравнения выбирается его свободный член и записываются делители этого числа:
и путем их подстановки (вместо t) проверяются на соответствие корням. Первое число t=1 дает:
не подходит. Второе число t=-1:
подходит, то есть t=-1 является одним из корней кубического уравнения. Теперь выполним деление кубического многочлена на t-1, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:
В результате получаем квадратное уравнение для оставшихся двух корней:
Подставляем вместо и , вычисляем эти корни:
Так как проценты начисляются на сумму долга, то величина t должна быть больше 0. Следовательно, из всех трех корней подходит только значение t=1,2.
Автор статьи
Читайте также: