При какой годовой ставке сложного процента деньги удваиваются через 12 лет

Обновлено: 17.06.2024

Банки предлагают разные вклады со своими названиями и условиями. И предложение с самой высокой процентной ставкой может оказаться не самым выгодным — нужно смотреть условия и рассчитывать реальную доходность.

Как понять, что выгоднее: открыть депозит с процентными выплатами в конце срока, но под 5,1% годовых или с ежемесячной капитализацией, но под 5% годовых? Разбираемся.

Какие бывают проценты по вкладам в банке

Проценты бывают двух видов: простые и сложные.

Простые — те, что начисляются в конце срока вклада. Например, вы положили 100 000 ₽ на год под 5% годовых. Через год на вашем счете будет 105 000 ₽.

Сложные. Несмотря на название, принцип их прост — они начисляются в течение срока вклада через равные интервалы. Например, ежемесячно или ежеквартально. Проценты начисляются на первоначальную сумму и на проценты от предыдущих периодов — вы получаете проценты на проценты. Это называется капитализацией.

В случае с ежемесячным начислением и вкладом на год вы как будто открываете вклад 12 раз подряд на 1 месяц, причем сумма вклада каждый раз увеличивается на сумму выплаченных за предыдущий месяц процентов.

Рассмотрим вклад на 100 000 ₽ под 4,8% годовых с ежемесячной капитализацией. Процент доходности в месяц составляет: 4,8% / 12 месяцев = 0,4%. Значит, на вкладе по истечении первого месяца будет 100 400 ₽.

Во втором месяце эти 0,4% начислятся не на изначальные 100 000 ₽, а на сумму вместе с процентами — 100 400 ₽. И так далее каждый месяц. При закрытии вклада через год на нем будет 104 907,02 ₽ — доход за год составит 4907,02 ₽. Это соответствует годовой доходности чуть более 4,9% годовых.

Годовые проценты

Для сравнения условий вкладов используется годовая доходность. Можно вычислить, например, квартальную ставку, но удобнее сравнивать именно годовую.

Банки в своих предложениях указывают номинальную ставку годовых, которая не учитывает капитализацию, если она есть. В этом случае полезно рассчитать эффективную процентную ставку.

Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать вклады с разными условиями: например, по одному вкладу проценты начисляются раз в месяц и капитализируются, а по другому выплачиваются в конце срока. Эффективная ставка позволяет привести эти два вклада к общему знаменателю и понять, какой из них выгоднее.

Задание №1. Определите будущую стоимость 1000 руб., если вы инвестируете деньги на два года по ставке 6,5% годовых.


Решение: найдем будущую стоимость денег по формуле:


(1),


Где будущая стоимость денег;


– первоначальная сумма;


– годовая ставка;


– количество периодов (лет);


руб.

Задание№2. Вы планируете через три года купить стереосистему за 3200 руб. Определите, какую сумму вы должны инвестировать сейчас, чтобы сделать эту покупку, если годовая процентная ставка составляет 9%.

Решение: найдем первоначальную сумму денег из формулы (1), м руб., , , выразим из уравнения (1),


Подставим значения в формулу (2),


руб.

Ответ: 2 519.69 руб.

Расчетное задание 2

Задание№1. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения 28.09.2001 г. Вексель предъявлен 13.09.2001 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка.

Решение: для вычисления суммы полученной предъявителем используем формулу:


Где P – сумма, которую получит векселедержатель;


– стоимость векселя в момент его оформления;


– срок до наступления платежа по векселю (в днях);


– процентная ставка, уплачиваемая векселедателем;


– продолжительность года в днях;


, подставим значения в формулу (3),


Ответ: 49 375 руб.

Задание№2. На сумму в 2255$ в течение 8 месяцев начисляются простые проценты. Базовая ставка 5% годовых повышается каждый месяц, начиная со второго, на 0,5%, временная база К = 360. Чему будет равна наращенная сумма?


Решение: Так как начисление идет по ставке простых процентов, т. е. без капитализации вклада, а % начисляются ежемесячно то наращенную сумму вклада определим по формуле :



Где наращенная сумма денег;


– первоначальная сумма;

– годовая ставка в ;



$


Ответ: $.

Расчетное задание 3.

Задание№1. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов по простой ставке: первый год по годовой ставке 18%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Определите множитель наращения за 2,5 года.


Решение: Так как начисление идет по ставке простых процентов, т. е. без капитализации вклада, а % увеличиваются каждое полугодие Начиная с 3-го полугодия то множитель наращения будет равнятся:


Задание№2 Первый год годовая ставка простых процентов равна 8%, а каждый последующий год увеличивается на 2%. Через сколько лет удвоится первоначальная сумма (реинвестирования не предполагается)? K=365

Решение: нам нужно найти кол-во лет через которое множитель наращения станет =2. Для этого примени формулу для суммы арифметической прогрессии:



Где сумма арифметической прогрессии;


арифметической прогрессии;


разность арифметической прогрессии;


кол-во членов;


Для нашего случая Получаем уравнение:






Ответ: первоначальная сумма удвоится через 7.09 лет.

Расчетное задание 4

Задание№1. Сложная процентная ставка по ссуде определена в 9% годовых и предусмотрена ежегодная индексация накопленного долга с учетом инфляционного роста цен. Рост цен составил по годам 30%, 20%, 15%, 10%. Определить множитель наращения за 4 года.

Решение: определим множитель наращения по формуле:



Где множитель наращения;


индекс цен;


– годовая ставка;

Индекс цен найдем по формуле:



Где годовой темп инфляции;

Подставим данные в формулу (6):


2.785

Задание№2. Какую сумму следует проставить в векселе, если выдается ссуда в размере 100 000 руб. на два года? В контракте предусматривается сложная годовая учетная ставка 16%.


Решение: найдем номинал векселя , т. к. предусматривается сложная годовая учетная ставка 16%:


руб.

Ответ: 134 560 руб.

Расчетное задание 5.

Задание№1. Ссуда выдана при условии начисления сложных процентов по ставке 8 % годовых. Определить эквивалентную простую ставку при сроке ссуды 5 лет, 180 дней, 365 дней.

Решение: для нахождения простой эквивалентной ставки используем формулу:



Где сложная годовая ставка;


простая годовая ставка;


период начисления;

Для 5 лет получаем уравнение:


Для 180 дней получаем уравнение:


Для срока 365 дней величины сложной и эквивалентной ей простой процентной ставки совпадают.

Задание№2. Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 18% и сложные проценты начисляются ежемесячно

Решение: будем использовать формулу:



Где – эффективная ставка;


– годовая ставка;


– количество периодов начисления.


если проценты начисляются ежемесячно, получим уравнение относительно :







Расчетное задание 6

Задание№1. Что выгоднее: получить 2,8 тыс. руб. через три года или 2,9 тыс. руб. через четыре года, если можно поместить деньги на депозит под сложную ставку 10% годовых?

Решение: Если мы получим деньги через 3 года, мы сможем поместить их на депозит, и за год проценты составят тыс. руб. т. е. у нас через 4 года будет сумма тыс. руб., 3.08 > 2.9.

Ответ: выгодней получить 2.8 тыс. руб. через 3 года.

Задание№2. Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты, равна 2 млн. руб., сила роста 10%, срок 5 лет. Найти наращенную сумму, соответствующую ставку сложных процентов.

Решение: для нахождения наращенной суммы используем формулу:



Где будущая стоимость денег;


– первоначальная сумма;


сила роста;


количество периодов начисления;

Подставим данные в формулу (10):


Ответ: 3 297 442.54 руб.

Расчетное задание№7

Задание№1. Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 100 000 руб., Проценты начисляются один раз в год по номинальной ставке 17%. Найти величину накопленного фонда к концу пятилетнего срока.

Решение: за первый год будет произведено 4 взноса по 100 000 руб., за 5 лет соответственно будет 20 взносов, т. к. % начисляются один раз в год, разобьем наши взносы на группы. Первая группа это первые четыре взноса (с 1по 4) за первый год, вторая группа, вторые 4 взноса (с 5 по 8) за 2-ой год, 3-я группа взносы (с 9 по 12), 4-ая группа взносы (с13-16), 5-ая группа взносы (с 17 по 20).





Ответ: .

Задание№2. Определите размер равных ежегодных взносов, которые необходимо делать для погашения долга через 3 года в размере 1млн. руб., если ставка сложных процентов 17% годовых.


Решение: всего было 3 взноса, пусть величина взноса равняется руб. приведем их в начальный период, для этого будем использовать формулу:



Где будущая стоимость денег;


– первоначальная сумма;


– годовая ставка;


– количество периодов (лет).


Подставим данные в формулу (11), и найдем из уравнения:




Ответ: 282 573.68 руб.

Список используемой литературы

1. Брусов П. Н., Брусов П. П., Орехова Н. П., Скородулина С. В., Финансовая математика, Учебное пособие для бакалавров, Кнорус, 2010, 253 с.

2. Брусов П. Н., Брусов П. П., Орехова Н. П., Скородулина С. В., Задачи по финансовой математике, Учебное пособие для бакалавров, Кнорус, 2011.

3. Брусов П. Н., Филатова Т. В., Финансовая математика, Учебное пособие для магистров: Инфра–М, 2011.

1. Банк начисляет 50 рублей обыкновенного простого процента за использование 3000 рублей в течение 60 дней . Какова норма простого процента такой сделки ?

Простой процент вычисляется по формуле :

50 =i 3000* (60/365);

I = 365*50 /(3000*60) = 0,1014 (10,14%)

S = P (1+i); (50+ 3000) = 3000 (1+i); 3050 = 3000 + 3000 i; 50/3000 = i; i = 0,0167 (1,67 %) – за 60 дней (два месяца ); за год: i = 0,0167*365/60 = 0,101388 (10,14%);

В случае простого дисконта :

P = 100000 (1 – 0,035* 72/365)= 100000 *0,993 = 99300 руб.

100000 – 99300 = 700 руб.

Прологарифмируем полученное выражение :

12 lg (1+i) = lg2 ; lg2 = 0,3

Lg (1+i) = 0,0025; (1+i) = 1, 06; i = 0,06 (6%)

Можно было не делать таких сложных расчетов . В учебниках по банковскому делу и ценным бумагам прилагаются таблицы , в которых показывается будущая стоимость единицы при определенной годовой ставке через определенный период времени .

Единица удваивается через 12 лет при 6% годовых.

Эквивалентная процентная ставка:

J = (1+ i)m/n -1 =(1+ 0,05)10/3 -1;

(1+ i)m = (1+ j)n = (1 + 0,05)10

(1+ j)n = (1 + 0,05)10 = 1,6289

(1+ i)3 =1,6289; (1+ i) = 1,1768; i = 0,1768 ≈ 17,7%

По ставке сложного процента:

Будущая стоимость единицы: 1,1576

Р = 10000/1,6289 = 6139,11 руб.

Тогда: 6139,11*1,1576 = 7139,63 руб.

500 000 = R *[(1+0,015 )4*5 -1] /0,015 * (1 + 0,015);

(1,34685-1)/0,015* 1,015 = 23,47044;

Отсюда: R = 500000/ 23,47044= 21303,4 руб.

По формуле обыкновенного общего аннуитета:

S = 500 * ((1+0,04)5*1 -1)/ ((1+ 0,04)1/4 -1 ) = 500* 0,2167/0,00985 = 11 000 руб.

Вечная рента – это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного времени

Эквивалентная процентная ставка равна:

J =(1+i)m/p -1 = (1+ 0,03)4/12 -1= 1,0108 -1 = 0,0108

А =R/j = 1500/0,0108 = 138888,88 руб.

Доход по облигации представляет собой поток периодических платежей в конце каждого года (простой аннуитет) и разовую выплату в конце всего срока действия облигации.

Ежегодные выплаты: R = 5000 руб., i =0,03

Р = 5000* [ 1-(1+0,03)-15]/0,03 + 100000 (1+0,03)-15 = 5000 *(1-1/1,5580)/0,03 + 100000(1/1,0315) = 5000 * 11,9384 + 100000*0,64185 = 123877 руб.

Рассчитаем будущюю стоимость 20000 рублей через 3 года, под 17% годовых.
FV = 20000 * (1 + 0,17)3 = 32032 рубля.

Ответ. Получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.

Преобразуем формулу к следующему виду:

(1 + r)n = FV / PV и подставим значения;

1,14n = 20000 / 1000 = 20, отсюда n = log 1,14 20 = 22,86 года.

Ответ. 1000 рублей нарастится до 20000 рублей при 14% годовой ставке за 22,86 года.

При расчете числа лет необходимо учитывать, что в формуле подразумевается целое число лет и цифры, рассчитываемые после запятой, имеют приблизительные значения, характеризующие близость к целому значению лет.

Преобразуем формулу к следующему виду:

R = (FV / PV)1/n - 1 и подставим значения;

R = (30 000 / 10 000)1/5 - 1;

R = 0,24573 или 24,573 %.

Ответ. 10 000 рублей нарастятся до 30 000 рублей за 5 лет при ставке ссудного процента 24,573%

K’ = K + I = 4000+44=4044,

где K – капитал или заем, за использование которого заемщик выплачивает определенный процент;

I – процентный платеж или доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;

P – процентная ставка, показывающая сколько д. е. должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала в определенном периоде времени (за год);

D – время, выраженное в днях.

360 – число дней в году.

Время t = 80/360 = 2/9.

K’ = K + K×i×t = 4000(1 + 0.05×2/9) = 4044,

Где i – процентная ставка, выраженная в долях единицы,

T – время, выраженное в годах.

14. Величина предоставленного потребительского кредита – 6000 д. е., процентная ставка – 10% годовых, срок погашения – 6 месяцев. Найти величину ежемесячной выплаты (кредит выплачивается равными долями).

Таблица - План погашения кредита (амортизационный план)

Объяснение к таблице

Месячная выплата основного долга составит:

K / m = 6000/6 = 1000.

Месячный взнос представляет собой сумму выплаты основного долга и процентного платежа для данного месяца.

Процентные платежи вычисляются по формуле:

Где I1 – величина процентного платежа в первом месяце;

P – годовая процентная ставка, %.

Общая величина выплат за пользование предоставленным кредитом:

Общая величина ежемесячных взносов:

Так как нам известна номинальная величина векселя, дисконт, находим по формуле:

Где Kn – номинальная величина векселя;

D – число дней от момента дисконтирования до даты погашения векселя;

D – процентный ключ или дивизор (D = 3600/p = 36000/8 = 4500).

Дисконтированная величина векселя равна разности номинальной стоимости векселя и дисконта (процентного платежа):

20000 – 409 = 19591.

16. Пусть в банк вложено 20000 д. е. под 10% (D) годовых. Найти конечную сумму капитала, если расчетный период составляет: а) 3 месяца; б) 1 месяц.

При декурсивном (d)расчете сложных процентов:

Kmn = K×Ip/mmn, Ip/m = 1 + p/(100×m),

Где Kmn – конечная стоимость капитала через N лет при p% годовых и капитализации, проводимой M раз в год.

А) K = 20000×I2.54 = 20000×(1 + 10/(100×4))4 = 20000×1.104 = 22076 д. е.

Б) K = 20000×I10/1212 = 20000×(1 + 10/(100×12))12 = 20000×1.105 = 22094 д. е.

При антисипативном (a) способе расчета сложных процентов:

Kmn = K×Iq/mmn, Iq/m = 100m/(100m - q),

Где q – годовой прцент.

А) K = 20000×(100×4/(100×4 – 10))4 = 20000×1.107 = 22132 д. е.

Б) K = 20000×(100×12/(100×12 – 10))12 = 20000×1.106 = 22132 д. е.

Сначала для годовой процентной ставки 8% определим процентную уравнивающую ставку:

Затем полученную уравнивающую ставку поместим в следующую формулу:

Svmn = u× , где rk = 1 + pk/100,

Где v – число вкладов в расчетном периоде,

m – число капитализаций в год.

Rk = 1 + 1.9427/100 = 1.0194

S4×10 = 500× = 500×60.8157 = 30407.84 д. е.

U1 = u×I2%4 / III2% = 2000×1.0824 / 4.204 = 514.93 д. е.

Snm = 514.93×III2%3×4 + 2000 = 514.93×13.6803 + 2000 =
= 9044.41 д. е.

K0 = Kn×r-n = Kn×II8%20 = Kn×(1 + p/100)-n = 200000×(1 + 8/100)-20 =
= 200000×0.21454 = 42909 д. е.,

Где r = (1 + p/100) – сложный декурсивный коэффициент.

22. Найти текущую стоимость суммы 10 вкладов Постнумерандо по 5000 д. е. при 8% годовых, если капитализация осуществляется каждые полгода.

При ежегодной капитализации:

C0 = a×IVpn = 5000×IV8%10 = 5000×6.71=33550

Таблица - План погашения займа (амортизационный план)

Пояснения к таблице

Аннуитет вычисляем по формуле:

A = K×Vpn = 20000×V2%10 = 20000×0.1113 = 2226.53 д. е.

Чтобы определить выплату задолженности b1, вычисляем величину процентного платежа I:

I1 = K1×p/100 = 20000×2/100 = 400 д. е.

Выплата задолженности представляет собой разницу между аннуитетом и процентным платежом:

B1 = a – I1 = 2226.53 – 400 = 1826.53 д. е.

Таким образом, после первого года долг сократится на 1826.53 д. е. Остаток долга равен:

K2 = 20000 - 1826.53 = 18173.47 д. е.

Вычислим процентный платеж на остаток долга:

I2 = 18173.47×2/100 = 363.47 д. е.

Вторая выплата составит:

B2 = a – I2 = 2226.53 – 363.47 = 1863.06 д. е.

Долг уменьшится на величину 1863.06, остаток долга составит:

K3 = 18173.47 – 1863.06 = 16310.41 д. е.

I3 = 16310.41×2/100 = 326.21 д. е.

Третья выплата задолженности составит:

B3 = a – I3 = 2226.53 – 326.21 = 1900.32 д. е.

Вывод формулы для простой ставки процентов:

Ответ: простая ставка процентов равна 180%.

25. Кредит в размере 15 000 руб. выдан с 26.03 по 18.10 под простые 24% годовых. Определить размеры долга для различных вариантов начисления процентов.

1) «английская практика»: Т=365 или 366 дней.

2) «французская практика»: T=360 дней.

3) «германская практика»: T=360 дней.

Ответ: размер долга составляет:

- согласно «английской практике»: 17 031,781 руб.;

- согласно «французской практике»: 17 060 руб.;

- согласно «английской практике»: 17 020 руб.

26. Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на год: за I квартал ссудный процент 24%, а в каждом последующем квартале процентная ставка по ссуде увеличивается на 3%. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда выдана на год и составляет 15 000 руб.(простые проценты)

T = 1 год = 360 дней PV = 15 000 руб. 30×3 = 90 дней

Сумма начисленных процентов:

Сумма к возврату:

Ответ: сумма к возврату в банк составит 19 275 руб.

PV = 15 000 руб. N = 2 года J = 16% = 0,16 M = 2

Сумма на счёте клиента к концу срока:

Ответ: сумма на счёте клиента к концу срока составит 20 407,334 руб.

FV = 19 000 руб. T = 1 год = 360 дней T = 60 дней N = 1 год D = 60% = 0,6

Сумма, полученная владельцем векселя:

PV = FV – D ;

PV = 19 000 – 1 900 = 17 100 (руб.)

- величина дисконта равна 1 900 руб.;

- сумма, полученная владельцем векселя, равна 17 100 руб.

Эквивалентная годовая учётная ставка:

Ответ: эквивалентная годовая учётная ставка равна 19,4%.

Решение: FV = 19 000 руб. j = 16% = 0,16, m = 4, n = 1,5 года = года.

Ответ: сумма вклада равна 15 015,976 руб.

Решение: N = 1 год

1) M = 4, J =24% = 0,24

2) M = 2, J =26% = 0,26

3) M = 12, J = 20% = 0,2

Эффективная процентная ставка:

при N=1 год: ;

Ответ: выдача кредитов под 26% годовых с полугодовым начислением процентов банку выгоднее, т. к. эффективная годовая процентная ставка в этом случае больше (сумма кредита возрастает на 27,7% за год).

32. Банк выдаёт кредит под 24% Годовых. Полугодовой уровень инфляции составил 3%. Определить реальную годовую ставку процентов с учётом инфляции.

Решение: n = 1 год i = 24% = 0,24 = 3% = 0,03 N = 2

Реальная годовая процентная ставка:

Ответ: реальная годовая ставка процентов равна 16,9%.

Решение: = 3% = 0,03 n = 1 = 10% = 0,1

Вывод формулы для процентной ставки:

Ответ: нужно назначить ставку процентов по вкладам, равную 13,3%.

Решение: N = 12 месяцев

Ответ: уровень инфляции за год равен 42,6%.

Решение: PV = 15 000 руб. j = 72% = 0,72 m = 12 месяцев n = 6/12 года p = 3% = 0,03,

Реальная покупательная способность вклада через определённое время:

Реальный доход вкладчика:

Ответ: реальный доход вкладчика равен 2 819,811 руб.

36. Договор аренды имущества заключён на 5 лет. Аренда уплачивается суммами S1=19 000 руб., S2=20 000 руб., S3=21 000 руб. в конце 1-го, 3-го и 5-го годов. По новому графику платежей вносится две суммы: S4=22 000 руб. в конце 2-го года и S5 в конце 4-го года. Ставка банковского процента 5%. Определить S5.

Суммы платежей,

S1=19 000 S4 =22 000 S2=20 000 S5 - ? S3=21 000 руб.

0 1 2 3 4 5 Сроки платежей,

наращение дисконтирование

На рис. отмечены: Полужирным шрифтом – исходный график платежей, Курсивом – новый график платежей. Моментом приведения выбран год, совпадающий с годом платежа суммы : 4 года.

Уравнение эквивалентности: графики платежей будут эквивалентны, если сумма приведённых на какую-либо дату (на момент приведения) платежей одного графика будет равна сумме платежей другого графика, приведённых на ту же дату при неизменной ставке процентов:

Коэффициент приведения (наращения или дисконтирования):

Где: N – число лет до момента приведения:

N = N0 – Ni,

Где: Ni - срок I-го платежа.

При - коэффициент наращения;

При - коэффициент дисконтирования;

Ответ: сумма второго платежа по новому графику платежей равна 38 739,875 руб.

Решение: i = 5% = 0,05 n = 6 лет FVA = 19 000 000 руб.

Размер ежегодных платежей:

Ответ: размер ежегодных платежей равен 2 793 331,894 руб.

Решение: R = 19 000 руб. N = 2 года I = 5% = 0,05

Величина будущего фонда:

Ответ: величина будущего фонда равна 38 950 руб.

Решение: R = 1 800 руб. j = 48% = 0,48 m = 12 n = 1 год

Авансовая приведённая сумма аренды:

Ответ: равноценный платёж, взимаемый за год вперёд, равен 17 568,858 руб.

40. Двухлетняя облигация номиналом 1 000 руб. имеет 4 Полугодовых купона доходностью 20% годовых каждый. Рассчитать цену её первоначального размещения, приняв ставку сравнения 16%.

Решение: N = 2 года N = 1 000 руб. M = 2 J = 16% = 0,16 Q = 20%

Цена первоначального размещения облигации:

Ответ: цена первоначального размещения облигации равна 1 066,243 руб.

Решение: дней Т = 360 дней

1) доходность по схеме простых процентов:

2) доходность по схеме сложных процентов:

- доходность по схеме простых процентов равна 180%;

- доходность по схеме сложных процентов равна 342,1%.

Решение: I = 5% = 0,05 N = 5 лет PVA = 1 500 000 руб.

Кредит в размере 20 тыс. руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год - 15%, за каждое последующее полугодие она увеличивается на 1 %. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

1. Множитель наращения составит:

2. Наращенная сумма будет равна:

Где P - первоначальная сумма кредита.

S=20•1,6=32,0 тыс. руб.

Т. е. наращенная сумма кредита составит 32 тыс. руб.

Ответ: 1,6; 32 тыс. руб.

На первые 2 года кредитного периода установлена сложная ставка 10%, на последующие 3 года - 12%. Найти коэффициент (множитель) наращения за весь период.

Найдем коэффициент (множитель) наращения за весь период:

Т. е. коэффициент наращения составит 1,7.

Определить эффективную учетную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму через два года, как и при использовании номинальной ставки 18% при ежеквартальном начислении процентов.

Определим эффективную учетную ставку сложных процентов из равенства:

Где j– номинальная ставка процентов;

M – число начислений процентов в году;

Т. е.эффективная учетная ставка сложных процентов равна 16,1%.

Определить современную стоимость 20 тыс. руб., которые должны быть выплачены через 4 года, если в течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по 8% годовых: а) ежегодно; б) ежеквартально.

Современная стоимость рассчитывается по формуле:


Где S – будущая стоимость;

M – число начислений процентов в году;

А) при ежегодном начислении процентов:


Б) при ежеквартальном начислении процентов:


Т. е. при ежегодном начислении процентов современная стоимость 20 тыс. руб. равна 14,701 тыс. руб., а при ежеквартальном – 14,569 тыс. руб.

Ответ: 14,701 тыс. руб.; 14,569 тыс. руб.

Банк осуществляет учет векселей по простой учетной ставке 20% годовых. Вексель учитывается за 30 дней до погашения. Какой величине простой ставки наращения эквивалентна данная учетная ставка?

Эквивалентная учетная ставка связана с простой учетной ставкой следующей зависимостью:


Где d - простая учетная ставка;

N - срок ссуды в годах.


Данная учетная ставка эквивалентна 20,3% простой ставки наращения.

Вексель 300 тыс. долл. учитывается за 2 года до погашения по сложной учетной ставке 10% годовых. Найти сумму, полученную векселедержателем, и величину дисконта.

Найдем сумму, полученную векселедержателем:

Где N – номинал векселя;

D – ставка процентов;

Р=300•(1-0,1)2=243 тыс. долл.

Векселедержатель получит 243 тыс. долл.

Сумма дисконта составит:

D=N-P=300-243=57 тыс. долл.

Ответ: 243 тыс. долл.; 57 тыс. долл.

При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых (проценты простые) кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов, если К = 365?

Исчислим эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов:

Где i– простая ставка процентов;

G – процент комиссионных.


Т. е. годовая ставка сложных процентов равна 9,3%.

Какую ставку должен назначить коммерческий банк, чтобы при годовой инфляции 40 % реальная ставка оказалась 14 %?

Определим, Какую ставку должен назначить коммерческий банк:


Где i – реальная ставка процента;

H – темп инфляции.


Т. е. банк должен назначить ставку процентов, равную 59,6%.

По начальному договору должна быть произведена выплата 50 млн. руб. через 4 года. Эти условия изменены следующим образом: через первые 2 года выплатить 30 млн. руб., а оставшуюся сумму – через следующие 3 года. В расчетах используется сложная ставка 10% годовых. Найти оставшуюся сумму.

Пусть Х – оставшаяся сумма, тогда


Таким образом, оставшаяся сумма составляет 33,55 млн. руб.

Ответ: 33,55 млн. руб.

В течение семи лет в фонд в конце каждого года поступают средства по 10 тыс. руб., на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока. Определить коэффициент приведения ренты и современную стоимость фонда.

1. Коэффициент наращения ренты равен:


Где r – ставка процентов;


Т. е. коэффициент наращения равен 11,067.

Величина фонда на конец срока составит:

Где А – величина ежегодного поступления денежных средств.

FV=10•11,067=110,668 тыс. руб.

Т. е. на конец срока величина фонда составит 110,668 тыс. руб.

2. Определим коэффициент приведения ренты:



Современная стоимость фонда равна:

Р=A•Кпр=10•4,16=41,604 тыс. руб.

Т. е. современная стоимость фонда составит 41,604 тыс. руб.

Ответ: 11,067; 110,668 тыс. руб.; 4,16; 41,604 тыс. руб.

Определить размер ежегодных платежей в конце года по сложной процентной ставке 14% годовых для накопления через 3 года суммы 50 тыс. руб.

Определим размер ежегодных платежей в конце года по формуле:


Где S – будущая стоимость денег;

I– ставка процента;


Т. е. размер ежегодных платежей составляет 14536,57 руб.

Ответ: 14536,57 руб.

Три немедленные годовые ренты постнумерандо заменяются одной, отложенной на 4 года рентой постнумерандо. Срок заменяющей ренты - 8 лет, включая отсрочку. Характеристики рент: ежегодные выплаты 80, 150 и 310 тыс. руб. 2 года, 5 и 10 лет соответственно.

Пересчет осуществляется по сложной процентной ставке 20% годовых. Определить размер платежа заменяющей ренты.

Уравнение эквивалентности платежей следующее:


Составим таблицу для определения размера члена заменяющей ренты:

Размер члена заменяющей ренты равен:

Таким образом, размер члена заменяющей ренты равен 1076,024 тыс. руб.

Ответ: 1076,024 тыс. руб.

Условия двух контрактов следующие: Р1 = 13000; L1 = 9%; n1= 6 лет; Р2 = 14000; L2 = 8,5%; n2 = 4 года, где L - льготный период.

Определить предельные параметры второго контракта, приняв ставку сравнения за q = 11%.

1. Предельным значением параметра контракта является величина, обеспечивающая его конкурентоспособность относительно другого, базового, т. е. сравниваемого с ним контракта, при неизменности остальных условий.

Предельное максимальное значение ставки второго варианта равно:



Т. е. условия второго контракта хуже для покупателя, чем условия первого контракта (8,5>10).

2. Максимальное допустимое значение Р равно:

Т. е. условия второго контракта хуже для покупателя, чем условия первого контракта (13235,772>13000).

Ответ: 10%; 13235,772 тыс. руб.

1. Ковалев В. В., Уланов В. А. Курс финансовых вычислений. Учебное пособие для вузов - М.: Финансы и статистика, 2005. - 560 с.

2. Деньги, кредит, банки / Под ред. О. И. Лаврушина. – М: Финансы и статистика, 2004. – 462 с.

3. Уланов В. А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений. Учебное пособие для вузов - М.: Финансы и статистика, 2003. - 400 с

4. Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Учебное пособие - М.: ИНФРА, 2007 – 408с.

5. Ефимова М. Р. Финансовые расчеты. Практикум – М: КноРус, 2011 – 184с.

6. Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учебник для студентов вузов. – 4-е изд. – М.: «Дело», 2004. – 398 с.

Калькулятор вкладов на Банки.ру — это сервис подбора и оформления вкладов и накопительных счетов для тех, кто ищет возможность вложить деньги под высокий процент. Здесь можно рассчитать доходность вклада и открыть депозит онлайн. У нас самая полная база актуальных предложений с повышенной ставкой на 24.05.2022 и специальные условия от банков, только для пользователей Банки.ру.

Основная задача вкладчика – разместить свои сбережения на депозит, который принесет максимальный доход. Чтобы выяснить итоговую сумму вклада по окончании его срока и произвести расчет по доходу, порой бывает недостаточно знать размер годовой процентной ставки. Нужно воспользоваться калькулятором процентов по вкладам, ведь основные факторы, которые следует учитывать при расчете дохода, – это наличие капитализации и периодичность внесения дополнительных взносов в выбранный вами вклад. Кроме того, открывая вклад под высокую ставку, следует учитывать, что доходы по вкладам в РФ облагаются налогом в размере 35%, если процентная ставка по вкладу в рублях превышает ключевую ставку Банка России на 5 процентных пунктов. По валютным вкладам налог с дохода вычитается, если процентная ставка составляет более 9%.

Калькулятор доходности вкладов на портале Банки.ру поможет произвести расчет суммы вклада с процентами. В депозитном калькуляторе указываете дату, когда вы планируете разместить сбережения в банке и срок привлечения вклада, который вы можете задать произвольно с точностью до одного дня. Депозитный калькулятор безошибочно определит день, когда вы сможете забрать свои сбережения вместе с начисленными процентами.

В калькуляторе депозитов можно сравнить сумму дохода в зависимости от того, будут проценты добавляться к сумме вклада либо выплачиваться на отдельный счет. Калькулятор вкладов с капитализацией покажет, как происходит расчет процентов и увеличивается сумма вашего вклада, ведь при выборе такого способа начисления проценты присоединяются к сумме вклада, тем самым увеличивая ее.

В калькуляторе вклада с пополнением необходимо будет указать периодичность, с которой вы планируете вносить дополнительные взносы, и сумму пополнений.

Калькулятор вкладов онлайн рассчитает для вас сумму дохода за вычетом налогов и покажет итоговую сумму вклада с начисленными процентами, в том числе с довложениями. Прежде чем открывать вклад в банке, с помощью калькулятора вкладов вы сможете вычислить доходность выбранного вами вклада с учетом всех его параметров.

Универсальный калькулятор вкладов на портале Банки.ру поможет нашим пользователям быстро произвести расчет вкладов и точно посчитать ожидаемый доход от своих сбережений.

Калькулятор сложного процента на Банки.ру

Сложный процент - это начисление процентов вклад, в том числе и на сумму прибавленную к телу вклада (полученную от выплаты процентов предыдущего периода). Фактически это -капитализация процентов по вкладу.

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также: