15 июня планируется взять кредит 1300 на 16 месяцев условия его возврата таковы

Обновлено: 29.04.2024

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 21. Задача 15.

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Решение. Пусть кредит берётся на n месяцев. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято хn рублей, нужно вернуть хn плюс проценты. Разница в 20% от суммы, взятой в кредит – это как раз проценты. Получаем равенство:

0,2xn=(xn+x(n-1)+x(n-2)+…+x)⋅0,01. Вынесем х из правой части равенства и разделим на х обе части равенства.

В скобках сумма арифметической прогрессии.

0,2n=(n+1)/2 ⋅ n ⋅ 0,01 → 0,2=(n+1)/2 ⋅ 0,01 → 20=(n+1)/2;

n+1=40 → n=39. Кредит берётся на 39 месяцев.

Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 22. Задача 15.

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Решение. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято 49х рублей, нужно вернуть 49х плюс проценты. Посчитаем проценты:

(49х+48х+47х+…+2х+х) ⋅ 0,01=(49х+х)/2 ⋅ 49 ⋅ 0,01=25х ⋅ 49 ⋅ 0,01=49х ⋅0,25.

Сумма всех выплат после полного погашения составит:

49х+49х ⋅ 0,25 = 1,25 ⋅ 49х = 5/4 ⋅ 49х или 2 млн рублей по условию. Нас интересует значение 49х.

Получаем 49х = 2 ⋅ 4/5 = 1,6 млн рублей. Ответ: 1,6.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 23. Задача 15.

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что долг был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.

1) В январе на эту сумму насчитают 15%, и долг составит 115% от S, т.е.

1,15S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.

Тогда долг составит 1,15S-1,587 млн рублей.

2) В январе на последнюю сумму насчитают 15% и долг составит 115% от последней суммы,

т.е. (1,15S-1,587) ⋅ 1,15 или 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15 млн рублей.

В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.

Тогда долг составит 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15-1,587 или

1,3225S-1,587 ⋅ 2,15 или 1,3225S-3,41205 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3225S-3,41205 = 0.

1,3225S = 3,41205 → S = 3,41205 : 1,3225 → S = 2,58 млн рублей было взято в банке.

Ответ: 2,58 млн рублей.

Примечание. Можно было применить формулу Sk 2 = X(k +1) .

У нас Х = 1,587 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,15 = 1,15.

Тогда S ⋅ 1,15 2 = 1,587(1,15+1); S ⋅ 1,15 2 = 1,587 ⋅ 2,15;

S ⋅ 1,3225 = 1,587 ⋅ 2,15; разделим обе части равенства на 1,3225.

S = 1,2 ⋅ 2,15 = 2,58. Итак, в банке было взято 2,58 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 24. Задача 15.

В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.

1) В январе на эту сумму насчитают 16%, и долг составит 116% от S, т.е.

1,16S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.

Тогда долг составит 1,16S-2,523 млн рублей.

2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 16% и долг составит 116% от последней суммы,

т.е. (1,16S-2,523) ⋅ 1,16 или 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16 млн рублей.

В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.

Тогда долг составит 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16-2,523 или

1,3456S-2,523 ⋅ 2,16 или 1,3456S-5,44968 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3456S-5,44968 = 0.

1,3456S = 5,44968 → S = 5,44968 : 1,3456 → S = 4,05 млн рублей было взято в банке.

Ответ: 4,05 млн рублей.

Примечание. Можно было применить формулу Sk 2 = X(k +1) .

У нас Х = 2,523 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,16 = 1,16.

Тогда S ⋅ 1,16 2 = 2,523(1,16+1); S ⋅ 1,16 2 = 2,523 ⋅ 2,16;

S ⋅ 1,3456 = 2,523 ⋅ 2,16; разделим обе части равенства на 1,3456.

S = 1,875 ⋅ 2,16 = 4,05. Итак, в банке было взято 4,05 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 29. Задача 15.

В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 3,249 млн рублей.

Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.

1) В январе на эту сумму насчитают 14%, и долг составит 114% от S, т.е.

1,14S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.

Тогда долг составит 1,14S-3,249 млн рублей.

2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 14% и долг составит 114% от последней суммы, т.е.

(1,14S-3,249) ⋅ 1,14 или 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14 млн рублей.

В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.

Тогда долг составит 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14-3,249 или

1,2996S-3,249 ⋅ 2,14 или 1,2996S-6,95286 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,2996S-6,95286 = 0.

1,2996S = 6,95286 → S = 6,95286 : 1,2996 → S = 5,35 млн рублей было взято в банке. Ответ: 5,35 млн рублей.

Примечание. Можно было применить формулу Sk 2 = X(k +1) .

У нас Х = 3,249 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,14 = 1,14.

Тогда S ⋅ 1,14 2 = 3,249(1,14+1); S ⋅ 1,14 2 = 3,249 ⋅ 2,14;

S ⋅ 1,2996 = 3,249 ⋅ 2,14; разделим обе части равенства на 1,2996.

S = 2,5 ⋅ 2,14 = 5,35. Итак, в банке было взято 5,35 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 25. Задача 15.

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на n+1 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 600-200=400 тысяч рублей, т.е. nХ=400.

Подсчитаем проценты за все (n+1) месяцев кредитования. Сумму, взятую в кредит запишем как nХ+200.

В скобках у нас сумма арифметической прогрессии. Здесь a₁ = nX+200; a_n = 200. Применим формулу S_n = (a₁+a_n)/2 ⋅ n.

(nX+200+200)/2 ⋅ (n+1) ⋅ 0,03 = (nX+400)(n+1) ⋅ 0,15. Так как nХ=400, то имеем

(400+400)(n+1) ⋅ 0,15 = 800(n+1) ⋅ 0,15 = 120(n+1). Такова сумма процентов за всё время кредитования. Переплата составит 852-600=252 тысячи рублей. Это как раз сумма выплаченных процентов. Получаем равенство:

120(n+1)=252, отсюда n+1=252:120;

n+1=21, тогда n=20. Ответ: 20.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 26. Задача 15.

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысячи рублей.

Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. У нас Х=40 тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 1000-200=800 тысяч рублей, т.е. nХ=800.

Отсюда n=800 : 40 = 20. Кредит собираются взять на 21 месяц.

Подсчитаем проценты за все 21 месяц кредитования. Сумму, взятую в кредит, запишем как 20Х+200.

В скобках у нас сумма арифметической прогрессии.

(20X+200+200)/2 ⋅ 21 ⋅ 0,01r = (10X+200) ⋅21 ⋅ 0,01r. Так как 20Х=800, то имеем

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 3. Задача 15.

По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 12 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».

Обозначим искомое число процентов через r.

Оформим рассуждения по условию задачи в виде таблицы.

Так как вклад «Б» будет менее выгоден, чем вклад «А», то справедливо неравенство:

1,12 2 ∙S + 1,12 2 ∙S ∙0,01r < 1,2 3 ∙S.

Разделим обе части неравенства на S.

r = 37 – наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».

Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 4. Задача 15.

По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 14 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».

Обозначим искомое число процентов через r.

Оформим рассуждения по условию задачи в виде таблицы.

Так как вклад «Б» будет менее выгоден, чем вклад «А», то справедливо неравенство:

1,14 2 ∙S + 1,14 2 ∙S ∙0,01r > 1,1 3 ∙S.

Разделим обе части неравенства на S.

1,14 2 ∙0,01r > 1,1 3 -1,14 2 ;

1,2996 ∙0,01r > 1,331 -1,2996;

1,2996 ∙0,01r > 0,0304;

r = 3 – наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 17. Задача 15.

Александр хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Александра не было денег на покупку акций, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Александр откладывает на покупку пакета акций одну и туже сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 30 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Александру каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

1-й месяц. Александр не смог купить акции за 100 тысяч рублей. Он отложил Х тысяч рублей

2-й месяц. Акции стоят 1,3 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Хтыс. рублей.

3-й месяц. Акции стоят 1,3 2 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

4-й месяц. Акции стоят 1,3 3 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Хтыс. рублей.

n-й месяц. Акции стоят 1,3 n -1 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

Итак, за n месяцев Александр отложил nХ тысяч рублей, и наконец, может купить акции, т.е.

Нужно найти минимальное целое значение n, при котором производная будет менять знак с минуса на плюс. Это значение n и будет точкой минимума функции

Производная отрицательна при n ∙ ln1,3 -1 < 0. Решаем неравенство:

Так как n – количество месяцев, то будем подбирать целое значение показателя степени так, чтобы знак неравенства поменялся.

Если n = 2, то 1,3 2 = 1,69 < e;

Если n = 3, то 1,3 3 = 2,197 < e;

Если n = 4, то 1,3 4 = 2,8561 > e.

Таким образом, производная X ’ (n) поменяет знак с минуса на плюс на промежутке, содержащем n = 4. Это наименьшее целое значение n, при котором функция

Это означает, что Александру достаточно было откладывать по 54925 рублей в течение четырёх месяцев, чтобы купить пакет акций быстрорастущей компании.

Ответ: 54925 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 18. Задача 15.

Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций, а пакет стоил 160 000 рублей. В середине каждого месяца Сергей откладывает на покупку пакета акций одну и туже сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Сергею каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

1-й месяц. Сергей не смог купить акции за 160 тысяч рублей. Он отложил Х тысяч рублей

2-й месяц. Акции стоят 1,25 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

3-й месяц. Акции стоят 1,25 2 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

4-й месяц. Акции стоят 1,25 3 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

n-й месяц. Акции стоят 1,25 n -1 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.

Итак, за n месяцев Александр отложил nХ тысяч рублей, и наконец, может купить акции, т.е.

Производная отрицательна при n ∙ ln1,25 -1 < 0. Решаем неравенство:

Если n = 2, то 1,25 2 = 1,5625 < e;

Если n = 3, то 1,25 3 ≈ 1,953 < e;

Если n = 4, то 1,25 4 ≈ 2,4 < e;

Если n = 5, то 1,25 5 ≈ 3,05 > e.

Таким образом, производная X ’ (n) поменяет знак с минуса на плюс на промежутке, содержащем n = 5. Это наименьшее целое значение n, при котором функция

Это означает, что Сергею достаточно было откладывать по 78125 рублей в течение пяти месяцев, чтобы купить пакет акций быстрорастущей компании.

Ответ: 78125 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 19. Задача 15.

Цена ценной бумаги на конец года вычисляется по формуле

S=1,1S_o + 2000, где S_o – цена этой ценной бумаги на начало года в рублях. Максим может приобрести ценную бумагу, а может положить деньги на банковский счёт, на котором сумма увеличивается за год на 12 %. В начале любого года Максим может продать бумагу и положить все вырученные деньги на банковский счёт, а также снять деньги с банковского счёта и купить ценную бумагу. В начале 2021 года у Максима было 80 тыс. рублей, которые он может положить на банковский счёт или может приобрести на них ценную бумагу. Какая наибольшая сумма может быть у Максима через четыре года? Ответ дайте в рублях.

По условию у Максима 80 тыс. рублей, которые он может или положить на счёт или купить ценную бумагу, т.е. S_o = 80 тыс. рублей.

Если в начале 2021 года Максим положит деньги на банковский счёт, то на конец года у него будет 1,12 S_o.

Запишем эту сумму в виде: 1,1S_o + 0,02S_o и сравним её с ценой ценной бумаги на конец года: 1,1S_o + 2000.

Итак, если в начале 2021 года Максим купит ценную бумагу, то на конец года у него будет 1,1 ∙ 80000 + 2000 = 90000 рублей. Оставить ценную бумагу или продать?

На конец 2022 года у Максима будет

1,1 ∙ 90000 + 2000 = 101000 рублей.

Оцениваем значение 0,02S_o = 0,02 ∙ 101000 = 2020 > 2000.

Следовательно, в начале 2023 года Максиму выгоднее продать ценную бумагу и положить деньги на банковский счёт.

На конец 2023 года у него может быть 1,12S_o = 1,12 ∙ 101000 = 113120 рублей.

На конец 2024 года у Максима может быть 1,12S_o = 1,12 ∙ 113120 = 126694,4 рублей.

Ответ: 126694,4 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 33. Задача 15.

15 июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 11-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.

За 15 месяцев банку заплатили 1300-100=1200 тысяч рублей основного долга,

что составляет 1200 : 15 = 80 тысяч рублей – сумму, на которую ежемесячно уменьшается долг.

Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1300 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 80 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:

1 месяц. 1300 ∙ 0,01r = 13r;

2 месяц (1300-80) ∙ 0,01r = 1220 ∙ 0,01r = 12,2r;

3 месяц (1220-80) ∙ 0,01r =1140 ∙ 0,01r = 11,4r;

4 месяц (1140-80) ∙ 0,01r =1060 ∙ 0,01r = 10,6r и так далее.

Заметим, что последовательность чисел 13r; 12,2r; 11,4r; 10,6r и т.д. представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом

а₁ = 13r и разностью d=-0,8r. Нам нужно найти сумму 15-ти членов этой арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой:

Итак, банку придётся отдать 1200 тысяч рублей плюс 111r тысяч рублей процентов за первые 15 месяцев и ещё за 16-й месяц долг 100 тысяч рублей плюс проценты с этой суммы, т.е. r % от 100 тысяч (это 0,01r ∙ 100 = r). Общая сумма выплат по условию равна 1636 тысяч рублей. Получим равенство:

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 34. Задача 15.

15 мая планируется взять кредит в банке на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 17-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1472 тысячи рублей?

Обозначим через Х сумму, которую нужно будет выплатить банку к 15-му числу 17-го месяца в счёт основного долга.

За 16 месяцев банку заплатят 16 ∙ 50 = 800 тысяч рублей основного долга.

Значит, 1472-800=672 тысячи рублей – это проценты за 16 месяцев,

а также за 17-й месяц сумма Х с процентами, т.е. Х+0,02Х=1,02Х.

Итак, взятая сумма кредита (800+Х) тысяч рублей, и нам надо подсчитать проценты с этой суммы за первые 16 месяцев кредитования.

Рассуждаем: в первый месяц банк начислит 2 % на сумму (800+Х), во второй месяц 2 % на сумму (750+Х), затем на (700+Х), на (650+х) и т.д. А в 16-й месяц кредитования банк начислит 2 % на сумму (50+Х) тысяч рублей.

Таким образом, нам надо найти значение выражения:

Сумма в скобках – это сумма арифметической прогрессии с первым членом

Это проценты за первые 16 месяцев кредитования.

Итак, получим равенство:

За 17 месяц в счёт основного долга нужно выплатить 400 тысяч рублей. Тогда в кредит планируется взять 800+400=1200 тысяч рублей.

Ответ: 1 200 000 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 36. Задача 15.

31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

I способ решения. Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных выплат, равных X₁, X₂, X₃, …, X_n, осуществленных после начисления r% по вкладу, то применяем формулу:

Кредит Михаила S полностью погашается за 4 платежа по 2928200 рублей каждый, после начисления r = 10% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга. Таким образом, так как X₁=X₂=X₃=X₄=2928200, получаем сумму взятого кредита:

Окончательно S = 2000000 ∙ 4,641 = 9282000 рублей.

II способ решения (традиционный).

Пусть Михаил взял в банке S рублей.

1) Банк начислил на эту сумму 10% и долг составил 1,1S рублей. Михаил выплатил 2928200 рублей. Долг составил (1,1S-2928200) рублей.

2) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1S-2928200) рублей. Михаил выплатил 2928200 рублей. Долг составил (1,1(1,1S-2928200)-2928200) рублей.

3) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1(1,1S-2928200)-2928200) рублей. Михаил выплатил 2928200 рублей.

Долг составил (1,1(1,1(1,1S-2928200)-2928200)-2928200) рублей.

4) Банк начислил 10% и долг составил

1,1(1,1(1,1(1,1S-2928200)-2928200)-2928200). Банк выплатил 2928200 рублей, и долг был полностью погашен. Составим равенство:

1,1 4 ⋅ S-1,1 3 ⋅2928200-1,1 2 ⋅2928200-1,1⋅2928200-2928200=0;

Примечание. Если обозначить 2 928 200 рублей через Х, то записи решения были бы короче.

Итак, обозначим каждый из четырёх ежегодных платежей через Х.

Пусть Х=2928200 рублей, а взял Михаил в банке S рублей.

1) Банк начислил на эту сумму 10% и долг составил 1,1S. Михаил выплатил Х рублей. Долг составил 1,1S-Х.

2) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1S-Х)=1,1 2 ∙ S-1,1X. Михаил выплатил X. Долг составил 1,1 2 ∙ S-1,1X-X.

3) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1 2 ∙S-1,1X-X)=1,1 3 ∙S-1,1 2 X-1,1X. Михаил выплатил X рублей.

Долг составил 1,1 3 ∙S-1,1 2 X-1,1X-X.

4) Банк начислил 10% и долг составил

1,1(1,1 3 ∙S-1,1 2 X-1,1X-X)=1,1 4 ∙S-1,1 3 X-1,1 2 X-1,1X.

Банк выплатил X, и долг был полностью погашен. Получаем равенство:

1,1 4 ∙S-1,1 3 X-1,1 2 X-1,1X-Х=0.

1,1 4 ∙S=1,1 3 X+1,1 2 X+1,1X+Х=0;

S=4,641X :1,4641. Так как Х=2928200, то

Ответ: 9 282 000.

Ниже простые и очень полезные формулы:

k 2 ⋅ S = (k +1) ⋅ Х . ( I**)

k 3 ⋅ S = (k 2 + k + 1) ⋅ Х. ( II**)

k 4 ⋅ S = (k 3 + k 2 + k + 1) ⋅ Х. ( III**)

Здесь: S – сумма кредита, выданная банком под r%, которая полностью погашается платежами по Х рублей каждый. Значение k=1+0,01r. Показатель степени с основанием k – это количество платежей по Х рублей.

Задание 17. 15-го января планируется взять кредит в банке на 8 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Обозначим через сумму кредита, взятого в банке. В первый месяц она увеличивается на 2% и становится равной . После этого делается платеж такой, чтобы долг был равен (равномерно уменьшался), получаем сумму платежа:

В следующий месяц сумма увеличивается до и сумма платежа составляет (чтобы осталось ):

Таким образом, за все 8 месяцев сумма выплат составит

То есть сумма выплат составляет 109% от исходного размера кредита.

Задание 17. 15-го июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

Начальная сумма кредита составляет S = 1300 тыс. рублей. В течение 15 месяцев она равномерно уменьшается до M = 100 тыс. рублей. Без учета процентов ежемесячные выплаты составят:

тыс. рублей.

Получаем последовательность из 15 чисел:

1300, 1220, 1140, 1060, …, 100.

Так как каждый месяц начисляются проценты, то реальные выплаты увеличиваются на величину этих процентов:

Получаем сумму выплат за первые 15 месяцев:

Далее, добавляем сумму M и проценты за 1 месяц, получаем общую сумму выплат:

Имеем значение процента по кредиту в 3%.

Задание 17. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн рублей.

Обозначим размер кредита через S. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает по 0,2S. Всего 0,4S за два года.

Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 3-го года долг возрастёт до 1,2S. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 3-го и 4-го годов. После выплаты в конце 3-го года долг равен l,2S-x, а в середине 4-го года он равен 1,2(1,2S - х). В конце 4-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна l,2(l,2S-x) и по условию равна х. Значит,

и общий размер выплат равен

Видим, что при S=5 это неравенство верно, а при S=4 оно неверно, равно как и при меньших значениях S. То есть, кредит составил 5 млн. рублей.

Ответ: 5 000 000.

Задание 17. 15-го марта планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тысячи рублей?

Обозначим через S исходную сумму кредита. В течение первого месяца эта сумма возрастает на 3%, становится равной S+0,03S. Выплату нужно сделать так, чтобы исходная сумма S уменьшилась на 40 тыс. рублей, то есть, нужно выплатить

0,03S+40 тыс. рублей.

Оставшаяся сумма S-40 в следующем месяце снова увеличивается на 3%, становится равной и следует выплатить

тыс. рублей.

Таким образом, в течение 25-ти месяцев сумма выплат составит:

В последний 26-й месяц выплачивается остаток . В сумме имеем:

Алгоритм решения задачи подобного типа выглядит следующим образом: Делаем выборку величин выплат по таблице условия. Определяем величину долга после начисления процентов. Определяем сумму выплат за весь период или выплаты конкретного периода. Решаем уравнения или неравенства по условию задачи. Разберем задачи подобного типа.

1. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга
– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Долг (в млн рублей)

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

1) Условия выплаты долга по годам до полного погашения:

2) Если , тогда долг ежегодный будет:

1,2* S 1,2*0,8S 1,2*0,4S

3) Тогда выплаты будут составлять

1,2* S - 0,8S = 0,4S 1,2*0,8S - 0,4S = 0,56S 1,2*0,4S = 0,48S

Каждая выплата по условию задачи не превосходит 5 млн, значит получаем

Решением неравенства будет целое число 8.

Ответ: Кредит нужно взять в сумме 8 млн рублей.

2. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Долг (в млн рублей)

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

1) Условия выплаты долга:

1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0

2) Если , тогда долг каждый месяц будет составлять:

k 0,6k 0,4k 0,3k 0,2k 0,1k

3) Выплаты долга по месяцам будут:

k – 0,6 0,6k – 0,4 0,4k – 0,3 0,3k – 0,2 0,2k – 0,1 0,1k

4) Сумма всех выплат будет:

k + 0,6k + 0,4k + 0,3k + 0,2k + 0,1k - 0,6 - 0,4 - 0,3 - 0,2 - 0,1 = k(1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) – (0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) = 2,6k - 1,6. Общая сумма выплат по условию должна быть меньше 1,2 млн рублей. Тогда получим 2,6k – 1,6 Решаем неравенство

Ответ: Наибольшее целое число удовлетворяющее неравенству есть число 7. Значит r = 7%.

Выплата долга равными платежами

1. В августе 2017 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r%;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.

Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 38 016 рублей, или за два года равными платежами по 52 416 рублей.

Пусть S величина кредита, - ежемесячны проценты на кредит, x – платеж за три года равными платежами, y - платеж за два года равными платежами. Тогда погашение долга в случае трех лет будет выглядеть так:

S kS – x k 2 S –kx – x k 3 S – k 2 x – kx – x = 0

Если за два года:

S kS – y k 2 S –ky – y =0

Получаем систему уравнений и решаем её

Найдем значение , .

Решим квадратное уравнение:

Выбираем положительное значение корня.

1. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Пусть S – сумма кредита, - часть долга выплачиваемая каждый раз при погашении, кредит и проценты на кредит.

Долг на 15 –е число каждого месяца:

S S - S - 2 S - 3 S - 4 ……….. S – (n-2) S – (n-1) S - n =0

Долг на 1 –е число каждого месяца:

kS k(S - ) k(S - 2) k(S - 3 ) k(S - 4)…… k(S – (n-2) ) k(S – (n-1) )

Процедура похожая на погашение долга по условию в таблице

Выполним этот процесс для данной задачи и получим сумму выплат за все время при n = 21.

Подставим данные из условия

Ответ: В кредит планируется взять 1100 тыс рублей.

Задачи на кредиты и вклады различные

1. Инна Николаевна получила кредит в банке под определенный процент годовых. В конце первого и второго года в счет погашения кредита она возвращала в банк1/9 от всей суммы, которую она должна была банку к этому времени. В конце третьего года в счет полного погашения кредита Инна Николаевна внесла в банк сумму, которая на 12,5% превышала величину полученного кредита. Какой процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Пусть S сумма всего кредита, Sk=S(1+0,01r) долг после начисления процентов по кредиту. После выплаты за первый год долг будет Sk – 1/9 Sk = 8/9Sk. После начисления процентов долг составит 8/9Sk 2 . После выплаты за второй год долг будет 8/9Sk 2 – 8/81Sk 2 = 64/81Sk 2 . После начисления процентов долг составит 64/81Sk 3 и он составит (1+0,125)S. Получаем уравнение 64/81Sk 3 = (1+0,125)S  k 3 =1,125*81/64  k 3 = 3,375*27/64  k=1,5*3/4 = 1,125. 1+0,01r = 1,125, r = 12,5.

2. Ангелина Денисовна Курбанова открыла вклад в банке на 1 млн рублей сроком на 3 года. В конце каждого года на сумму лежащую в банке начисляется 20%. В конце каждого из первых 2-х лет (после начисления процентов) Ангелина Денисовна снимает одинаковую сумму. Эта сумма должна быть такой, чтобы через 3 года после начисления процентов на 3-й год у нее на счету было не менее 1,1 млн рублей. Какую максимальную сумму она может снимать? Ответ округлите до целой тысячи рублей в меньшую сторону.

Решение: Первоначальная величина вклада S = 1 млн рублей, после начисления процентов за первый год величина вклада будет , где r = 20. После первого года снимается сумма X, остаток будет . После начисления процентов сумма станет , а после нового снятия . Тогда за третий год сумма станет и с нее уже ничего не снимается, и она должна быть не меньше 1,1 млн рублей. Решаем неравенство

Задачи для подготовки к ЕГЭ экономического содержания. Профильный уровень.

Просмотр содержимого документа
«Задания № 17. ЕГЭ (профиль)»

Задание 17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Взятый в первый год кредит в сумме 16 млн рублей, на следующий год сначала увеличивается на 25%, т.е. становится равный млн рублей, а затем, идет погашение таким образом, чтобы выплаты были равными каждый год. Предположим, что долг выплачивается лет, тогда после первого года выплата составит и сумма долга будет равна