Какую ставку должен назначить банк чтобы при годовой инфляции 12 реальная ставка оказалась 6

Обновлено: 26.04.2024

Современная величина ренты является важнейшей характеристикой потока платежей, которая определяет стоимость будущего денежного потока на настоящий момент времени. Эта характеристика служит основой для многих методов финансового анализа. По определению, современная величина – это сумма всех дисконтированных членов потока платежей на начальный или предшествующий ему момент времени. Иногда вместо термина современная величина используют термины приведенная или капитализированная сумма платежей. При определении современной величины потока платежей важно правильно установить период времени от начала потока (момента времени, на который производится оценка) до момента поступления платежа (в годах). После этого можно применять формулы дисконтирования.

коэффициент приведения ренты равен

Вопрос 2.
Принцип финансовой эквивалентности обязательств.

Этот принцип гарантирует безубыточность изменений финансовых отношений для каждой из сторон. Эквивалентными считаются платежи, которые, будучи приведёнными по заданной процентной ставке к одному моменту времени, оказываются равными.

Вопрос 3.
Каким образом учитывается инфляция при вычислении наращенной суммы?

Существует множество различных способов учета инфляции при наращении сложных процентов. Рассмотрим один из них, основанный на применении формулы Фишера. Пусть – ожидаемый годовой темп инфляции в виде ставки сложных процентов (мы не касаемся здесь методики определения этого показателя), – ставка процентов без учета инфляции, – реальная ставка с учетом инфляции. Тогда реальная ставка определяется из уравнения, которое называется уравнением Фишера:

Решая это уравнение относительно , получим

Ставка без учета инфляции (которую называют также номинальной ставкой) . При малых значениях используют приближенную формулу , а для реальной ставки: .

Вопрос 4.
Как определяется эффективная ставка?

Для сравнения различных условий начисления процентов (при различных номинальных ставках и различном количестве начислений) используют понятие эффективной ставки. Эффективная ставка – это годовая ставка процентов, начисляемых один раз в год, которая дает тот же финансовый результат, что и - разовое начисление в год с использованием номинальной ставки . Таким образом, по определению, должно выполнятся равенство множителей наращения

где – эффективная ставка. Отсюда получаем

Задача 1.
Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась равной 6%?

Пусть – ожидаемый годовой темп инфляции в виде ставки сложных процентов (мы не касаемся здесь методики определения этого показателя), – ставка процентов без учета инфляции, – реальная ставка с учетом инфляции. Тогда реальная ставка определяется из уравнения, которое называется уравнением Фишера:

Решая это уравнение относительно , получим

Задача 2.
Вы заключили депозитный контракт на сумму 90 000 на 4 года при 11% ставке. Если проценты начисляются ежегодно, какую сумму Вы получите по окончании контракта?

наращенная сумма – это первоначаль

– сумма процентов за весь срок;

– общее количество периодов начисления (обычно в годах);

– ставка процентов в виде десятичной дроби.

При начислении простых процентов за базу принимается первоначальная сумма. Проценты начисляются раз, поэтому и формула простых процентов запишется в виде

Величина называется множителем наращения по простым процентам.

Задача 3. По
сле внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию 30 000 в год. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 11% годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счету предприятия?

В долгосрочных финансовых операциях для наращения первоначальной суммы применяют сложные проценты. При начислении сложных процентов за базу принимают не первоначальную сумму, а сумму, получившуюся после начисления процентов и присоединения их к сумме долга в предыдущих периодах.

Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их начисления, называют капитализацией процентов. Процесс капитализации происходит по следующей схеме:

В общем виде формула наращения по сложным процентам запишется так:

Задача 4.
Провести детальный анализ ренты длительностью 4 года, годовым платежом

= 90 000 . и переменной процентной ставкой: 5% во 2-м году, 8% — в 3-м, 10% — в 4-м году. Определить современную величину этой ренты?

Сначала определим приведенную величину платежей первого промежутка на начальный момент:

i1=0% (по условию за 1-й год)

Приведённая величина платежей второго промежутка на его начало (то есть на момент ):

Эта же величина, приведенная на начало всего срока (на нулевой момент):

следовательно A2
=85714,28571

Вычисляем приведённая величину платежей третьего, четвертого промежутка

приведённая величина платежей третьего промежутка

приведённая величина платежей четвертого промежутка

Задача 5.
Вычислить - годичную ссуду покупки квартиры за
A
рублей с годовой ставкой процентов и начальным взносом процентов. Сделать расчет для ежемесячных и ежегодных выплат. =

Финансовый расчет процесса наращенные суммы первоначальных вкладов на условиях депозитного договора. Обоснование математических вычислений эквивалентности датированных сумм. Определение накопительной ставки при инвестировании и при годовой инфляции.

Рубрика	Финансы, деньги и налоги
Вид	задача
Язык	русский
Дата добавления	13.11.2013
Размер файла	85,2 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Южно-Уральский Государственный Университет

ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ:

Челябинск, 2012 год

Равные первоначальные вклады помещены в банк на разных условиях депозитного договора. Согласно первому договору ставка остается постоянной, но каждый квартал вкладчик увеличивает сумму вклада на ј первоначальной суммы, ставка простых процентов - 75%. По второму - сумма увеличивается через полгода за счет дополнительного взноса, равного Ѕ первоначальной суммы, при этом исходная ставка, равная 65%, увеличивается на 5% каждый квартал. На сколько отличаются наращенные суммы при годовом хранении?

1. Первый договор:

S1 = P (1 + ni) = P ((1 + 0,25 * 0,75) + (1 + 0,25 * 0,75) * 1,25 + (1 + 0,25 * 0,75) * 1,5 + (1 + 0,25 * 0,75) * 0,75) = 6,53 * P

2. Второй договор:

S2 = P ((1 + 0,25 * 0,75) + (1 + 0,25 * 0,8) + (1,5 + 0,25 * 0,85) + (1,5 + 0,25 * 0,9) = 6,325 * P

По первому договору наращенная сумма больше.

На сколько дней помещен вклад, если первоначальная сумма 120 тыс. руб., полученная по истечении некоторого периода, составила 150 тыс. руб. при годовой ставке простых процентов 60% (Т = 360)?

Срок хранения в днях 0,41666(6) * 360 = 150 дней.

Какую сумму необходимо положить в банк на 4 года, чтобы иметь возможность снимать с вклада по 5 тыс. руб. первые два года, а следующие два - по 10 тыс. руб. Ставка простых процентов 15%.

Найти датированные суммы по окончании двух и восьми лет, эквивалентные 20 тыс. руб., по окончании четырех лет, если деньги стоят:

Проверить положение о том, что эти суммы эквивалентны.

наращенная сумма по окончании 2-х лет;

наращенная сумма по истечении 8 лет.

Петров делал следующие вклады в сберегательный банк, который начисляет проценты в соответствии со ставкой j₂ = 2,25%, или 10 тыс. руб., пять лет назад и 5 тыс. руб., три года назад. Он брал со счета 2 тыс. руб., год назад и планирует взять остальную сумму через год. Какую сумму он получит?

Всего срок 5 лет до сегодняшнего дня, 1 год = 6 лет.

10 млн. руб., инвестируются на пять лет при j₁₂ = 5%.

Какая ставка j₄ накопит равную сумму через то же самое время?

Какую ставку должен назначить банк, если при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%?

j = i + r + i * r = 0,06 + 0,12 + 0,6 * 0,12 = 0,1872

Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру 500 д.ед. в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 4% по схеме сложных процентов. Сколько накопится на счете через 5 лет?

Сын в банке имел на счете 50000 тыс. руб., на которые ежемесячно начислялись 0,8%. Сын уехал в десятилетнюю командировку за границу, доверив отцу за 10 лет истратить весь его счет. Сколько будет получать в месяц отец?

вклад инвестирование инфляция

S = 50000 * 1,08358 = 54162,91.

На покупку дачного домика взят потребительский кредит 40 тыс.руб. на 8 лет под 8 простых процентов. Его нужно погашать равными ежеквартальными выплатами. Найти размер выплаты и составить план погашения долга.

S = P (1 + i) = 40000 * (1 + 8) = 360000

Подобные документы

Изменение суммы к получению при выплате простых процентов каждый месяц. Определение точным и приближенным способами суммы ссуды, полученной клиентом. Определение эквивалентности простой годовой ставки. Определение размера доходов от страховых взносов.

контрольная работа [24,2 K], добавлен 21.06.2014

Вычисление эффективной ставки процента. Определение цены кредита в виде простой годовой учетной ставки и годовой ставки простых процентов, множителя наращения за весь срок договора, процента и суммы накопленного долга, доходности операции для кредита.

контрольная работа [27,6 K], добавлен 21.12.2013

Определение суммы процента за кредит при германской и английской практике. Начисление процентов за кредит, погашенный единовременным платежом. Расчет ставки процентов по кредиту с учетом инфляции. Доходность вкладов по годовой ставке сложных процентов.

задача [19,5 K], добавлен 14.11.2009

Определение вексельной суммы, процентной ставки, эквивалентной банковской учетной ставке. Расчет реальной годовой доходности по облигациям при заданных номинальной процентной ставке и уровне инфляции. Ожидаемая реальная доходность держателя векселя.

контрольная работа [26,4 K], добавлен 21.12.2012

Процентные и учетные ставки. Формула наращения сложных процентов. Математическое и банковское дисконтирование. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции. Уравнение эквивалентности консолидированного платежа. Пример расчета кредита аннуитетными платежами.

Расчет размера годовой инфляции. Наращение простых процентов с переменной ставкой. Определение выкупной стоимости векселя. Размеры ежегодных выплат при возвращении займа. Процентная ставка погасительного фонда. Цена аренды при годовой ставке процента.

Рубрика	Банковское, биржевое дело и страхование
Вид	практическая работа
Язык	русский
Дата добавления	24.03.2015
Размер файла	22,3 K

Практическая работа №1

по дисциплине «Основы актуарной математики»

1. При какой ставки сложных процентов за 1,5 года сумма удваивается?

Прологарифмируем полученное выражение:

Ответ: За 1,5 года сумма увеличится на 0,58%

В день рождения внука бабушка положила в банк $1000 под 4 % годовых. Какой будет эта сумма к семнадцатилетие внука?

где S0 - первоначальная сумма вклада y.e.

P - годовой процент

При сложных процентах:

Ответ: При простых процентах к семнадцатилетию внука сумма буден равна 1680 y.e., а при сложных процентах 17680 y.e.

2. Как найти инфляцию за квартал, если известна годовая инфляция?

Пусть a инфляция за год, тогда инфляция за квартал x находится из уравнения

(1+х)4 = 1+а => 1+х = => x = - 1

Ответ: инфляция за квартал x = - 1

3. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%?

По формуле требуемая номинальная ставка равна:

Для получения приближенного решения можно воспользоваться оценкой и прийти к достаточно точному значению.

Ответ: банк должен назначить ставку 18%, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%.

4. Наращение простых процентов с переменной ставкой. Пусть простые проценты за k-й год равны . Найдите наращенную сумму через n лет.

S = P*(1+n1i1+ n2i2 + …… + nkik) = P*(1+ ),

где P - первоначальная сумма

it - ставка простых процентов в периоде с номером t, t = 1,k

nt - продолжительность t периода начисления по ставке it, i = 1, k.

5. Наращение сложных процентов с переменной ставкой. Пусть сложные проценты за k-й год равны . Найдите наращенную сумму через n лет.

S = P* (1+i1)n1 * (1+i2)n2 ……*(1+im)nm = P*nk,

где i1, i2, i3, ….. im - значения ставок процентов, действующих в соответствующие периоды n1, n2, n3,……. nk времени.

6. По договору зафиксирован платеж через 3 года в размере 1000 д.е. Через год процентная ставка увеличилась. Кому это выгодно: тому, кому будут платить, или тому, кто будет платить?

7. Найдите пять сумм в прошлом и в будущем, эквивалентных сумме 10 000 грн. в момент времени 0, при ставке процента 20,5%.

S5= (1+0,205)5-0*10 000 = 25 405 грн.

S4= (1+0,205)4-0*10 000 = 21 083 грн.

S3= (1+0,205)3-0*10 000 = 17 496 грн.

S2= (1+0,205)2-0*10 000 = 14 520 грн.

S1= (1+0,205)1-0*10 000 = 12 050 грн.

S-0= (1+0,205)0-0*10 000 = 10 000 грн.

S-1= (1+0,205)-1-0*10 000 = 8298 грн.

S-2= (1+0,205)-2-0*10 000 = 6886 грн.

S-3= (1+0,205)-3-0*10 000 = 5715 грн.

S-4= (1+0,205)-4-0*10 000 = 4742 грн.

S-5= (1+0,205)-5-0*10 000 = 3936 грн.

Ответ: 25405, 21 083, 17 496, 14 520, 12 050, 10 000, 8298, 6886, 5715, 4742, 3936 грн.

8. Вексель номиналом 10 000 учтен банком за 12с+40 дней срока погашения. Определить выкупную стоимость векселя, если учетная ставка равна 26% годовых

Дан номинал векселя Р = 10000, количество дней до срока погашения t = 76, учетная ставка i = 26% = 0,26.

S = P * (1 - i/360*t), где 360 - это временная годовая база.

S = 10000 * (1 - 0,26 / 360 * 76) = 9450 д. е.

Ответ: сумма полученная владельцем векселя 9450д. е.

9. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке дачи: 1) $5000 немедленно и затем по $1000 в течение 5 лет; 2) $8000 немедленно и по $300 в течение 5 лет. Какой вариант выгоднее для продавца при годовой ставке процента: а) 10,5% , б) 5%.

1000*(1+0,105)5 = 1647,44 + 5000 = 6 647,44$ - выгоднее

1000*(1+0,05)5 = 1276,28 + 5000 = 6 276, 28$

300*(1+0,05)5 = 382,88 + 800 = 8 382, 88$

300*(1+0,105)5 = 494,23 + 8000 = 8 494, 23$ - выгоднее

Ответ: при выплате 5000$ немедленно и затем 1000$ в течении 5 лет, при ставке 10,5% выгоднее и при выплате 8000$ немедленно и затем 300$ в течении 5 лет, при ставке 10,5% выгоднее.

10. Бизнесмен арендовал виллу за $10 000 в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 2.25% Решение. Эта выкупная цена есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна

Это в точности годовые процентные деньги, которые стал бы получать арендодатель с 444444,4, помещенных в банк под упомянутую процентную ставку.

11. Заем величиной 12000 грн. был взят под 10,5% годовых на 6 лет. Найти размеры ежегодных выплат при возвращении займа следующими способами:

-погашение долга одним платежом в конце срока;

По таблице мультиплицирующих множителей M(6;10,5) = 1,772 Значит искомый платеж равен:

R = 12 000*1,772 = 212,64 грн.

-погашение основного долга одним платежом в конце:

R = iD + D = 0,105 * 12 000 + 12 000 = 13260 грн.

-погашение основного долга равными годовыми выплатами:

R1 = D/n + + 0.105*12000 = 2000 + 1260 = 3260 грн.

R2 = D/n + i(D-D/n) = 12000/6 + 0.105*10000 = 2000 + 1050 = 3050 грн.

R3 = D/n + i(D-2D/n) = 12000/6 + 0.105*8000 = 2000 + 840 = 2840 грн.

R4 = D/n + i(D-3D/n) = 12000/6 + 0.105*6000 = 2000 + 630 = 2630 грн.

R5 = D/n + i(D-4D/n) = 12000/6 + 0.105*4000 = 2000 + 420 = 2420 грн.

R6 = D/n + i(D-5D/n) = 12000/6 + 0.105*2000 = 2000 + 210 = 2210 грн.

-погашение займа равными годовыми выплатами;

Из таблицы коэффициентов приведения ренты находим а(6;10,5) = 4,35526

Значит R = 12 000/4,35526 = 2755,289 грн.

-погашение потребительского кредита равными ежемесячными выплатами;

R = D*(1+ni)/nm = 12000 * (1 + 6 * 0,105) / 6*12 = 39120грн.

-формированием погасительного фонда по более (вдвое) высоким процентам и погашением долга одним платежом в конце:

Процентная ставка погасительного фонда в 2 раза больше, следовательно

Размер фонда должен составлять

S = D = (1+i)n = 12000*(1+0,105)6 = 12000*1,820 = 21840 грн.

Фонд представляет собой ренту, тогда S будет наращенная величина ренты. Из формулы наращенной величины найдем ежегодный платеж.

s(6,34) = ((1+0,34)6 - 1) / 0,34 = 14.086 R = 21840 / 14.086 = 1550,47 грн.

12.Задан инвестиционный проект: Inv = 40000 д.е., последующий годовой доход при 9% годовых равен R=10000, длительность проекта 7 лет. Найти характеристики инвестиционного проекта, то есть NPV, NFV, срок окупаемости (если проект окупается) и IRR.

Решение: Поток доходов есть конечная годовая рента с годовым платежом R, длительностью n лет. Современная величина этой ренты

где а(7;9) = 5,0329528. Значит приведенный чистый доход проекта есть

NPV = Inv + R* а(7,9) = - 40 000 + 10 000 * 5,0329528= 10329,528 грн.

d = NPV/ Inv = 10329,528/40 000 = 0,25 = 25%

Для нахождения внутренней доходности найдем такое g, что а (7,g) = 40 000/10 000 = 4; a(7,25) = 3,1611392 => g = 31%.

NFV = NPV*(1+i)tn = 10329,528 *(1+0,9)7 = 923327,315 грн.

Внутренняя норма доходности авансированного в проект капитала IRR = (10329,528/40 000)*100 = 25%.

13.Оборудование стоимостью 10000 д.е. арендуется сроком на 5 лет. Срок амортизации оборудования 8 лет. Рассчитайте ежегодный арендный платеж, если ставка равна 11% годовых.

Решение: Остаточная стоимость оборудования равна

S = P(1-nh) =>10 000*(1-5*0,08) = 6 000 д.е.

Следовательно годовой платеж

инфляция процент вексель заем

R = (P - S/(1+j)n) / a(n,j) = (10 000 - 6000/(1 + 0,11)5)/2,8034730 = 6439/2,8034730 = 2296,7940 д.е.

Ответ: ежегодный арендный платеж 2296,7940 д.е.

Подобные документы

Особенности расчета процентной ставки при сложном и простом проценте. Сроки выплаты кредита, взятого под простую ставку. Определение величины взноса при начислении процентов ежеквартально по ставке сложных процентов годовых для накопления заданной суммы.

контрольная работа [23,8 K], добавлен 29.10.2012

Расчет реальной процентной ставки по депозиту на основе имеющейся информации. Целесообразность размещения средств на депозит. Определение дохода и годовой доходности для продавца векселя и банка. Анализ нехватки или избытка денежных средств в экономике.

контрольная работа [42,0 K], добавлен 21.06.2010

Формула для определения простой ставки процентов по кредиту, компенсирующей ожидаемую инфляцию. Расчет ставки, которую использовал банк при учете векселя. Задача на определение суммы, которую получит владелец депозита, по окончанию срока договора.

контрольная работа [22,4 K], добавлен 19.04.2011

Определение уровня процентной ставки при осуществлении финансовых операций, размера долга для различных вариантов начисления процентов по кредитам. Расчет суммы, полученной владельцем векселя и величины дисконта, эквивалентной годовой учетной ставки.

контрольная работа [24,8 K], добавлен 15.10.2010

Срок удвоения капитала при начислении сложных процентов раз в год по процентной ставке. Схема начисления сложных процентов, сравнение эффективной и номинальной ставок. Определение ставки по кредиту с целью получения дохода с учетом темпа инфляции.

курсовая работа [465,6 K], добавлен 26.09.2011

Решение задачи на нахождение дохода вкладчика по заданной процентной ставке по вкладу, расчет приводится по Английской практике. Определение страхового процента и дохода по факторинговой операции. Составление графика выплаты лизинговых платежей.

задача [369,3 K], добавлен 12.05.2011

Процентная ставка как плата за кредит. Подходы по начислению и учету процентов по кредиту в банках. Методы начисления процента по размещенным и привлеченным средствам банка. Бухгалтерский учет операций по начислению и получению банком процентов.

Процентные и учетные ставки. Формула наращения сложных процентов. Математическое и банковское дисконтирование. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции. Уравнение эквивалентности консолидированного платежа. Пример расчета кредита аннуитетными платежами.

Рубрика	Финансы, деньги и налоги
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	27.02.2016
Размер файла	45,1 K

1. ПРОЦЕНТНЫЕ И УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
4. ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТОВ
5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК И СРЕДНИЕ СТАВКИ
6. РАСЧЕТ НАРАЩЕННЫХ СУММ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ
7. КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ
8. АННУИТЕТЫ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. ПРОЦЕНТНЫЕ И УЧЕТНЫЕ СТАВКИ

ЗАДАЧА. Сберегательный сертификат номиналом 10 тыс. руб. выдан на 120 дней с погашением в сумме 12 тыс. руб. За временную базу принять 360 дней. Определить: а) учетную ставку; б) процентную ставку.

Дано: t = 120 дней; k = 360 дней; Р = 10 тыс. руб.; S = 12 тыс. руб.;

Найти: i - ?; d - ?;

Решение:

а) формула наращения по простой учетной ставки:

- первоначальная сумма;

- сумма погашения;

- срок выдачи сертификата;

- временная база;

- учетная ставка.

Из формулы выразим учетную ставку

б) формула наращения по простой процентной ставки:

- процентная ставка;

Из формулы выразим процентную ставку

Ответ: простая учетная ставка составит 50 %, простая процентная ставка - 60 %.

ЗАДАЧА. Вклад размещен в банке на период с 20 июня по 15 сентября. Определить количество дней для начисления процентов при: а) германской; б) французской; в) английской практиках.

- дата размещения вклада;

- дата получения вклада;

- количество дней для начисления процентов;

Дано: tП = 20 июня; tВ = 15 сентября.

Найти: t - ?

Решение:

а) «германская практика» - обыкновенные проценты с приближенным числом дней. В этом случае год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом и временная база K = 360 дням.

20.06 - 30.06 - 11 дней

1.07. - 30.07. - 30 день

1.08. - 30.08. - 30 день

1.09. - 15.09. - 15 дней

Дата размещения и дата получения вклада считаются за один день.

б) «французская практика» - обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней. Продолжительность года k (временная база) равна 360 дням. Точное число дней t определяется путем подсчета числа дней между датой размещения и датой получения.

20.06 - 30.06 - 11 дней

1.07. - 31.07. - 31 день

1.08. - 31.08. - 31 день

1.09. - 15.09. - 15 дней

Дата размещения и дата получения вклада считаются за один день.

в) «английская практика» - точные проценты с точным числом дней. Величина t рассчитывается как в предыдущем случае, а временная база принимается равной k=365 (366) дням.

Ответ. Количество дней для начисления процентов исходя из английской практики определения процентов составит 87 дней; исходя из французской практики - 87 дней; из германской - 85 дней.

2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

ЗАДАЧА. Годовая ставка сложных процентов равна 8 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

Решение:

Формула наращения сложных процентов имеет вид:

- первоначальная сумма;

- наращенная сумма;

- сложная процентная ставка;

- период начисления (в годах);

Выразим из формулы период начисления n:

По условию сказано, что начальная сумма удвоится, т.е. S = 2P. Тогда

Ответ. Через 9 лет начальная сумма удвоиться при ставке сложных процентов равной 8%.

ЗАДАЧА. Вексель стоимостью 100 тыс. руб. учтен банком за 2 года до погашения по сложной ставке 30 % годовых. Какую сумму получит векселедержатель при использовании в расчетах сложной учетной ставки?

Дано: S = 100 тыс. руб.; dсл = 0,30; n = 2 года.

Найти: Р - ?

Решение:

Банковский учет по сложной учетной ставки производится по формуле:

- сумма, выплаченная по векселю;

- сумма векселя;

- сложная годовая учетная ставка;

- срок от момента учета векселя до даты погашения.

Ответ. Векселедержатель получит 49 тыс. руб.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ

ЗАДАЧА. Определить, какую сумму необходимо поместить на депозит, чтобы через 3 года владелец депозита получил 4 млн. руб. Применяемые процентные ставки: а) 8 % годовых; б) 12 % годовых.

Дано: n = 3 года; S = 4 млн. руб.; iсл(а) = 0,08; iсл(б) = 0,12;

Найти: Р - ?

Решение:

Формула математического дисконтирования по сложной процентной ставки имеет вид:

- первоначальная сумма вклада;

- наращенная сумма;

- сложная годовая процентная ставка;

- срок действия депозита в годах;

Ответ. При 8% процентной ставки поместить на депозит необходимо 3,175 млн. руб., при 12% - 2,847 млн. руб.

ЗАДАЧА. Вексель в сумме 4 тыс. руб. должен быть погашен через 80 дней с процентами 9 % годовых. Владелец учел его в банке за 10 дней до наступления срока по учетной ставке 12 %. Найти полученную после учета векселя сумму и величину дисконта.

Дано: Р2 = 4 тыс. руб.; i = 0,09; t1 = 80 дней.; t2 = 10 дней.; d = 0,12;

Найти: Р1 - ? D - ?

Решение:

Определим сумму полученную векселедержателем по формуле:

- сумма, получаемая при учете векселя;

- первоначальная сумма ссуды;

- простая годовая учетная ставка;

- простая годовая процентная ставка;

- общий срок платежного обязательства в днях;

- срок от момента учета векселя до даты погашения долга в днях;

- временная база.

Сумма, полученную векселедержателем:

Сумма дисконта D определяется по формуле:

S - наращенная сумма.

Ответ. Сумма, полученная после учета векселя составит 4,058 тыс. руб., а величина дисконта 0,014 тыс. руб.

4. ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТОВ

ЗАДАЧА. Облигация достоинством 5 тыс. руб. выпушена на 2 года при номинальной ставке 5 %. Рассчитать эффективную процентную ставку и определить наращенную стоимость по эффективной ставке, если начисление процентов производится один раз в квартал.

Дано: Р = 5 тыс. руб.; n = 2 года; j = 0,05; m = 4 раза.

Найти: iэф - ?; S - ?

Решение:

Номинальная ставка - годовая ставка процента, которая является базой для расчета ставки, начисляемой за каждый период года.

Формула наращения по номинальной ставке:

S - наращенная сумма;

P - первоначальная сумма;

j - номинальная годовая ставка сложных процентов;

m - число периодов начислений в год;

n - срок ссуды в годах.

Эффективная ставка - годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и начисление по номинальной ставке m раз в год.

Наращенные суммы и капиталы равны, тогда равны и коэффициенты наращения:

Ответ. Эффективная процентная ставка будет равна 5,1 %, а наращенная сумму составит - 5,522 тыс. руб.

ЗАДАЧА. В банк положена сумма 40 тыс. руб. сроком на 1 год по годовой ставке 15 % годовых. Найти наращенную сумму, величину полученного процента и эффективную ставку для ежеквартального начисления процентов.

Дано: Р = 40 тыс. руб.; n = 1 год; f = 0,15; m = 4 раза;

Найти: S - ?; I - ?; iэф - ?;

Решение:

Наращение по годовой номинальной ставки сложных процентов осуществляется по формуле:

- первоначальная сумма;

- наращенная сумма;

-годовая номинальная ставка сложных процентов;

- число начисления процентов;

Определим величину полученного процента I:

Формула наращения по годовой эффективной ставки сложных процентов имеет вид:

Наращенные суммы S и капиталы P равны, тогда равны будут и коэффициенты наращения

, отсюда

Ответ: наращенная сумма по годовой номинальной ставке сложных процентов составит 46,346 тыс. руб., величина полученного процента - 6,346 тыс. руб., а размер эффективной ставки будет равен 15,9 %.

5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК И СРЕДНИЕ СТАВКИ

ЗАДАЧА. Простая ставка - 50 %. Найти эквивалентную сложную ставку для двухлетнего периода.

Дано: i = 50%, n = 2 года.

Найти: iсл - ?

Решение:

Формулы наращенных сумм по простой ставке процентов и учетной ставке:

Наращенные суммы и капиталы равны, то есть S1 = S2 и P1 = P2. Тогда равны будут и коэффициенты наращения:

Ответ: размер ставки, которая приведет к аналогичному наращению исходной суммы равен 41,5 %.

ЗАДАЧА. Контракт предусматривает переменную по периодам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов: два, три и пять месяцев. Какой размер ставки приведет к аналогичному наращению исходной суммы?

Дано: i1 = 0,2; i2 = 0,22; i3 = 0,25; t1 = 2 мес.; t2 = 3 мес.; t3 = 5 мес.;

Найти: iср - ?

Решение:

Размер средней ставки простых процентов находится по формуле арифметической средней взвешенной:

Ответ: размер ставки, которая приведет к аналогичному наращению исходной суммы равен 23,1 %.

6. РАСЧЕТ НАРАЩЕННЫХ СУММ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ

ЗАДАЧА. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12 % реальная ставка оказалась 6 %.

Дано: б = 0,12; i = 0,06; Найти: iб - ?

Решение:

- безинфляционная ставка, отражающая реальную доходность операции;

- процентная ставка, учитывающая инфляцию

Тогда наращенная сумма S на первоначальный капитал P за год составит

S = P(1+ i) или S = P(1+i)(1+),

(1+ i) = (1+i)(1+)

i = i++i - формула Фишера.

Ответ: банк должен назначить ставку в размере 18,7%.

ЗАДАЧА. Капитал вкладывается на два года при уровне инфляции 30 % в год под номинальную ставку 15 %, начисление процентов ежегодное. Какова реальная доходность этой операции.

Дано:=0,15; б = 0,3; m = 1 раз; n = 2 года.

Найти: j - ?

Решение:Определим индекс инфляции Iи за рассматриваемый период n:

Нам нужно найти безинфляционную номинальную ставку сложных процентов, чтобы оценить реальную доходность операции. Из уравнения

Ответ: реальная доходность операции -0,115. Финансовая операция убыточна.

7. КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ

ЗАДАЧА. Предстоящие платежи и сроки уплаты, исчисленные от одной даты, равны: S1=1,2 млн. руб., n1=35 дн., S2=1,5 млн. руб., n2=55 дн, и S3=2,3 млн. руб., n3=75 дн, Достигнуто соглашение об объединении трех платежей в один, равный 5,5 млн. руб., используя для этого учетную ставку 7 %. Определить срок уплаты консолидированного платежа.

- сумма платежа j;

- сумма консолидированного платежа;

- срок уплаты платежа j в днях;

- срок уплаты консолидированного платежа;

- сложная годовая учетная ставка;

Дано: S1 = 1,2 млн. руб.; S2 = 1,5 млн. руб.; S3 = 2,3 млн. руб. n1 = 35 дней; n2 = 55 дней; n3 = 55 дней; So = 5,5 млн. руб; d = 0,07;

Найти: no - ?

Решение:

Запишем уравнение эквивалентности консолидированного платежа:

Решая уравнение относительно n0, получаем:

n0 = 535 дней.

Ответ: Срок уплаты консолидированного платежа будет равен 535 дней

ЗАДАЧА. По условиям договора г-н Смоленский должен выплатить г-ну Гусинскому 5 тыс. руб. сегодня и 3 тыс. руб. через 2 года. Г-н Смоленский предлагает изменить условия платежа следующим образом: вернуть 30 % совокупной выплаты через один год, а оставшуюся сумму - через следующие два года. Какими должны быть новые платежи, чтобы финансовые взаимоотношения сторон не изменились при использовании в расчетах сложной ставки 30 % годовых?

Решение: По условию даны изменения сроков платежей в сторону увеличения. Для решения данной задачи необходимо использовать уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенной к той же дате. За базовую дату принимаем сегодня.

S0 - совокупная выплата.

Тогда сумма первого платежа будет 0,3Ч18,33 = 5,50 тыс. руб., сумма второго платежа составит 0,7Ч18,33 = 12,83 тыс. руб.

Ответ: величина первой выплаты составит 5,5 тыс. руб., второй выплаты 12,83 тыс. руб.

8. АННУИТЕТЫ

ЗАДАЧА. Заем был взят под 16 % годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е. в течение двух лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 6 % годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть размер выплаты?

- наращенная сумма;

- размер отдельного платежа;

- число выплат в течение года;

- сложная годовая ставка процентов;

- срок ренты;

Решение:

Формула р-срочной ренты, когда проценты начисляются один раз в год имеет вид:

Рассчитаем наращенную сумму по ставке 16% в год:

По формуле математического дисконтирования определим текущую сумму долга:

Т.е. все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 3397,14 руб.

Из формулы определения современной величины ренты выразим размер отдельного платежа и рассчитаем его при начислении 6% годовых:

Ответ: размер выплаты составит 453,16 д.е.

ЗАДАЧА. В ходе судебного заседания выяснилось, что г.N недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с процентами (3 % ежемесячно). Какую сумму заплатит г.N?

- наращенная сумма;

- размер отдельного платежа;

- число выплат в течение года;

- сложная номинальная годовая ставка процентов;

- срок ренты;

- число начислений процентов в год.

Дано: R/p = 100 руб.; n = 2 года; j = 0,03; р = 12; m = 12 раз.

Найти: S - ?

Решение:

Формула р-срочной ренты, когда проценты начисляются m раз в году имеет вид:

Ответ: сумма выплаты составит 2470,28 руб.

ставка процент аннуитет

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 2007

2. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. - М.: ИНФРА-М, 2004. -335с.

3. Петрик Н.И., Жидкова Н.Ю. Финансовая математика. Методические указания к выполнению контрольной работы. - Архангельск: Изд-во РИО АГТУ, 2004. - 63 с.

Подобные документы

Современная величина обычной ренты. Определение процентной ставки финансовой ренты. Математическое и банковское дисконтирование. Эквивалентность процентных ставок и средних ставок. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции. Консолидация платежей.

контрольная работа [80,7 K], добавлен 28.11.2013

Расчет доходов банка при начислении простых и сложных процентов. Банковское дисконтирование при операции учета векселей. Понятие консолидации платежей, оценка аннуитета. Определение издержек магазина по запасам, средневзвешенная стоимость капитала.

контрольная работа [736,7 K], добавлен 30.04.2014

Формула определения современной ценности срочной финансовой ренты с начислением процентов. Методики начисления процентов по вкладам: декурсивный метод простых и сложных процентов, английская, немецкая и французская практики, их сравнительный анализ.

контрольная работа [29,4 K], добавлен 05.03.2009

задача [19,5 K], добавлен 14.11.2009

контрольная работа [27,6 K], добавлен 21.12.2013

Определение размера погасительного платежа при начислении процентов по простым, сложным процентным и учетным ставкам. Методы расчета ссуды по простым фиксированным процентным ставкам. Математическое дисконтирование при простой процентной ставке.

контрольная работа [27,9 K], добавлен 17.03.2014

Понятие простых и сложных процентов. Чистая и грязная цена облигации. Эффективная и номинальная процентные ставки. Процесс дисконтирования и метод приведенной стоимости. Доходность облигаций с учетом налогообложения. Определение доходности акции.

коэффициент приведения ренты равен

Вопрос 2. Принцип финансовой эквивалентности обязательств.

Вопрос 3. Каким образом учитывается инфляция при вычислении наращенной суммы?

Решая это уравнение относительно , получим

Вопрос 4. Как определяется эффективная ставка?

где – эффективная ставка. Отсюда получаем

Задача 1. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась равной 6%?

Решая это уравнение относительно , получим

Задача 2. Вы заключили депозитный контракт на сумму 90 000 на 4 года при 11% ставке. Если проценты начисляются ежегодно, какую сумму Вы получите по окончании контракта?

наращенная сумма – это первоначальная сумма с начисленными на эту сумму процентами. Введем следующие обозначения. Пусть

– сумма процентов за весь срок;

– общее количество периодов начисления (обычно в годах);

– первоначальная сумма;

– наращенная сумма;

– ставка процентов в виде десятичной дроби.

Величина называется множителем наращения по простым процентам.

Задача 3. После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию 30 000 в год. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 11% годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счету предприятия?

В общем виде формула наращения по сложным процентам запишется так:

S=30000(1+0,11) 5 =50551,74465

Задача 4. Провести детальный анализ ренты длительностью 4 года, годовым платежом = 90 000 . и переменной процентной ставкой: 5% во 2-м году, 8% — в 3-м, 10% — в 4-м году. Определить современную величину этой ренты?

Сначала определим приведенную величину платежей первого промежутка на начальный момент:

i1=0% (по условию за 1-й год)

Приведённая величина платежей второго промежутка на его начало (то есть на момент ):

Эта же величина, приведенная на начало всего срока (на нулевой момент):

*v₁ n1

Вычисляем приведённая величину платежей третьего, четвертого промежутка

приведённая величина платежей третьего промежутка

приведённая величина платежей четвертого промежутка

Задача 5. Вычислить - годичную ссуду покупки квартиры за A рублей с годовой ставкой процентов и начальным взносом процентов. Сделать расчет для ежемесячных и ежегодных выплат. =

Расчет провести для следующих данных: ; руб.;

Если задана современная величина ренты, то

Интервал между платежами у ренты равен , размер платежа .

Обозначим – коэффициент приведения -срочной ренты.

a_n=15,i=0,11=(1-(1+0,11) 15 )/(12((1+0,11) 0,0833 -1))=7,546579303

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также: