Клиент взял в банке кредит 100 рублей на n месяцев с условием что по окончании

Обновлено: 30.04.2024

Встречаются задачи, в которых долг по кредиту уменьшается неравномерно, а убывает согласно данным, представленным в таблице.

Задачи для разбора взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитываем разницу между общей суммой выплат и суммой самого кредита

15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

При решении данной задачи воспользуемся советами, данными в прошлой статье «Проценты по кредиту с равными платежами».

Учитываем, что общая сумма выплат будет превышать сумму кредита за счёт начисленных и уплаченных процентов.

I способ — решим задачу в общем виде, приняв за сумму кредита S руб. р = 5% = 0,05,

Представим решение в виде таблицы.

Долг с начисленными процентами, руб.	Выплата, руб.	Остаток долга, руб.	Остаток долга, %
Февраль	Sr	Sr — 0,9S	0,9S	90%
Март	0,9Sr	0,9Sr — 0,8S	0,8S	80%
Апрель	0,8Sr	0,8Sr — 0,7S	0,7S	70%
Май	0,7Sr	0,7Sr — 0,6S	0,6S	60%
Июнь	0,6Sr	0,6S r — 0,5S	0,5S	50%
Июль	0,5Sr	0,5Sr	0	0%

Общая сумма выплат составит:

Общая сумма выплат от суммы кредита:

Следовательно, переплата равна 22,5%.

II способ — используем частный случай.

Пусть сумма кредита равна 100 руб.

Долг с начисленными процентами, руб.	Выплата, руб.	Остаток долга, руб.	Остаток долга, %
Февраль	100 * 1,05 = 105	105 — 90 = 15	90	90%
Март	90 * 1,05 = 94,5	94,5 — 80 = 14,5	80	80%
Апрель	80 * 1,05 = 84	84 — 70 = 14	70	70%
Май	70 * 1,05 = 73,5	73,5 — 60 = 13,5	60	60%
Июнь	60 * 1,05 = 66,3	66,3 — 50 = 13	50	50%
Июль	50 * 1,05 = 52,5	52,5	0	0%

Общая сумма выплат:

Следовательно, переплата равна 22,5%.

Задача 2. Рассчитываем наибольшее значение процентов, при котором общая сумма выплат будет меньше заданного числа

15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб.

Выплата, млн руб.

Остаток долга, млн руб.

Обратите внимание! Ежемесячная выплата рассчитывается как разность между долгом на начало месяца и остатком долга. Следовательно, третий столбец заполняется в последнюю очередь.

Общая суммы выплат:

Обратите внимание! Вычисление следует производить до тысячных.

По условию задачи, r — целое число, следовательно, r = 7%.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Прием работ окончен

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

Ширина шины (мм)	Диаметр диска (дюймы)
Ширина шины (мм)	13	14	15
165	165/70	165/65	—
175	175/65	175/65; 175/60	—
185	185/65; 185/60	185/60	185/55
195	195/60	195/55	195/55; 195/50

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.


Рис. 1	Рис. 2

Автомобильное колесо, как правило, представляет собой металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число (число 195 в приведённом примере) обозначает ширину шины в миллиметрах (параметр B на рисунке 2). Второе число (число 65 в приведённом примере) — процентное отношение высоты боковины (параметр на рисунке 2) к ширине шины, то есть

Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции.

За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Возможны дополнительные маркировки, обозначающие допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие параметры.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами маркировки 165/70 R13.

На сколько миллиметров радиус колеса с шиной маркировки 205/55 R14 больше, чем радиус колеса с шиной маркировки 165/65 R14?


Рис. 1	Рис. 2

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/50 R15?


Рис. 1	Рис. 2

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.


Рис. 1	Рис. 2

Один из типов экономических задач — это задачи на платежи с равномерно убывающим долгом. Каждый месяц (период) основной долг уменьшается на одинаковую сумму. Ежемесячный платёж будет состоять из суммы основного долга и суммы начисленных процентов на остаток долга.

В этом случае мы имеем дело с дифференцированными платежами.

Внимание: в задачах этого типа применяется формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Задачи для разбора берутся из вариантов ЕГЭ прошлых лет, размещённых на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитать сумму кредита

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту после полного его погашения составила 2 млн руб. (никакие округления при вычислении платежей не производятся)?

S тыс. руб. — сумма кредита,

2 млн руб. = 2000 тыс. руб.,

X тыс. руб. — ежемесячная выплата основного долга.

Суммы ежемесячного долга: S; (S — X); (S — 2 * X . S — 47 * X); (S — 48 * X); 0

S * p; (S — X) * p; (S — 2 * X) * p . (S — 47 * X) * p; (S — 48 * X) * p; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 49 * p — 24 * p) = 2000

S * (1 + 25 * 0,01) = 2000

S = 1600 тыс. руб., или 1,6 млн руб.

Ответ: 1,6 млн руб.

Задача 2. Рассчитать сумму кредита

15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,604 млн руб. (1604 тыс. руб.)?

Задача отличается от предыдущей — выплаты по основному долгу (30 тыс. руб.) осуществляются только первые 20 месяцев, а значит, в последний месяц выплата будет иной.

S тыс. руб. — сумма кредита

Суммы ежемесячного долга: S; (S — 30); (S — 60. S — 570); (S — 600); 0

Начисленные проценты: S * р; (S — 30) * р; (S — 60) * р. (S — 570) * р; (S — 600) * р; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 21 * 0,03) — 0,03 * 6300 = 1604

1,63 * S — 189 = 1604

1,63 * S = 1604 + 189

S = 1100 тыс. руб., или 1,1 млн руб.

Ответ: 1,1 млн руб.

Задача 3. Рассчитать, на сколько месяцев планируется взять кредит

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его выплаты таковы:

1-го числа n-ого месяца долг возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?

Превышение выплат на 30% от суммы кредита — за счёт выплаченных процентов.

Раскрываем скобки и группируем слагаемые.

Ответ: 19 месяцев.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Экономические задачи ввели в единый государственный экзамен по математике (профильный уровень) с 2015 года. При их решении у экзаменующихся часто возникают затруднения, ведь в жизни они пока не сталкивались с кредитами и вкладами, а значит, плохо понимают условия задач и действия, выполняемые внутри них.

Разбор типовых задач (задание 17) из ЕГЭ по математике профильного уровня будет полезен не только выпускникам школ, но и любителям прикладных методов в банковской сфере.

Как решать экономические задачи?

Часть экономических задач можно решить универсальным способом — с помощью составления таблицы, которая позволит упорядочить данные по временным интервалам.

Для всех типов задач при составлении таблицы используется единый алгоритм.

Условия задач взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .

Задачи на равные платежи по кредиту

В задачах этого типа заёмщик всегда вносит равные суммы. При решении подобных задач надо следовать ряду советов.

Задача 1. Рассчитываем общую сумму кредита

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

Какая сумма была взята в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

S руб. — сумма кредита,
р = 0,31,
r = 131,
В = 69 690 821 руб. — ежегодная выплата.

Долг с начисленными процентами	Выплата	Остаток долга
1	S * r	B	S * r — B
2	(S * r — B) * r	B	(S * r — B) * r — B
3	((S * r — B) * r — B) * r	B	0

По последней строке составляем уравнение:

Далее последовательно раскроем скобки:

Теперь можно подставить числовые данные:

Многолетняя практика по решению реальных экзаменационных вариантов показывает, что числовые данные для задач подбираются неслучайно. Составители могут специально подбирать значения таким образом, чтобы получающиеся при вычислениях дроби можно было сократить. Поэтому, прежде чем взяться за вычисление знаменателя, надо проверить, будет ли число 69 690 821 делиться на 1,31.

Ответ: Общая сумма кредита 124 809 100 руб.

Задача 2. Рассчитываем процент кредита

31 декабря 2020 г. Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на х%), затем Пётр переводит очередной платёж. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 руб., то выплатит долг за четыре года. Если по 4 392 000 руб., то за два года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

S тыс. руб. — сумма кредита,
Х% — в десятичной дроби,
r = 1 + a,
А = 2 592 000 руб. — ежегодный платёж 1,
В = 4 392 000 руб. — ежегодный платёж 2.

Долг с начисленными процентами	Выплата	Остаток долга
1	S * r	А	S * r — А
2	(S * r — А) * r	А	(S * r — А) * r — А
3	((S * r — А) * r — А) * r	А	((S * r — А) * r — А) * r — А
4	(((S * r — А) * r — А) * r — A) * r	А	0
1	S * r	B	S * r — B
2	(S * r — B) * r	B	0

Из таблицы видно, что последнее начисление банка при каждой схеме выплат равно ежегодной выплате.

Получаем систему уравнений:

Помните о культуре вычислений и об отсутствии калькулятора.

Выражаем S из каждого уравнения:

Теперь подставляем числовые значения:

Значит, а = 1,2 — 1 = 0,2, или 20%

Ответ: Пётр взял кредит под 20%.

О чём необходимо помнить при решении экономических задач

Старайтесь предварительно упрощать выражения, используя алгебраические преобразования.

Мы разобрали алгоритм решения задач с использованием таблицы, но возможны и другие способы решений.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

1. Если взять кредит в размере 1 000 рублей под 16% годовых на срок в один год, то проценты составят 160 рублей. А сколько они составят, если взять такой же кредит не на год, а на полгода (при простом начислении процента)?

2. Алиса – богатая наследница, она много тратит и не склонна думать о том, откуда появляются деньги. Белла недавно открыла свое дело, и ей не хватает денег на развитие предприятия. Вероника пока работает уборщицей, но уже сейчас стремится вести такой же роскошный образ жизни, как Алиса, пытаясь тратить больше, чем зарабатывает. Кто из них может решить обратиться в банк за кредитом в ближайшем будущем?

a. Алиса и Белла

b. Алиса и Вероника

c. Белла и Вероника

3. Кто из персонажей предыдущего примера, скорее всего, сможет использовать банковский кредит с выгодой для себя?

a. Алиса и Белла

b. Алиса и Вероника

c. Белла и Вероника

4. Какой из вариантов будущего Вероники (персонажа из двух предыдущих примеров) НАИМЕНЕЕ вероятен?

a. Вероника не получит кредит.

b. Вероника получит кредит, а потом без особых трудностей вовремя вернет его.

c. Вероника получит кредит, но, чтобы вернуть его, ей придется продавать вещи и работать в две смены.

d. Вероника получит кредит и не вернет его, в результате предстанет перед судом.

5. В каком случае ставка процента, скорее всего, окажется самой высокой?

a. По выданному в торговом центре кредиту на покупку телевизора.

b. По выданному в банке кредиту на покупку телевизора.

c. По микрозайму на любые цели, который выдается в микрофинансовой организации.

d. Во всех этих случаях ставка процента должна быть одинаковой.

6. Остап взял кредит на покупку автомобиля. Размер кредита – 1 000 000 рублей, а ставка – 24% годовых. Кредит погашается равными платежами на протяжении 50 месяцев. В каждый платеж входят проценты, погашение основной суммы долга и комиссионный сбор в размере 1000 рублей каждый месяц. Ежемесячный платеж по кредиту составит…

a. Менее 10 000 рублей

b. От 10 000 до 15 000 рублей

c. От 15 000 до 20 000 рублей

d. Свыше 20 000 рублей

7. Перед получением кредита необходимо убедиться в том, что… (можно выбрать несколько вариантов):

a. Вы прочитали договор, поняли его и согласны с условиями.

b. Ваши доходы достаточны для оплаты кредита и обеспечения нормальной жизни за счет того, что останется.

c. Сотрудники банка хорошо понимают ваши жизненные обстоятельства.

d. У вас есть запас средств, за счет которого вы будете расплачиваться с банком в случае, если временно потеряете основной доход.

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также: