В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок

Обновлено: 12.05.2024

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т.е. составлять 1,8 млн. рублей.

В январе сумма долга станет равной 1,2 * 6 = 7,2 млн. руб.

После 1 платежа сумма долга будет равна 7,2 - 1,8 = 5,4 млн. руб.

6 - 5,4 = 0,6 - разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 0,6 млн руб. меньше, чем в июле предыдущего года.

В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда

Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок крелита составит 10 лет.

Заметим, что все ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Действительно, на 2 год в январе месяце долг составит 5,4*1,2 = 6,48. После выплаты он должен отличаться от предыдущей суммы долга в июле на 0,6 млн. руб., значит, сумма долга в июле составит 5,4 - 0,6 = 4,8 млн. руб, а выплата за 2 год равна 6,48 - 4,8 = 1,68 млн. руб, что меньше, чем 1,8 млн. руб.

На (n+1)-ый год в июле месяце долг составит 6-0,6n.

Долг на январь месяц будет составлять (6-0,6(n-1))*1,2

Сумма выплаты за n год равна (6-0,6(n-1))*1,2 - (6-0,6n) = 1,92 - 0,12n.

Получаем, что при n>1 ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Окончательно получаем, что кредит будет выплачен за 10 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

В январе сумма долга составит 10*1,1 = 11 млн. руб.

Пусть 1 платеж составил X млн. руб. Тогда после 1 платежа долг составит (11-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то разница между долгом каждый год будет равна

10 - (11-X) = (X - 1) млн. руб.

Осталось выплатить долг еще за 4 года. Через 4 года долг в июле месяце будет равен

Так как кредит был погашен за 5 лет, то последний долг равен 0, т.е. получаем уравнение:

То есть 1-ый платеж составил 3 млн. руб.

После этого долг в июле составил 11-3 = 8 млн. руб.

Во 2 год в январе долг составит уже 1,1*8 = 8,8 млн. руб. И так как разница между долгом каждый год в июле равна 3 - 1 = 2 млн. руб., то на июль 2-го года долг составит 8 - 2 = 6 млн. руб. Значит, 2 платеж был равен 8,8 - 6 = 2,8 млн. руб.

В 3 год в январе долг равен 1,1*6 = 6,6 млн. руб. На июль 3-го года долг будет равен 6 - 2 = 4 млн. руб., значит, 3 платеж равен 6,6 - 4 = 2,6 млн. руб.

В 4 год в январе долг равен 4*1,1 = 4,4 млн. руб. На июль 4 года долг составит 4 - 2 = 2 млн. руб. И 4-ый платеж был равен 4,4 - 2 = 2,4 млн. руб.

На январь 5-го года долг составит 2*1,1 = 2,2 млн. руб. И так как кредит был полностью погашен за 5 лет, то это будет последний платеж и он будет равен сумме долга, т.е. 2,2 млн. руб.

Итого общая сумма платежей за 5 лет составила: 3+2,8+2,6+2,4+2,2 = 13 млн. руб.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?

В январе долг стал равен 20*1,3 = 26 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) - составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (26-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 20 - (26-X) = (X-6) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

$(20 - (n-1)\cdot(X-6))\cdot1,3 $ млн. руб.

В июле n-го года долг равен 20-n(X-6).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

$(20 - X+6)\cdot 1,3 - 20 + 2X-12 = 33,8 - 1,3X - 32+2X = 1,8+0,7X.$

$(20 - 2X+12)\cdot 1,3 - 20+3 \cdot(X-6) = 41,6-2,6X - 20+3X-18 = 3,6+0,4X.$

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

Откуда получаем, что

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

$$10\cdot(2x^2 - 12X+36-6X-1,8X+10,8+0,3X^2-1,8X) = 47 \cdot (X^2 - 12X+36),$$

$$10 \cdot (2,3X^2-21,6X+46,8) = 47 \cdot (X^2 - 12X+36), $$

$$23X^2-216X+468 = 47 X^2 - 564 X+1692, $$

Пусть X = 8,5. Тогда n = 20/2,5 = 8.

Если X = 6, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 8 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти х, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн рублей.

В январе сумма долга составит $(1+x/100)\cdot 6$.

Пусть первый платеж равен Y, тогда в июле останется сумма долга, равная

При этом в июле каждого года долг будет уменьшаться на одну и ту же величину, равную

$$6 - ((1+x/100)\cdot 6 - Y) = Y - 6x/100. $$

Так как кредит будет полностью выплачен за 15 лет, то получаем уравнение:

$$6 - 15 \cdot (Y-6x/100) = 0,$$

Тогда в июле каждого года долг будет уменьшаться на величину, равную

$$Y - 6x/100 = 0,06X+0,4 -0,06X = 0,4. $$

И в июле сумма долга будет равна 6 - 0,4 = 5,6 млн. руб.

В январе сумма долга составит

В июле долг уменьшится на 0,4 млн. руб. по сравнению с июлем предыдущего года и станет равным 5,6 - 0,4 = 5,2.

Тогда платеж за 2 год составит

$$5,6 \cdot (1+\frac) - 5,2 = 0,056x+0,4.$$

Каждый год платеж уменьшается на одну и ту же сумму, а именно на

$$0,06X+0,4 - (0,056x+0,4) = 0,004x.$$

Поэтому последний 15 платеж будет равен

$$0,06X+0,4 - 14 \cdot 0,004x = 0,004x+0,4.$$

Нам известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн рублей, поэтому получаем условия:

$$0,06X+0,4 \le 1,9,~~ 0,004x+0,4 \ge 0,5,$$

Откуда получаем, что искомая величина x = 25.

Первый платеж по кредиту всегда наибольший , по этому именно он не должен превышать 1 350 000 руб.

Первый платеж будет :

Приравняем его к максимальной сумме выплаты и найдем количество

минимальный срок кредита - 9,09 лет.

В задании не сказано , что кредит берется на целое количество лет , но если это предусмотрено , тогда минимальный срок кредита ( по правилам округления ) составит 10 лет.

Ответ : если количество лет целое число , тогда 10 лет

если количество лет не обязательно целое число , тогда 9,09 лет

Новые вопросы в Математика

срочно! допоможіть, будь ласкаВ артилерійській військовій частині 20 гармат, з них чотири непристріляні. Ймовірність влучення в ціль з пристріляної га … рмати рівна 0,8, з непристріляної – 0,3. Знайти ймовірність враження цілі, якщо буде зроблено один постріл з навмання вибраної гармати.

Катет АС трикутника АВС (∠С=90°) лежить у площині , точка В не належить площині . Трикутник АВ1С –ортогональна проекція даного трикутника на площину . … Побудуйте кут між прямими АВ1 і ВС при умові, що другий катет не перпендикулярний до площини .

Для утренникакупили5 кг конфет и 3 кг шоколада. Какова средняя стоимость если известно что конфеты стоят 21 р а шоколад 9 р.

10 Розв'яжіть задачу. Петрик узявся готувати шоколадний напій за таким рецептом: 25 г какао, 15 г сухих вершків і 30 г цукру. Обчисліть, якою буде мас … а напою, якщо все це хлопчик розчинив у 400 г кип'яченої води.

Велосипедист за 2 год проїзджає ту саму відстань що турист проходить за 6 годин знайдіть швидкість велосипедиста і швидкість туриста .якщо відомо що ш … видкість велосипедиста на 8,2км за годину більша ніж швидкість туриста

Число элементов множества А равна 23,множества В равно 11,а число из общих элементов 4 .Найдите вероятность того ,что случайно взятый элемент из обьед … инения этих множеств будет общим элементом Радиус одной из двух внешне касающихся окружностей равен 1, а расстояние между точками касания из общей касательной равна 6.Найдите радиус второй окружности

На покупку двох горнят за ціною 26 грн покупець витратив чверть своїх грошей. Скільки гривень залишилось у покупця, якщо він купив ще плитку шоколаду … за 36 грн?

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 0,24 млн рублей?

Решение

Все решения

Применяем так называемый [b]"метод решения задач с конца".[/b]

Описываю ОБЩУЮ СХЕМУ:

Поскольку последний долг равен 0, то долг[blue] (n-1) -го[/blue] года равен [b]х[/b] млн. руб,
тогда долг предыдущего [blue](n-2)-[/blue]го года на такую же сумму больше и равен[b] 2х[/b] млн. руб
.
и так далее
долг [blue]1-го[/blue] месяца равен [b] (n-1)*x[/b] млн. руб.
А сам кредит [b]n*x [/b] млн. руб.

Таким образом [b]погашение основного кредита [/b] происходит равными суммами.

Каждый год погашаем сумму, равную[b] х[/b] млн. руб,
каждый год сумма долга уменьшается на[b] х[/b] млн. руб.

[red]Но кредит берется под проценты.[/red]
Какова схема начисления и выплачивания процентов.

Первый месяц начисляют проценты на[b] весь кредит.[/b]
[green]0,2*(nx)[/green] млн. руб.
Выплачивают эти проценты и часть кредита равную х
Остаток на х меньше, те. (n-1)*x

Второй месяц начисляют % на остаток
[green]0,2*(n-1)*x[/green] млн. руб

Выплачивают эти проценты и часть кредита равную х
Остаток на х меньше, т. е (n-2)*x

Таким образом погашение основного кредита происходит равными долями.
Каждый раз сумма долга становится на одно и то же число меньше.

Выплата каждого года( в феврале - июне) состоит из выплаты начисленных процентов в январе и части кредита, равной [b]х[/b] млн. руб.

[b]Наименьшая выплата в последней строке:[/b]

[b]n=15 [/b] срок кредита.

Кредит взят на 15 лет.

Выплата процентов ( первый столбик)

В скобках сумма арифметической прогрессии( считаем методом Гаусса как в 5-м классе):

S=[green]0,2[/green]*((16x)*15)/2)=[green]0,2[/green]*8x*15=[green]0,2[/green]*8*[b]0,2[/b]*15=4,8 млн руб. - выплаты %

Общая сумма выплат:

4,8 + [red]3[/red]=7,8 млн. руб.

О т в е т. 7,8 млн. руб

Один из типов экономических задач — это задачи на платежи с равномерно убывающим долгом. Каждый месяц (период) основной долг уменьшается на одинаковую сумму. Ежемесячный платёж будет состоять из суммы основного долга и суммы начисленных процентов на остаток долга.

В этом случае мы имеем дело с дифференцированными платежами.

Внимание: в задачах этого типа применяется формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Задачи для разбора берутся из вариантов ЕГЭ прошлых лет, размещённых на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитать сумму кредита

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту после полного его погашения составила 2 млн руб. (никакие округления при вычислении платежей не производятся)?

S тыс. руб. — сумма кредита,

2 млн руб. = 2000 тыс. руб.,

X тыс. руб. — ежемесячная выплата основного долга.

Суммы ежемесячного долга: S; (S — X); (S — 2 * X . S — 47 * X); (S — 48 * X); 0

S * p; (S — X) * p; (S — 2 * X) * p . (S — 47 * X) * p; (S — 48 * X) * p; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 49 * p — 24 * p) = 2000

S * (1 + 25 * 0,01) = 2000

S = 1600 тыс. руб., или 1,6 млн руб.

Ответ: 1,6 млн руб.

Задача 2. Рассчитать сумму кредита

15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,604 млн руб. (1604 тыс. руб.)?

Задача отличается от предыдущей — выплаты по основному долгу (30 тыс. руб.) осуществляются только первые 20 месяцев, а значит, в последний месяц выплата будет иной.

S тыс. руб. — сумма кредита

Суммы ежемесячного долга: S; (S — 30); (S — 60. S — 570); (S — 600); 0

Начисленные проценты: S * р; (S — 30) * р; (S — 60) * р. (S — 570) * р; (S — 600) * р; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 21 * 0,03) — 0,03 * 6300 = 1604

1,63 * S — 189 = 1604

1,63 * S = 1604 + 189

S = 1100 тыс. руб., или 1,1 млн руб.

Ответ: 1,1 млн руб.

Задача 3. Рассчитать, на сколько месяцев планируется взять кредит

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его выплаты таковы:

1-го числа n-ого месяца долг возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?

Превышение выплат на 30% от суммы кредита — за счёт выплаченных процентов.

Раскрываем скобки и группируем слагаемые.

Ответ: 19 месяцев.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Решение

Все решения

Применяем так называемый [b]"метод решения задач с конца".[/b]

Описываю ОБЩУЮ СХЕМУ:

Таким образом [b]погашение основного кредита [/b] происходит равными суммами.

Каждый год погашаем сумму, равную[b] х[/b] млн. руб,
каждый год сумма долга уменьшается на[b] х[/b] млн. руб.

[red]Но кредит берется под проценты.[/red]
Какова схема начисления и выплачивания процентов.

Второй месяц начисляют % на остаток
[green]0,2*(n-1)*x[/green] млн. руб

Выплачивают эти проценты и часть кредита равную х
Остаток на х меньше, т. е (n-2)*x

[b]Наименьшая выплата в последней строке:[/b]

[b]n=15 [/b] срок кредита.

Кредит взят на 15 лет.

Выплата процентов ( первый столбик)

В скобках сумма арифметической прогрессии( считаем методом Гаусса как в 5-м классе):

S=[green]0,2[/green]*((16x)*15)/2)=[green]0,2[/green]*8x*15=[green]0,2[/green]*8*[b]0,2[/b]*15=4,8 млн руб. - выплаты %

Общая сумма выплат:

4,8 + [red]3[/red]=7,8 млн. руб.

О т в е т. 7,8 млн. руб

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также: