Чему будет равна сумма всех платежей после полного погашения кредита если наименьший годовой платеж

Обновлено: 28.04.2024

Всем здравствуйте! Меня зовут Александр. Я - профессиональный репетитор по математике, информатике, программированию, базам данных и алгоритмам. Если коротко, то я - матерый технарь.

Одно из генеральных моих направлений - подготовка школьников к успешной сдаче ЕГЭ по математике и информатике. Потратьте буквально $2-3$ минуты собственного времени и познакомьтесь с отзывами моих учеников. Средний балл моих подопечных на официальном экзамене ЕГЭ составляет $91.35$ из $100$ возможных.

Задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике являются одними из моих любимых. Вообще задания из экономического блока мне кажутся очень интересными и познавательными. Поэтому на своих индивидуальных уроках я с большим удовольствием показываю своим ученикам различные эффективные методики их решения.

Существует по-настоящему лишь $2$ способа подготовки на высоченный итоговый балл ЕГЭ по математике:

Под началом профессионального репетитора.

Мой контактный номер телефона прописан в шапке данного сайта. Звоните, договаривайтесь о времени проведения и записывайтесь на первый пробный урок.

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $28$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит $9$ миллионов рублей?

Решение задачи

Это классическая задача на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Почему я так решил? Потому, что есть фраза-маркер, в которой четко дают понять, что размер займа уменьшается равномерно. Вот эта фраза: "В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года".

С кредитной программой мы разобрались! Это очень важный момент. Если вы спутаете тип кредитной программы, то гарантировано получите неправильный результат. Именно по этой причине я настоятельно прошу всех выучить свойства и признаки схемы дифференцированных платежей.

Кстати, напомню, что фундаментально кредитная программа бывает двух видов:

Кредит выплачивается по схеме аннуитетных платежей.

Давайте введем следующие обозначения:

$S$ - размер первоначального кредита	$r$ - процентная ставка банка, выраженная в долях	$R = 1 + r$ - для удобства расчетов
$n$ - общее количество отчетных периодов	$i$ - номер текущего отчетного периода	$\%_$ - размер начисленных банком процентов за конкретный период
$p_$ - размер платежа за конкретный период	$P$ - общая сумма всех выплат/платежей	$q$ - ставка банка, выраженная в процентах

Хочется отметить следующее, что не все выше обозначенные переменные нам потребуются в процессе решении задачи. Но понимать математический смысл вы обязаны каждой из них, если, конечно, не хотите "завалить" экзамен ЕГЭ по математике.

Дальше, давайте рассмотрим под микроскопом следующую фразу: "наибольший годовой платеж составит $9$ миллионов рублей". В этой фразе содержится наиважнейшая информация, и ваша цель - суметь ее расшифровать. Для этого нужно прекрасно понимать, как устроена математическая модель дифференцированных платежей, а также знать свойства этих платежей.

Как известно, в схеме дифференцируемых платежей самый $1$-ый платеж является наибольшим, а самый последний - наименьшим! Значит, когда говорят про наибольший платеж, нужно подразумевать самый $1$-ый платеж.

Из условия вытекает, что:

$S = 28$, млн. руб.

$q = 25\%$

$r = \frac = 0.25$

$p_ = 9$, млн. руб.

Наша задача определить $P$, то есть общий размер всех платежей/выплат!

Важно! Если вы хотите получить максимальный балл за решение задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике, то в своем решении нужно привести вывод соответствуюей математической модели. Поэтому, если плохо знаете принцип работы этой модели - срочно идите ее изучать, зубрить.

Вспомним, что платеж за любой отчетный период формируется из размера начисленных процентов за данный период и равной части первоначального кредита:

$p_ = \%_ + \frac$ - размер $i$-го платежа.

Ранее мы выяснили, что из условия задачи нам известен размер $1$-го платежа ($i = 1$). Значит, процентная ставка банка $q$ действует на весь стартовый кредит:

$\%_ = \frac * S * r = S * r = 28 * 0.25 = 7$, млн. рублей. Тогда:

А размер $1$-го платежа нам задан, он равен $9$ млн. рублей, тогда решим следующее уравнение:

Оказывается, первоначальный кредит был взят сроком на $14$ лет. При этом все ограничения будут соблюдены. Например, самый наибольший/первый платеж составит $9$ миллионов рублей. Отлично! Идем дальше!

Обратимся к формулам математической модели дифференцируемых платежей и "достанем" наиболее важную из них, а именно формулу, которая позволяет вычислить размер всех платежей:

Подставим все известные величины в эту формулу и получим ответ. Заметьте, что в этой формуле фигурирует переменная $n$, то есть необходимо знать общее количество отчетных периодов. Ее значение мы нашли на предыдущем шаге ($n = 14$).

$P = \frac + 28 = \frac + 28 = 52.5 + 28 = 80.5$, млн.руб.

Готово! Результат получен! Да, получилось нецелое значение, но это и не главное. Хотя в большинстве случаев входные данные в задачах на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике подбираются так, чтобы на выходе образовывалось что-то целое.

Но у любознательных старшеклассников может появиться вполне закономерный вопрос: "А правильный ли ответ?". Очевидно, что, да! Но ведь нужны какие-то гарантии, верно.

Верификацию полученного результата можно произвести арифметическим способом. То есть вы можете пройтись по всем отчетным периодам, вычисляя соответствующие платежи, размер начисленных банком процентов и т.п.

Но на своих индивидуальных занятиях, совместно с учеником, мы проводим верификацию полученных результатов, посредством математического процессора "MS Excel". Это очень удобный и наглядный вариант проверки решения. Также, построенная таблица обладает хорошим аналитизмом, то есть, анализируя выкладки этой таблицы, становятся понятны многие тонкие моменты, связанные с выплатой кредита.

Данная великолепная таблица доказывает правильность нашего алгебраического решения.

Ответ: 80.5

Выводы

Для успешного решения задач на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике нужно знать назубок соответствующую математическую модель. Пока не поймете эту модель, даже не вздумайте пытаться что-то решать из подобного типа заданий.

На официальном экзамене, для получения максимального балла за экономическую задачу, в своем решении приводите, в том числе и вывод математической модели. В этом случае ни один эксперт в процессе проверки не сможет "придраться" к вашим математическим выкладкам.

Внимательно читайте условие задачи и обращайте особое внимание на фразы-маркеры. Это позволит вам выбрать наиболее эффективный способ решения и не ошибиться в выборе кредитной программы.

Решайте задания с применением алгебраического способа, а не арифметического. Хотя оба этих способа уместны, но более профессиональным и продвинутым считается именно алгебраический.

И, пожалуй, одно из главных - нужно любить математику.

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

А сейчас я приведу список из нескольких задач на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Вы можете попробовать порешать их самостоятельно. Если будут трудности, то переходите по ссылке "Перейти к текстовому решению" и знакомьтесь полноценным моим решением.

Не забывайте о том, что раздел "Финансовая математика" содержит множество других типов задач: аннуитетные платежи, вклады, простые и сложные проценты, акции и т.д. Также зачастую попадаются комбинированные задачи, где происходит смешение моделей. Хотите во всем этом разбираться? Записывайтесь ко мне на частную подготовку!

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму $10$ миллионов рублей на $5$ лет.
Условия его возврата таковы:

Каждый декабрь долг возрастает на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил $1.8$ миллиона рублей?

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $20$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $47$ миллионов рублей?

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $16$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $38$ миллионов рублей?

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на срок $15$ лет.
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $q\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти $q$, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более $1.9$ миллиона рублей, а наименьший не менее $0.5$ миллиона рублей.

Пример №6

$15$ января планируется взять кредит в банке на $39$ месяцев.
Условия его возврата таковы:

$1-го$ числа каждого месяца долг возрастает на $q\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.

Со $2-го$ по $14-е$ число месяца необходимо выплатить часть долга.

$15-го$ числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15-е$ число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на $20\%$ больше суммы, взятой в кредит. Найдите $q$.

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на $9$ лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на $17\%$, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок $12$ месяцев ($1$ календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется $q\%$ этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на $13\%$ больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть $q$.

Пример №9

Каждый январь долг возрастает на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Пример №10

$15$ января планируется взять кредит в банке на $15$ месяцев.
Условия его возврата таковы:

$1-го$ числа каждого месяца долг возрастает на $1\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.

Со $2-го$ по $14-е$ число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

$15-го$ числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15-е$ число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила $108\,000$ рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Все эти задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике решаются достаточно быстро, если вы хорошо знаете, как устроена математическая модель дифференцируемых платежей. Повторю, уже, наверное, раз $10$-ый - разбирайтесь с математической моделью, и будем вам счастье.

Также, время от времени, рекомендую обращаться к этому списку заданий, так как он постоянно обновляется и дополняется, появляются новые условия, а также соответствующие мои математические разборы.

Что-то все равно осталось непонятным? Записывайтесь ко мне на частную подготовку!

Если после прочтения данного материала у вас остались какие-то вопросы, недопонимания, то это некритично, и, даже, вполне логично! Недостаточно пристально рассмотреть одно решение задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Нужен комплексный подход!

Я - репетитор-практик, который на своих занятиях, уделяет львиное количество времени конкретным разборам, техникам и эффективным методикам решения. Всевозможной теории полно в глобальной сети Интернет, а экзамен ЕГЭ по математике является практическим, то есть нужно уметь решать, а не знать теоретические изыски.

Мои занятия проходят дистанционно, посредством таких программ, как "Скайп" и "AnyDesk". Подобный формат взаимодействия репетитора с учеником является очень удобным, позволяет задействовать мультимедийные технологии, а также достаточно недорог.

Я достаточно востребованный и известный репетитор по математике и информатике, поэтому, не откладывайте свое решение в долгий ящик. Действуйте прямо сейчас! И не забывайте, что количество ученических мест ограничено, поэтому, завтра свободных мест уже может и не остаться.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 0,24 млн рублей?

Решение

Все решения

Применяем так называемый [b]"метод решения задач с конца".[/b]

Описываю ОБЩУЮ СХЕМУ:

Поскольку последний долг равен 0, то долг[blue] (n-1) -го[/blue] года равен [b]х[/b] млн. руб,
тогда долг предыдущего [blue](n-2)-[/blue]го года на такую же сумму больше и равен[b] 2х[/b] млн. руб
.
и так далее
долг [blue]1-го[/blue] месяца равен [b] (n-1)*x[/b] млн. руб.
А сам кредит [b]n*x [/b] млн. руб.

Таким образом [b]погашение основного кредита [/b] происходит равными суммами.

Каждый год погашаем сумму, равную[b] х[/b] млн. руб,
каждый год сумма долга уменьшается на[b] х[/b] млн. руб.

[red]Но кредит берется под проценты.[/red]
Какова схема начисления и выплачивания процентов.

Первый месяц начисляют проценты на[b] весь кредит.[/b]
[green]0,2*(nx)[/green] млн. руб.
Выплачивают эти проценты и часть кредита равную х
Остаток на х меньше, те. (n-1)*x

Второй месяц начисляют % на остаток
[green]0,2*(n-1)*x[/green] млн. руб

Выплачивают эти проценты и часть кредита равную х
Остаток на х меньше, т. е (n-2)*x

Таким образом погашение основного кредита происходит равными долями.
Каждый раз сумма долга становится на одно и то же число меньше.

Выплата каждого года( в феврале - июне) состоит из выплаты начисленных процентов в январе и части кредита, равной [b]х[/b] млн. руб.

[b]Наименьшая выплата в последней строке:[/b]

[b]n=15 [/b] срок кредита.

Кредит взят на 15 лет.

Выплата процентов ( первый столбик)

В скобках сумма арифметической прогрессии( считаем методом Гаусса как в 5-м классе):

S=[green]0,2[/green]*((16x)*15)/2)=[green]0,2[/green]*8x*15=[green]0,2[/green]*8*[b]0,2[/b]*15=4,8 млн руб. - выплаты %

Общая сумма выплат:

4,8 + [red]3[/red]=7,8 млн. руб.

О т в е т. 7,8 млн. руб

Продолжаем цикл статей, посвящённых решению экономических задач ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задачи для разбора взяты из реальных вариантов ЕГЭ прошлых лет, которые размещены на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .

Задачи на расчёт дифференцированного платежа по кредиту

Дифференцированный платёж по кредиту — система выплат, при которой сумма основного долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц). При этом платежи каждый год (месяц) отличаются и состоят из тела основного долга и начисленных процентов на остаток долга.

Таким образом, если кредит взят на n лет (месяцев), то сумма кредита — S денежных единиц — разделена на n равных частей, и каждый год (месяц) после платежа сумма долга уменьшается на s/n денежных единиц по сравнению с долгом на начало года (месяца).

Размер задолженности по кредиту после внесения очередного (k-го) платежа составит:

Решение задач с дифференцированными платежами по кредиту предполагает наличие у школьника базовых навыков анализа числовых данных и осуществление практических расчётов по формулам.

Задача 1. Рассчитать общую сумму выплат после полного погашения кредита

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн руб. на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 3,85 млн руб.? Округления при вычислении платежей не производятся.

Решение

Согласно условию задачи, в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Следовательно, речь идёт о дифференцированных платежах.

Пусть кредит взят на n лет, p = 0,1 (проценты в десятичной дроби).

Ежемесячный платеж основного долга = 14/n млн руб.

Тогда основной долг по кредиту каждый июль будет составлять (в млн руб.):

В январе каждого года начисленные проценты составят:

Ежегодный платёж = Сумма основного долга + Начисленные проценты

Наименьший годовой платёж — это последний платёж:

Значит, всего будет выплачено за 4 года:

Ответ: 17,5 млн руб.

Задача 2. Рассчитать, на сколько лет взят кредит, если известна общая сумма выплат после его погашения

На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн руб.?

Решение

Рассмотрим оформление решения задачи с использованием таблицы.

Пусть кредит взят на n лет.

Годовой процент равен 25%, значит, каждый год долг увеличивается в 1/4 раза.

Из условия задачи следует, что сумма выплаченных процентов составит 24,5 – 14 = 10,5 млн руб.

Следовательно, имеем уравнение:

Ответ: 5 лет.

Что необходимо учитывать при выполнении заданий ЕГЭ этого типа?

При выполнении задания № 15 ЕГЭ по математике профильного уровня выделим несколько важных нюансов.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Один из типов экономических задач — это задачи на платежи с равномерно убывающим долгом. Каждый месяц (период) основной долг уменьшается на одинаковую сумму. Ежемесячный платёж будет состоять из суммы основного долга и суммы начисленных процентов на остаток долга.

В этом случае мы имеем дело с дифференцированными платежами.

Внимание: в задачах этого типа применяется формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Задачи для разбора берутся из вариантов ЕГЭ прошлых лет, размещённых на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитать сумму кредита

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту после полного его погашения составила 2 млн руб. (никакие округления при вычислении платежей не производятся)?

S тыс. руб. — сумма кредита,

2 млн руб. = 2000 тыс. руб.,

X тыс. руб. — ежемесячная выплата основного долга.

Суммы ежемесячного долга: S; (S — X); (S — 2 * X . S — 47 * X); (S — 48 * X); 0

S * p; (S — X) * p; (S — 2 * X) * p . (S — 47 * X) * p; (S — 48 * X) * p; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 49 * p — 24 * p) = 2000

S * (1 + 25 * 0,01) = 2000

S = 1600 тыс. руб., или 1,6 млн руб.

Ответ: 1,6 млн руб.

Задача 2. Рассчитать сумму кредита

15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,604 млн руб. (1604 тыс. руб.)?

Задача отличается от предыдущей — выплаты по основному долгу (30 тыс. руб.) осуществляются только первые 20 месяцев, а значит, в последний месяц выплата будет иной.

S тыс. руб. — сумма кредита

Суммы ежемесячного долга: S; (S — 30); (S — 60. S — 570); (S — 600); 0

Начисленные проценты: S * р; (S — 30) * р; (S — 60) * р. (S — 570) * р; (S — 600) * р; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 21 * 0,03) — 0,03 * 6300 = 1604

1,63 * S — 189 = 1604

1,63 * S = 1604 + 189

S = 1100 тыс. руб., или 1,1 млн руб.

Ответ: 1,1 млн руб.

Задача 3. Рассчитать, на сколько месяцев планируется взять кредит

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его выплаты таковы:

1-го числа n-ого месяца долг возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?

Превышение выплат на 30% от суммы кредита — за счёт выплаченных процентов.

Раскрываем скобки и группируем слагаемые.

Ответ: 19 месяцев.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Дифференцированный платёж — вариант платежа, когда сумма ежемесячной выплаты каждый раз уменьшается, но общая сумма кредита убывает равномерно.

Аннуитетный платёж — вариант платежа, когда сумма ежемесячной выплаты остаётся постоянной на всём периоде кредитования.

Чтобы понять, какой тип платежа является более выгодным, предлагаю решить несложную финансовую задачу.

Иван решил взять кредит в банке на сумму 331 000 руб. на три месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.

Аннуитетные платежи. Согласно первой схеме, банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, то есть увеличивает её на 10%. Затем Иван переводит в банк фиксированную сумму и в результате погашает весь долг тремя равными выплатами.

Дифференцированные платежи. Согласно второй схеме, сумма долга так же в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Иваном. Размер ежемесячных выплат устанавливается таким образом, чтобы в результате общая сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Какую схему выгоднее выбрать Ивану? Сколько составит эта выгода?

Схема 1. Аннуитетные платежи

Первый месяц

Иван взял в кредит 331 000 руб. Далее, согласно условиям кредитного договора, банк должен начислить процент, а именно 10%. Для удобства подсчёта вместо процентов будем использовать десятичные дроби.

Когда к какому-то числу мы прибавляем 10%, то получаем 110%, значит, искомое число нужно разделить на 100, чтобы узнать, чему равен один процент, а затем умножить на 110.

(331 000 / 100) * 110 = 331 000 * 1,1 = 364 100.

Путём группировки 110 и 100 получаем 1,1.

Далее Иван вносит фиксированный платёж — обозначим его за x. Таким образом получим, что оставшаяся после первого месяца сумма долга составит (364 100 — x).

Для наглядности запишем всё это в таблицу.

Долг с учётом процентов

Долг после уплаты фиксированного платежа

331 000 * 1,1 = 364 100

Второй месяц

Ситуация повторяется. Банк начисляет проценты, а Иван осуществляет фиксированную выплату x. Получаем следующее.

Долг с учётом процентов

Долг после уплаты фиксированного платежа

1,1 * (364 100 – x) = 400 510 – 1,1x

Третий месяц

Последний месяц — по аналогии с предыдущими.

Долг с учётом процентов

Долг после уплаты фиксированного платежа

1,1 * (400 510 – 2,1x) = 440 561 – 2,31x

440 561 – 2,31x – x = 440 561 – 3,31x

Согласно условиям кредита, долг должен быть погашен через три месяца, а значит, в итоге сумма долга должна быть равна нулю. Таким образом:

440 561 — 3,31x = 0.

Получаем, что x = 133 100, следовательно, три выплаты в сумме составят 399 300 руб.

Схема 2. Дифференцированные платежи

В этом случае, согласно условиям кредитного договора, долг каждый месяц должен уменьшаться равномерно. То есть в конце первого месяца к уплате останется 2/3 долга, или примерно 66,6%, в конце второго — 1/3 долга, или 33,3%, и в конце третьего — 0.

Для удобства составим таблицу.

Долг на начало месяца

Долг с учётом процентов

Долг на конец месяца

331 000 * 1,1 = 364 100

331 000 * 2/3 = 220 666,66

220 666,66 * 1,1 = 242 733,33

331 000 * 1/3 = 110 333,33

110 333,33 * 1,1 = 121 366,66

Сумма на конец месяца совпадает с начальной суммой следующего месяца, потому что в этот промежуток времени ничего не происходит. Теперь рассчитаем сумму платежа. Из долга с учётом процентов вычтем долг на конец месяца, чтобы понять, какую сумму должен внести Иван.

Месяц 1: 364 100 — 220 666,66 = 143 433,34 руб.

Месяц 2: 242 733,33 — 110 333,33 = 132 400 руб.

Месяц 3: 121 366,66 — 0 = 121 366,66 руб.

Подведём итог: 143 433,34 + 132 400 + 121 366,66 = 397 200 руб.

Сравниваем результаты

Общая сумма выплат по кредиту в первом случае 399 300 больше 397 200 на 2100 руб.

Дифференцированные платежи, как показали расчёты, являются более выгодными для кредитуемого. В качестве дополнительного бонуса — выплата по кредиту с каждым месяцем становится меньше, что интуитивно приободряет заёмщика.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также:

\(S\) - размер первоначального кредита	\(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях	\(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов	\(i\) - номер текущего отчетного периода	\(\%_\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_\) - размер платежа за конкретный период	\(P\) - общая сумма всех выплат/платежей	\(q\) - ставка банка, выраженная в процентах