Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев

Обновлено: 07.05.2024

Встречаются задачи, в которых долг по кредиту уменьшается неравномерно, а убывает согласно данным, представленным в таблице.

Задачи для разбора взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитываем разницу между общей суммой выплат и суммой самого кредита

15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

При решении данной задачи воспользуемся советами, данными в прошлой статье «Проценты по кредиту с равными платежами».

Учитываем, что общая сумма выплат будет превышать сумму кредита за счёт начисленных и уплаченных процентов.

I способ — решим задачу в общем виде, приняв за сумму кредита S руб. р = 5% = 0,05,

Представим решение в виде таблицы.

Долг с начисленными процентами, руб.	Выплата, руб.	Остаток долга, руб.	Остаток долга, %
Февраль	Sr	Sr — 0,9S	0,9S	90%
Март	0,9Sr	0,9Sr — 0,8S	0,8S	80%
Апрель	0,8Sr	0,8Sr — 0,7S	0,7S	70%
Май	0,7Sr	0,7Sr — 0,6S	0,6S	60%
Июнь	0,6Sr	0,6S r — 0,5S	0,5S	50%
Июль	0,5Sr	0,5Sr	0	0%

Общая сумма выплат составит:

Общая сумма выплат от суммы кредита:

Следовательно, переплата равна 22,5%.

II способ — используем частный случай.

Пусть сумма кредита равна 100 руб.

Долг с начисленными процентами, руб.	Выплата, руб.	Остаток долга, руб.	Остаток долга, %
Февраль	100 * 1,05 = 105	105 — 90 = 15	90	90%
Март	90 * 1,05 = 94,5	94,5 — 80 = 14,5	80	80%
Апрель	80 * 1,05 = 84	84 — 70 = 14	70	70%
Май	70 * 1,05 = 73,5	73,5 — 60 = 13,5	60	60%
Июнь	60 * 1,05 = 66,3	66,3 — 50 = 13	50	50%
Июль	50 * 1,05 = 52,5	52,5	0	0%

Общая сумма выплат:

Следовательно, переплата равна 22,5%.

Задача 2. Рассчитываем наибольшее значение процентов, при котором общая сумма выплат будет меньше заданного числа

15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб.

Выплата, млн руб.

Остаток долга, млн руб.

Обратите внимание! Ежемесячная выплата рассчитывается как разность между долгом на начало месяца и остатком долга. Следовательно, третий столбец заполняется в последнюю очередь.

Общая суммы выплат:

Обратите внимание! Вычисление следует производить до тысячных.

По условию задачи, r — целое число, следовательно, r = 7%.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Задание 15 № 509980

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Пусть начальная сумма кредита равна S₀, тогда переплата за первый месяц равна По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной S₀/14, и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:

По условию общая сумма выплат на 15% больше суммы, взятой в кредит, тогда:

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

В условиях нашей задачи получаем: откуда для n = 14 находим r = 2.

Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 14 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Пётр взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Пётр должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Пётр погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что общая сумма, выплаченная Петром банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S – сумма кредита.

n = 12 месяцев.

r – процентная ставка;

р = r/100.

у – сумма, на которую уменьшается долг каждый месяц.

Заполним таблицу (см. выше).

В выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
Общая сумма выплат составляется из суммы, взятой в кредит, и суммы начисленных процентов за каждый месяц кредитования. Значит, общая сумма выплат больше суммы S, взятой в кредит, ровно на столько, сколько в сумме составляют начисленные проценты за весь срок кредитования. Известно, что эта сумма больше суммы S, взятой в кредит, на 13 %.

из которой следует, что

Значит, сумма начисленных процентов как раз и составляет 13 % от суммы S.

Найдём сумму начисленных процентов:

р S + p (S – у) + p (S – 2у) + … + p (S – 11у) =

= р ∙ (S + S – у + S – 2у + … + S – 11у) =

= р ∙ (12∙S – ( у + 2у + … + 11у)) =

в скобках представлена сумма 11-ти первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен 11у.

= р ∙ (12∙S – 5,5 ∙ 12у) = р ∙ (12∙ S – 5,5 ∙ S) = 6,5 ∙ pS.

Поскольку сумма начисленных процентов составляет 13 % от суммы S, то

Обе части этого уравнения разделим на S (это можно сделать, так как S ≠ 0):

Ответ: 2 %.

Оставьте свой комментарий

40%

Автор в друзьях: 17

У автора в друзьях: 6

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«ХАССП — вся правда. Как не отравить школьника за завтраком или обедом?»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

«Дифференцированные проценты»

Что такое «дифференцированные проценты»?

Выплаты долга происходит следующим образом: весь долг делится на время выплаты (количество лет или месяцев) и равными частями выплачивается ежегодно( ежемесячно), отдельно вычисляется сумма выплаты за %--для этого оставшуюся сумму долга от предыдущего месяца ( года) умножают на оговоренный % кредита.

Например: Кредит 1000000 рублей на 10 лет под 5% годовых. Значит, каждый год выплачиваем по 1000000:10=100000 руб, отдельно вычисляем % следующим образом: первый год % платим со всей суммы кредита 1000000*0,05=5000 руб.; второй год платим % на оставшуюся сумму долга 900000*0,05=4500 рублей и так каждый год до погашения кредита

Рассмотрим решение и оформление таких задач.

№1.15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия возврата таковы:1-ого числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-ого по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь период кредитования на 39% больше суммы взятого кредита. Найти r %.

Пусть сумма кредита равна А, взята на 25 месяцев под r % в месяц.

В итоге выплатим А+0,39А. Оформим выплаты долга и процентов в виде таблицы:

Посчитаем выплату процентов

0,01 r А(1+24/25+23/25+…+1/25) = 0,39 A

Значение выражения, записанного в скобках, найдём по формуле суммы арифметической прогрессии.

0,01 rA *13 = 0,39 A

№2 . 15 - ого января планируется взять кредит на 18 месяцев. Условия его таковы: 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-ого по 14 – е число выплачивается часть долга, ее сумма одинаковая в течении всего периода кредитования. Сколько % от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?(119)

№3 . 15 –ого января берем кредит на 5 месяцев. Условия его возврата таковы : 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; в течении месяца необходимо выплатить часть долга- эта сумма одинакова каждый месяц. Сколько % от суммы кредита составили выплаты %?(3)

№4. Взят кредит на 9 месяцев под дифференцированные проценты. Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку на 15% больше, чем сумма взятого кредита. Найти % кредитования.(3)

№5. На 24 месяца взят кредит на сумму 2,4 млн. рублей под 2% ежемесячных дифференцированных выплат. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?(1356000)

№6. На 24 месяца взят кредит в сумме 2,4 млн. рублей под 3% ежемесячных дифференцированных выплат. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?(1866000)

№7. На 15 месяцев под 1% дифференцированных отчислений взят кредит. Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку за весь срок кредитования?

Пусть А-кредит, n = 15 месяцев, r =1%.

А*0,01*

Восьмая выплата по условию равна 108.000 рублей

+ * =

= 108.000

= 1000

№8. В банке на 24 месяца взят кредит под дифференцированные выплаты в 1%. Известно, что за последние 12 месяцев будет выплачено 1597,5 тыс. рублей. Какую сумму взяли в кредит?(3000000)

№9. В банке на 24 месяца взят кредит под дифференцированные выплаты в 1%.Известно, что за первые 12 месяцев внесено 177,75 тыс. рублей. Какая сумма взята в кредит?(300000)

№10 . В банке на 15 месяцев взят кредит под дифференцированные выплаты в 3%. Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму вернут банку за весь срок?(1488000)

№11. На 24 месяца под 1% в месяц (выплаты дифференцированные) взят кредит. Известно, что за второй год необходимо внести 958,5 тыс. рублей. Какую сумму надо внести за первый год?(1066500)

№12. На 24 месяца под 2% в месяц под дифференцированные выплаты в банке взят кредит. Известно, что за первый год необходимо внести 2466 тыс. рублей. Какую сумму внесут за второй год кредитования?(2034000)

№13. В банке под дифференцированные выплаты взят кредит 28млн. рублей под 25% годовых. Известно, что наибольшая выплата составила 9 млн. рублей. Найти общую сумму выплат.(80,5)

№14 . В банке под 1,2% в месяц на 24 месяца взят кредит при условии выплат дифференцированными платежами ( выплаты кредита все одинаковые, а выплаты % по кредиту уменьшаются ежемесячно после очередного взноса. Какую сумму взяли в кредит, если выплатили 1,035млн. рублей.(900000)

№15. 15 января планируется взять кредит на 39 месяцев. Условия возврата таковы:1-ого числа долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-ое по 14-ое число вносится часть долга ( всегда одинаковая) и т. д. Известно, что общая сумма выплат после погашения кредита превысила взятый кредит на 20%.Найти r %.(1)

№16 . Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.(18)

№17 . Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r. %(1)

№18 . В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же суммы меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r , если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей.

Наибольший платёж - это первый платёж и он, по условию, не более 1,4 млн. рублей.

+ 4,5 * 0,01 r = 0,5 + 0,045 r

Наименьший платёж – это последний и он, по условию, не менее 0,6 млн. рублей.

Один из типов экономических задач — это задачи на платежи с равномерно убывающим долгом. Каждый месяц (период) основной долг уменьшается на одинаковую сумму. Ежемесячный платёж будет состоять из суммы основного долга и суммы начисленных процентов на остаток долга.

В этом случае мы имеем дело с дифференцированными платежами.

Внимание: в задачах этого типа применяется формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Задачи для разбора берутся из вариантов ЕГЭ прошлых лет, размещённых на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитать сумму кредита

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту после полного его погашения составила 2 млн руб. (никакие округления при вычислении платежей не производятся)?

S тыс. руб. — сумма кредита,

2 млн руб. = 2000 тыс. руб.,

X тыс. руб. — ежемесячная выплата основного долга.

Суммы ежемесячного долга: S; (S — X); (S — 2 * X . S — 47 * X); (S — 48 * X); 0

S * p; (S — X) * p; (S — 2 * X) * p . (S — 47 * X) * p; (S — 48 * X) * p; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 49 * p — 24 * p) = 2000

S * (1 + 25 * 0,01) = 2000

S = 1600 тыс. руб., или 1,6 млн руб.

Ответ: 1,6 млн руб.

Задача 2. Рассчитать сумму кредита

15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,604 млн руб. (1604 тыс. руб.)?

Задача отличается от предыдущей — выплаты по основному долгу (30 тыс. руб.) осуществляются только первые 20 месяцев, а значит, в последний месяц выплата будет иной.

S тыс. руб. — сумма кредита

Суммы ежемесячного долга: S; (S — 30); (S — 60. S — 570); (S — 600); 0

Начисленные проценты: S * р; (S — 30) * р; (S — 60) * р. (S — 570) * р; (S — 600) * р; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 21 * 0,03) — 0,03 * 6300 = 1604

1,63 * S — 189 = 1604

1,63 * S = 1604 + 189

S = 1100 тыс. руб., или 1,1 млн руб.

Ответ: 1,1 млн руб.

Задача 3. Рассчитать, на сколько месяцев планируется взять кредит

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его выплаты таковы:

1-го числа n-ого месяца долг возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?