В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок

Обновлено: 28.04.2024

Приветствую! Меня зовут Александр Георгиевич. Я - репетитор по математике, информатике, программированию, алгоритмам и базам данных. Уже свыше 10 лет провожу подготовку школьников к рубежным экзамена ОГЭ/ЕГЭ по математике/информатике.

Для своих потенциальных клиентов я разработал многофакторную систему, которая позволит вам подобрать стоимость частных уроков, учитывая все ваши пожелания и ограничения.

Также настоятельно рекомендую вам потратить буквально пару минут собственного времени и познакомиться с отзывами школьников/студентов, занимающихся под моим началом. Все они достигли положительных результатов. Думаю, что у вас тоже получится!

На официальном экзамене ЕГЭ по математике в обязательном порядке придется столкнуться с задачей из экономического блока, поэтому, если у вас имеются какие-либо трудности с финансовыми задачами, то берите в руки мобильный телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок.

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил $1.8$ миллиона рублей?

Решение задачи

Во-первых, прочитав внимательно несколько раз условие задачи, нужно понять, к какому типу кредитования относится эта задача. Очевидно, что речь идет про кредит, который будет выплачиваться дифференцируемыми платежами. Главный маркер, на основании которого можно сделать такой вывод, заключен в этом предложении: "В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года".

Во-вторых, если вы достаточно плохо знаете схему дифференцированных платежей, часто путаетесь в ней, то в обязательном порядке познакомьтесь с моей информационной статьей, в которой детализировано изложен принцип работы дифференцированных платежей, а также построена математическая модель данной схемы. Обязательно прочтите и вы моментально станете сильнее в этой области!

Давайте введем следующие обозначения:

$S$ - размер первоначального кредита	$r$ - процентная ставка банка, выраженная в долях	$R = 1 + r$ - для удобства расчетов
$n$ - общее количество отчетных периодов	$i$ - номер текущего отчетного периода	$\%_$ - размер начисленных банком процентов за конкретный период
$p_$ - размер платежа за конкретный период	$P$ - общая сумма всех выплат/платежей	$q$ - ставка банка, выраженная в процентах

Сразу хочу заметить, что не все обозначенные переменные нам пригодятся в процессе решении задачи, но точно большая часть из них.

Из условия вытекает, что:

$S = 6$, млн. рублей

$q = 20\%$

$r = \frac = \frac = 0.2$

$i = 1$

Наша задача определить $n$, то есть количество отчетных периодов, и, что немаловажно, это значение должно быть минимальным!

На данный момент, пользуясь только этой информацией, решить задачу в принципе невозможно, но на помощь приходит важнейшее ограничение, а именно: "наибольший годовой платеж по кредиту не превысил $1.8$ миллиона рублей". Сейчас все встало на свои места.

Если вы хорошо понимаете модель дифференцируемых платежей, то помните о том, что в данной модели наибольшим платежом является самый $1$-ый платеж. Также, в качестве справочной информации, напомню, что наименьшим по размеру является последний платеж.

В ограничении говорится, что платеж не превысил некоторое значение, это задает нестрогое неравенство, но(!), поскольку нам нужно минимизировать количество отчетных периодов, то необходимо стремиться, как можно быстрее закрыть кредит, а для этого нужно выплачивать транши максимального размера. Следовательно, принимаем, что самый $1$-ый платеж составляет ровно $1.8$ миллионов рублей.

Перед тем, как осуществить первую выплату $(i = 1)$, банк начисляет проценты на текущее тело кредита.

$\%_ = S * r$ - сумма начисленных процентов, млн.рублей.

Сейчас нам нужно понять, чему равна одна часть первоначального кредита. Поскольку в модели дифференцируемых платежей тело кредита уменьшается равномерно, значит одна часть> = $\frac$ или $=\frac * S$.

Соберем все составляющие воедино и запишем формулу, по которой можно получить размер $1$-го платежа:

$p_ = \%_ + \frac = S * r + \frac = S * (r + \frac)$.

Чуть выше мы уже доказали, чему должен быть равен $1$-й платеж, поэтому составим и решим следующее уравнение:

Готово! Ответ получен! Чтобы соответствовать всем условиям и ограничениям, озвученным в условии задачи, необходимо взять кредит сроком, ровно на $10$ лет.

На своих частных уроках, совместно с учеником, мы проводим верификацию полученных результатов, посредством математического процессора "MS Excel". Это позволяет убедиться в правильности полученного решения, а также лишний раз проанализировать математические выкладки, участвующие в процессе дифференцируемых платежей. Это очень полезное занятие!

Сформированная в MS Excel таблица, доказывает правильность нашего алгебраического решения.

Ответ: 10.

Выводы

Некоторые задачи на модель дифференцируемых платежей можно решить буквально за $1-2$ минуты, если фундаментально понимать математическую модель этого типа платежей.

Обращайте особое внимание на ограничения в условии задачи, так как именно они позволяют резко упростить математические выкладки. И, как правило, решение становится предельно простым и быстро получаемым.

Зазубрите свойства схемы дифференцированных платежей. Это позволит вам почти моментально определять вектор последующего математического решения. В данном примере мы использовали свойство дифференцированных выплат, проявляющееся в том, что самый $1$-й платеж является и самым наибольшим.

Старайтесь решать экономические задачи алгебраическим способом, когда нужно сформировать какие-либо уравнения/неравенства, а не арифметическим. Арифметический способ решения требует наличия громоздких вычислений, и, как правило, является крайне времязатратным.

И, пожалуй, одно из главных - нужно любить математику.

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

В данном разделе я приведу лишь условия некоторого количества задач, которые наиболее часто встречаются на официальном экзамене ЕГЭ по математике. В каждой из задач акцентировано внимание на модели дифференцируемого платежа, и только на нем.

А ведь существует масса комбинированных финансовых задач, в процессе решения которых дифференцируемый платеж занимает лишь какую-то часть решения. Все подобные задачи я разбираю со своими учениками на индивидуальных занятиях.

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму $10$ миллионов рублей на $5$ лет.
Условия его возврата таковы:

Каждый декабрь долг возрастает на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Пример №2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил $1.8$ миллиона рублей?

Пример №3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $20$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $47$ миллионов рублей?

Пример №4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $16$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $38$ миллионов рублей?

Пример №5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на срок $15$ лет.
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $q\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти $q$, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более $1.9$ миллиона рублей, а наименьший не менее $0.5$ миллиона рублей.

Пример №6

$15$ января планируется взять кредит в банке на $39$ месяцев.
Условия его возврата таковы:

$1-го$ числа каждого месяца долг возрастает на $q\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.

Со $2-го$ по $14-е$ число месяца необходимо выплатить часть долга.

$15-го$ числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15-е$ число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на $20\%$ больше суммы, взятой в кредит. Найдите $q$.

Пример №7

Анатолий взял банковский кредит сроком на $9$ лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на $17\%$, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Пример №8

Анна взяла кредит в банке на срок $12$ месяцев ($1$ календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется $q\%$ этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на $13\%$ больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть $q$.

Пример №9

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $28$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит $9$ миллионов рублей?

Пример №10

$15$ января планируется взять кредит в банке на $15$ месяцев.
Условия его возврата таковы:

$1-го$ числа каждого месяца долг возрастает на $1\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.

Со $2-го$ по $14-е$ число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

$15-го$ числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15-е$ число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила $108\,000$ рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Не удивляйтесь, но приведенные задачи решаются достаточно легко, если у вас присутствует детальнейшее понимание анатомии дифференцируемого платежа. Даже скажу больше, ответы на некоторые из представленных мною задач можно посчитать в уме, не прибегая к каким-либо записям и вычислениям на бумаге/компьютере.

Хотите научиться безошибочно решать подобный класс упражнений из экономического блока ЕГЭ по математике? Тогда записывайтесь ко мне на индивидуальную подготовку! Я – репетитор-практик с многолетним стажем, и главная цель моих занятий – выработать у вас навыки успешного решения экономических задач любого типа и любой сложности.

Что-то все равно осталось непонятным? Записывайтесь ко мне на частную подготовку!

Да, я прекрасно знаю разницу, когда производишь решение самостоятельно, и, когда знакомишься с уже готовым решением. В данной статье я демонстрирую профессиональное решение одной из множества задач на дифференцируемый платеж. Вам далеко не все может быть понятно!

По-настоящему научиться решать экономические задачи можно лишь тогда, когда прорешиваешь их самостоятельно или работаешь под началом какого-либо репетитора/наставника. Достаточно сложно стать профессиональным математическим решателем, если постоянно анализировать только чужие решения.

Поэтому, если хотите стать намного сильнее в области финансовой математики, получать в качестве домашних заданий сложные примеры, требующие нестандартного подхода, то записывайтесь ко мне на частные уроки.

На своих частных уроках я делаю упор исключительно на практические решения. Мы не занимаемся водянистой теорией, которая легкодоступна на множестве информационных ресурсов сети Интернет.

И не стоит забывать о том, что я достаточно востребованный репетитор. Поэтому не откладывайте свое решение в долгий ящик, а действуйте прямо сейчас! Звоните по номеру, указанному в шапке данного сайта, или пишите мне на электронный адрес (ссылку можно найти в подвале сайта в разделе "Контакты").

Экономические задачи достаточно интересны по своей природе, а также понимание их решения может вам пригодиться в реальной жизни. Кто знает, может быть, вы будущий экономист или трейдер на финансовых рынках.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет).

Условия его возврата таковы : — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года ; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга ; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3, 6 млн рублей?

Сначала высчитаем срок кредита.

Максимальный платеж будет в 1 - м году.

ТО есть каждый год нужно возвращать в банк часть кредита плюс проценты, набежавшие с остатка долга.

Если х - количество лет, на которое взят креди, то

9 / х = сумма ежегодного возврата основного долга.

Кроме этого, нужно еще вернуть проценты.

В 1 - й год проценты платятся со всего долга, то есть с 9 млн.

Эта сумма = 3, 6 млн.

9 / х + 9 * 20 / 100 = 3, 6 ;

9 / x + 9 * 0, 2 = 3, 6 ;

5 лет - срок кредита.

Теперь сосчитаем проценты.

Итого проценты, уплаченные банку = 1, 8 + 1, 44 + 1, 08 + 0, 72 + 0, 36 = 5, 4 млн.

ИТого в банк вернули сумму , равную 9 + 5, 4 = 14, 4.

Дам 35 баллов?

Родители взяли кредит в банке хоум кредит в размере 100000 тенге сроком на год через год они выплатили банку 129000 тенге определите под сколько % годовых был взят кредит.

Предприниматель взял в банке кредит в размере 1200000 рублей под 15, 5% годовых?

Предприниматель взял в банке кредит в размере 1200000 рублей под 15, 5% годовых.

сумму он должен вернуть банку через год?

15 - го января планируется взять кредит в банке на целое число месяцев?

15 - го января планируется взять кредит в банке на целое число месяцев.

Условия его возврата таковы :

— 1 - го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца ;

— со 2 - го по 14 - е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга ;

— 15 - го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 - у число предыдущего месяца.

На сколько месяцев взят кредит, если общая сумма выплат превысила сумму кредита на 25%?

Для развития бизнеса клиент взял в банке кредит под 15% годовых сроком на год?

Для развития бизнеса клиент взял в банке кредит под 15% годовых сроком на год.

Какова сумма кредита, если ежемесячно он вносит одинаковую сумму — 5 625рублей?

Ответ округлите до целых.

Взяли кредит в банке на сумму 400 000 рублей под r% процентов годовых и выплатили за 2 года платежами 330 000 рублей и 121 000 рублей?

Взяли кредит в банке на сумму 400 000 рублей под r% процентов годовых и выплатили за 2 года платежами 330 000 рублей и 121 000 рублей.

Вы положили 150000 рублей в банк под 14 % годовых на 5 лет какая сумма у вас будет через 3 года?

Вы положили 150000 рублей в банк под 14 % годовых на 5 лет какая сумма у вас будет через 3 года.

Человек А дал человеку В 100?

Человек А дал человеку В 100.

000 рублей в долг, с условием : Каждый день В будет отдавать в 2 раза больше чем в предыдущий.

В первый день В дал 1 копейку.

Кто и сколько будет должен по истечению 30 дней?

Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 12% годовых?

Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 12% годовых.

Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами.

Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 15% годовых?

Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 15% годовых.

Через год, после начисления годового процента, он положил ещё 2360 рублей под 10% годовых на тот же вклад.

Спустя два года вкладчик снял со счета 365 рублей.

В результате на его счету оказалось 7500 рублей.

Какова первоначальная сумма вклада?

Банк выдаёт кредит с процентной ставкой 20% на взятую сумму?

Банк выдаёт кредит с процентной ставкой 20% на взятую сумму.

Какую сумму взял клиент, если через год он должен вернуть 19200 €?

На странице вопроса В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет)? из категории Математика вы найдете ответ для уровня учащихся 10 - 11 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.

Вася мог записать на доске 29, 47 и 83. Ответ : 29 + 47 + 83 = 159.

Пусть в первом баке было : x литров то во втором было : 3x литров после добавления воды во втором баке стало : 3x + 16 литров а в первом : x + 80 литров и т. К. в баках стало воды поровну то : x + 80 = 3x + 16 решаем уравнение. 2x = 80 - 16 2x = 64..

X = 3y (x + 32) + (y + 18) = 170 3y + 32 + y + 18 = 170 4y + 50 = 170 4y = 120 y = 30 x = 90.

7 номер 1 действие) 55 / 12 * 14 / 11 = 35 / 6 2 действие) 16 / 45 * 45 / 64 = 3 / 3 3 действие) 35 / 6 * 3 / 3 = 35 + 6 / 6 = 41 / 6 = 5 целых 6 / 6 = 5.

Это невозможно! Говорит Учитель по Математике.

- 5 + 4, 9 = - 0, 1(из большего числа вычитаем меньшее и ставим знак большего числа) - 6 - 5, 6 = - 11, 6 - 7 + 6, 3 = - 0, 7.

В этой статье мы выведем общую формулу для решения экономических задач, условие которых предполагает погашение задолженности по кредиту с использованием дифференцированного платежа.

Дифференцированный платеж – это способ погашения кредита, при котором заемщиком выплачивается основная сумма займа («тело кредита») равными частями, а начисление процентов осуществляется только на остаток задолженности в каждый конкретный момент времени.

Если в задаче присутствуют слова "равными частями", или "долг уменьшается на одну и ту же величину" , то, скорее всего, речь идет о дифференцированном платеже.

Отметим, что в этом случае платежи отличаются между собой.

Внимание! Следует отличать эти задачи от тех, в которых долг отдается равными платежами.

Пусть заемщик взял в кредит рублей на лет при годовой процентной ставке, равной %.

В случае дифференцированного платежа ежегодный платеж состоит из двух частей и равен

1) - часть долга, выплачиваемая ежегодно. Это та составляющая ежегодной выплаты, которая остается постоянной.

2) Проценты на оставшуюся часть долга. Это составляющая ежегодного платежа, которая меняется с каждой выплатой и зависит от порядкового номера этой выплаты.

В первый год выплата процентов по кредиту равна ,

во второй -

в третий -

Выплата процентов по кредиту в - ый год равна .

Тогда общий платеж в первый год равен

Во второй:

В - ый:

Выплаты по процентам представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, в которой

Суммарно выплаты по процентам равны:

Сумма слагаемых в скобках находится по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

В итоге, если клиент берет в кредит рублей на лет при годовой процентной ставке, равной %, то при дифференцированном платеже он выплатит за лет всего

В этом случае переплата банку составляет рублей или процентов (считаем, сколько процентов составляет переплата от суммы долга, для этого сумму переплаты делим на сумму долга и умножаем на 100%).

Например, если клиент берет ипотеку на квартиру 10 млн руб. сроком на 20 лет под 10% годовых (фантастически низкий процент), то по истечении этого срока он заплатит за квартиру:

млн. руб. То есть сумму, более чем в два раза превышающую сумму кредита.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

По условию задачи процентная ставка % годовых.

Пусть кредит взят на лет. Наибольший годовой платеж будет в первый год, когда невыплаченный остаток максимальный, он равен сумме, взятой в кредит. Годовой платеж в первый год равен млн руб.

По условию наибольший годовой платеж равен 9 млн руб.

Следовательно, кредит взят на 14 лет.

Тогда общая сумма выплат равна млн руб.

Один из типов экономических задач — это задачи на платежи с равномерно убывающим долгом. Каждый месяц (период) основной долг уменьшается на одинаковую сумму. Ежемесячный платёж будет состоять из суммы основного долга и суммы начисленных процентов на остаток долга.

В этом случае мы имеем дело с дифференцированными платежами.

Внимание: в задачах этого типа применяется формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Задачи для разбора берутся из вариантов ЕГЭ прошлых лет, размещённых на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитать сумму кредита

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту после полного его погашения составила 2 млн руб. (никакие округления при вычислении платежей не производятся)?

S тыс. руб. — сумма кредита,

2 млн руб. = 2000 тыс. руб.,

X тыс. руб. — ежемесячная выплата основного долга.

Суммы ежемесячного долга: S; (S — X); (S — 2 * X . S — 47 * X); (S — 48 * X); 0

S * p; (S — X) * p; (S — 2 * X) * p . (S — 47 * X) * p; (S — 48 * X) * p; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 49 * p — 24 * p) = 2000

S * (1 + 25 * 0,01) = 2000

S = 1600 тыс. руб., или 1,6 млн руб.

Ответ: 1,6 млн руб.

Задача 2. Рассчитать сумму кредита

15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,604 млн руб. (1604 тыс. руб.)?

Задача отличается от предыдущей — выплаты по основному долгу (30 тыс. руб.) осуществляются только первые 20 месяцев, а значит, в последний месяц выплата будет иной.

S тыс. руб. — сумма кредита

Суммы ежемесячного долга: S; (S — 30); (S — 60. S — 570); (S — 600); 0

Начисленные проценты: S * р; (S — 30) * р; (S — 60) * р. (S — 570) * р; (S — 600) * р; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 21 * 0,03) — 0,03 * 6300 = 1604

1,63 * S — 189 = 1604

1,63 * S = 1604 + 189

S = 1100 тыс. руб., или 1,1 млн руб.

Ответ: 1,1 млн руб.

Задача 3. Рассчитать, на сколько месяцев планируется взять кредит

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его выплаты таковы:

1-го числа n-ого месяца долг возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?

Превышение выплат на 30% от суммы кредита — за счёт выплаченных процентов.

Раскрываем скобки и группируем слагаемые.

Ответ: 19 месяцев.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Всем здравствуйте! Меня зовут Александр. Я - профессиональный репетитор по математике, информатике, программированию, базам данных и алгоритмам. Если коротко, то я - матерый технарь.

Одно из генеральных моих направлений - подготовка школьников к успешной сдаче ЕГЭ по математике и информатике. Потратьте буквально $2-3$ минуты собственного времени и познакомьтесь с отзывами моих учеников. Средний балл моих подопечных на официальном экзамене ЕГЭ составляет $91.35$ из $100$ возможных.

Задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике являются одними из моих любимых. Вообще задания из экономического блока мне кажутся очень интересными и познавательными. Поэтому на своих индивидуальных уроках я с большим удовольствием показываю своим ученикам различные эффективные методики их решения.

Существует по-настоящему лишь $2$ способа подготовки на высоченный итоговый балл ЕГЭ по математике:

Под началом профессионального репетитора.

Мой контактный номер телефона прописан в шапке данного сайта. Звоните, договаривайтесь о времени проведения и записывайтесь на первый пробный урок.

Условие задачи

Каждый январь долг возрастает на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Решение задачи

Это классическая задача на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Почему я так решил? Потому, что есть фраза-маркер, в которой четко дают понять, что размер займа уменьшается равномерно. Вот эта фраза: "В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года".

С кредитной программой мы разобрались! Это очень важный момент. Если вы спутаете тип кредитной программы, то гарантировано получите неправильный результат. Именно по этой причине я настоятельно прошу всех выучить свойства и признаки схемы дифференцированных платежей.

Кстати, напомню, что фундаментально кредитная программа бывает двух видов:

Кредит выплачивается по схеме аннуитетных платежей.

Давайте введем следующие обозначения:

$S$ - размер первоначального кредита	$r$ - процентная ставка банка, выраженная в долях	$R = 1 + r$ - для удобства расчетов
$n$ - общее количество отчетных периодов	$i$ - номер текущего отчетного периода	$\%_$ - размер начисленных банком процентов за конкретный период
$p_$ - размер платежа за конкретный период	$P$ - общая сумма всех выплат/платежей	$q$ - ставка банка, выраженная в процентах

Хочется отметить следующее, что не все выше обозначенные переменные нам потребуются в процессе решении задачи. Но понимать математический смысл вы обязаны каждой из них, если, конечно, не хотите "завалить" экзамен ЕГЭ по математике.

Дальше, давайте рассмотрим под микроскопом следующую фразу: "наибольший годовой платеж составит $9$ миллионов рублей". В этой фразе содержится наиважнейшая информация, и ваша цель - суметь ее расшифровать. Для этого нужно прекрасно понимать, как устроена математическая модель дифференцированных платежей, а также знать свойства этих платежей.

Как известно, в схеме дифференцируемых платежей самый $1$-ый платеж является наибольшим, а самый последний - наименьшим! Значит, когда говорят про наибольший платеж, нужно подразумевать самый $1$-ый платеж.

Из условия вытекает, что:

$S = 28$, млн. руб.

$q = 25\%$

$r = \frac = 0.25$

$p_ = 9$, млн. руб.

Наша задача определить $P$, то есть общий размер всех платежей/выплат!

Важно! Если вы хотите получить максимальный балл за решение задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике, то в своем решении нужно привести вывод соответствуюей математической модели. Поэтому, если плохо знаете принцип работы этой модели - срочно идите ее изучать, зубрить.

Вспомним, что платеж за любой отчетный период формируется из размера начисленных процентов за данный период и равной части первоначального кредита:

$p_ = \%_ + \frac$ - размер $i$-го платежа.

Ранее мы выяснили, что из условия задачи нам известен размер $1$-го платежа ($i = 1$). Значит, процентная ставка банка $q$ действует на весь стартовый кредит:

$\%_ = \frac * S * r = S * r = 28 * 0.25 = 7$, млн. рублей. Тогда:

А размер $1$-го платежа нам задан, он равен $9$ млн. рублей, тогда решим следующее уравнение:

Оказывается, первоначальный кредит был взят сроком на $14$ лет. При этом все ограничения будут соблюдены. Например, самый наибольший/первый платеж составит $9$ миллионов рублей. Отлично! Идем дальше!

Обратимся к формулам математической модели дифференцируемых платежей и "достанем" наиболее важную из них, а именно формулу, которая позволяет вычислить размер всех платежей:

Подставим все известные величины в эту формулу и получим ответ. Заметьте, что в этой формуле фигурирует переменная $n$, то есть необходимо знать общее количество отчетных периодов. Ее значение мы нашли на предыдущем шаге ($n = 14$).

$P = \frac + 28 = \frac + 28 = 52.5 + 28 = 80.5$, млн.руб.

Готово! Результат получен! Да, получилось нецелое значение, но это и не главное. Хотя в большинстве случаев входные данные в задачах на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике подбираются так, чтобы на выходе образовывалось что-то целое.

Но у любознательных старшеклассников может появиться вполне закономерный вопрос: "А правильный ли ответ?". Очевидно, что, да! Но ведь нужны какие-то гарантии, верно.

Верификацию полученного результата можно произвести арифметическим способом. То есть вы можете пройтись по всем отчетным периодам, вычисляя соответствующие платежи, размер начисленных банком процентов и т.п.

Но на своих индивидуальных занятиях, совместно с учеником, мы проводим верификацию полученных результатов, посредством математического процессора "MS Excel". Это очень удобный и наглядный вариант проверки решения. Также, построенная таблица обладает хорошим аналитизмом, то есть, анализируя выкладки этой таблицы, становятся понятны многие тонкие моменты, связанные с выплатой кредита.

Данная великолепная таблица доказывает правильность нашего алгебраического решения.

Ответ: 80.5

Выводы

Для успешного решения задач на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике нужно знать назубок соответствующую математическую модель. Пока не поймете эту модель, даже не вздумайте пытаться что-то решать из подобного типа заданий.

На официальном экзамене, для получения максимального балла за экономическую задачу, в своем решении приводите, в том числе и вывод математической модели. В этом случае ни один эксперт в процессе проверки не сможет "придраться" к вашим математическим выкладкам.

Внимательно читайте условие задачи и обращайте особое внимание на фразы-маркеры. Это позволит вам выбрать наиболее эффективный способ решения и не ошибиться в выборе кредитной программы.

Решайте задания с применением алгебраического способа, а не арифметического. Хотя оба этих способа уместны, но более профессиональным и продвинутым считается именно алгебраический.

И, пожалуй, одно из главных - нужно любить математику.

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

А сейчас я приведу список из нескольких задач на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Вы можете попробовать порешать их самостоятельно. Если будут трудности, то переходите по ссылке "Перейти к текстовому решению" и знакомьтесь полноценным моим решением.

Не забывайте о том, что раздел "Финансовая математика" содержит множество других типов задач: аннуитетные платежи, вклады, простые и сложные проценты, акции и т.д. Также зачастую попадаются комбинированные задачи, где происходит смешение моделей. Хотите во всем этом разбираться? Записывайтесь ко мне на частную подготовку!

Пример №1

В мае планируется взять кредит в банке на сумму $10$ миллионов рублей на $5$ лет.
Условия его возврата таковы:

Каждый декабрь долг возрастает на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.

В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?

Пример №2

Каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Пример №3

Каждый январь долг возрастает на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Пример №4

Каждый январь долг возрастает на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Пример №5

Каждый январь долг возрастает на $q\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Пример №6

$15$ января планируется взять кредит в банке на $39$ месяцев.
Условия его возврата таковы:

$1-го$ числа каждого месяца долг возрастает на $q\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.

Со $2-го$ по $14-е$ число месяца необходимо выплатить часть долга.

Пример №7

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?

Пример №8

Пример №9

Каждый январь долг возрастает на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Пример №10

$15$ января планируется взять кредит в банке на $15$ месяцев.
Условия его возврата таковы:

$1-го$ числа каждого месяца долг возрастает на $1\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.

Со $2-го$ по $14-е$ число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

Все эти задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике решаются достаточно быстро, если вы хорошо знаете, как устроена математическая модель дифференцируемых платежей. Повторю, уже, наверное, раз $10$-ый - разбирайтесь с математической моделью, и будем вам счастье.

Также, время от времени, рекомендую обращаться к этому списку заданий, так как он постоянно обновляется и дополняется, появляются новые условия, а также соответствующие мои математические разборы.

Что-то все равно осталось непонятным? Записывайтесь ко мне на частную подготовку!

Если после прочтения данного материала у вас остались какие-то вопросы, недопонимания, то это некритично, и, даже, вполне логично! Недостаточно пристально рассмотреть одно решение задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Нужен комплексный подход!

Я - репетитор-практик, который на своих занятиях, уделяет львиное количество времени конкретным разборам, техникам и эффективным методикам решения. Всевозможной теории полно в глобальной сети Интернет, а экзамен ЕГЭ по математике является практическим, то есть нужно уметь решать, а не знать теоретические изыски.

Мои занятия проходят дистанционно, посредством таких программ, как "Скайп" и "AnyDesk". Подобный формат взаимодействия репетитора с учеником является очень удобным, позволяет задействовать мультимедийные технологии, а также достаточно недорог.

Я достаточно востребованный и известный репетитор по математике и информатике, поэтому, не откладывайте свое решение в долгий ящик. Действуйте прямо сейчас! И не забывайте, что количество ученических мест ограничено, поэтому, завтра свободных мест уже может и не остаться.

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также:

\(S\) - размер первоначального кредита	\(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях	\(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов	\(i\) - номер текущего отчетного периода	\(\%_\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_\) - размер платежа за конкретный период	\(P\) - общая сумма всех выплат/платежей	\(q\) - ставка банка, выраженная в процентах

\(S\) - размер первоначального кредита	\(r\) - процентная ставка банка, выраженная в долях	\(R = 1 + r\) - для удобства расчетов
\(n\) - общее количество отчетных периодов	\(i\) - номер текущего отчетного периода	\(\%_\) - размер начисленных банком процентов за конкретный период
\(p_\) - размер платежа за конкретный период	\(P\) - общая сумма всех выплат/платежей	\(q\) - ставка банка, выраженная в процентах