Известно что вклад находящийся в банке с начала года возрастает

Обновлено: 22.04.2024

В 2018 году на ЕГЭ по математике появились задачи, напугавшие многих выпускников. «Это страшно, - говорили они после экзамена. - Никогда такого не было. Решить невозможно».

Конечно же, я сочувствую абитуриентам, для которых ЕГЭ – все-таки большой стресс. Экзамен – это испытание не только знаний, но и хладнокровия, и способности действовать в сложной ситуации. И может быть, сказать себе: «Да, задача необычная, но я знаю общий подход к решению таких задач – справлюсь и на этот раз».

Действительно ли настолько страшны были «банковские» задачи на ЕГЭ по математике 2018 года? Они своеобразны. Их невозможно решить без подготовки, без знания того, как вообще устроены задачи ЕГЭ на кредиты.

Запомним: есть всего два характерных типа «банковских» задач, или задач на кредиты.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами . Эта схема еще называется «аннуитет». К первому типу относятся также все задачи, где известны платежи (или дана закономерность именно для платежей ).

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно . Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». Ко второму типу относятся также задачи, где известна закономерность уменьшения суммы долга .

О двух схемах решения задач на кредиты – мой краткий теоретический материал.

Более подробно я рассказываю теорию и решаю такие задачи на своих мастер-классах и интенсивах. Чтобы узнать о них, подпишись на нашу рассылку.

Посмотрим с этой точки зрения на «банковские» задачи ЕГЭ-2018.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит,

Z – общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей).

Х - ежемесячное уменьшение суммы долга, Х = 30 (тысяч рублей),

p=3% - процент, начисляемый банком ежемесячно. После первого начисления процентов сумма долга равна После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в раза. В нашей задаче k = 1,03.

Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:

После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей).

Значит, первая выплата равна kS – (S – X) (смотри схему).

Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).
…

Последняя выплата: k ( S – 20 X).

Найдем общую сумму выплат Z.
Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – 20X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X).

Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель k, и те, в которых нет k.

Упростим выражения в скобках:
k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z.

В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии:

В этой задаче мы тоже ее используем.

k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z.

Осталось подставить числовые значения.

S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.

Отсюда S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.

Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину – процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.

S = 1000000 рублей = 1000 (тыс. рублей) – сумма кредита,

Х = 40 (тыс. рублей) – ежемесячное уменьшение суммы долга,

Z = 1378 (тыс. рублей) – общая сумма выплат,

- коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.

Рисуем уже знакомую схему погашения кредита.

Первая выплата: kS – (S – X).

Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).

Последняя выплата: k ( S – n X).

По условию, 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.

Значит, S – nX = 200. Подставим числовые данные:

1000 – 40 n = 200; тогда n = 20, n + 1 = 21, то есть кредит был взят на 21 месяц. Очень удобно – количество месяцев в этой задаче оказалось таким же, как в предыдущей. Поэтому очень кратко повторим основные моменты решения

Общая сумма выплат Z:

Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X) =
= k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) =
= k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1).

Мы снова использовали ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:

По условию, Z = 1378 (тыс. рублей).

Выразим k из формулы S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z:

Подставим данные из условия задачи.

Третья задача из числа «кошмаров» ЕГЭ-2018 по математике. Та же схема!

3.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Тоже задача второго типа – есть информация об уменьшении суммы долга. Точно также будем вести расчеты в тысячах рублей.

Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.

S = 300 (тыс. рублей) – сумма кредита,

n = 21 – количество месяцев,

Х – ежемесячное уменьшение суммы долга,

Z – общая сумма выплат.

Рисуем ту же схему, что и в предыдущей задаче. По условию, 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей.

Значит, S – 20 X = 100. Подставив данные из условия, найдем, что Х = 10.

Точно так же считаем сумму выплат (смотри задачи 1 и 2).

Z = S (21k – 20) – 210 X (k-1).

Подставляем данные из условия: Z = 300 (21 ⋅ 1,02 – 20) – 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (тыс. рублей).

Ответ: 384000 рублей.

Хочешь узнать решения всех сложных задач ЕГЭ? Подпишись на нашу рассылку.

Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года 3/5 некоторого количества денег положили в первый банк, а оставшуюся часть – во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 590 денежным единицам, к концу следующего года -701 денежным единицам. Было подсчитано, что если бы первоначально 3/5 исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 610 денежным единицам. Какова в этом случае была бы сумма вкладов в эти банки к концу второго года?

Решение "в лоб":
3/5·s·x + 2/5·s·y = 590
3/5·s·x·x + 2/5·s·y·y = 701
3/5·s·y + 2/5·s·x = 610

Из системы s = 500, x = 1.1, y = 1.3
3/5·s·y·y + 2/5·s·x·x = 749

В первом банке дают х % годовых, то есть из каждых n рублей через год получается n*(1 + x/100) рублей.
Во втором банке дают у % годовых, то есть из каждых n рублей через год получается n*(1 + y/100) рублей.
У нас было А рублей, мы положили 3А/5 в первый банк и 2А/5 во второй банк.
Через год в первом банке стало 3A/5*(1 + x/100), а через 2 года стало 3A/5*(1 + x/100)^2
Во втором банке через год стало 2A/5*(1 + y/100), а через 2 года стало 2A/5*(1 + y/100)^2
А вместе стало
3A/5*(1 + x/100) + 2A/5*(1 + y/100) = 590
3A/5*(1 + x/100)^2 + 2A/5*(1 + y/100)^2 = 701
Если бы первоначально положили 3А/5 во второй банк, а 2А/5 в первый банк, то стало бы
3A/5*(1 + y/100) + 2A/5*(1 + x/100) = 610

Подставляем у в 1-ое уравнение
A*(5 + (2x + 3(x + 10000/A))/100) = 3050
A*(5 + (5x + 30000/A)/100) = 3050
A*(5 + x/20 + 300/A) = 3050
A*(5 + x/20) + 300 = 3050
A*(5 + x/20) = 2750
A*(100 + x) = 2750*20 = 55000
A = 55000 / (100 + x)

Подставляем у в 3-ье уравнение
A*(5 + (6x + 4y)/100 + (3x^2 + 2y^2)/10000) = 3505
A*(5 + (6x + 4x + 40000/A)/100 + (3x^2 + 2(x + 10000/A)^2)/10000) = 3505
A*(5 + 10x/100 + 400/A + (3x^2 + 2(x^2 + 20000x/A + 10^10/A^2))/10^5) = 3505
A*(5 + x/10 + 400/A + 5x^2/10000 + 4x/A + 20000/A^2) = 3505
A*(5 + x/10 + 5x^2/10000) + 400 + 4x + 20000/A = 3505
55000 / (100 + x)*(5 + x/10 + 5x^2/10000) + 20000/55000*(100 + x) = 3105 - 4x
55000*(5 + x/10 + 5x^2/10000) + 4/11*(100 + x)^2 = (3105 - 4x)(100 + x)
275000 + 5500x + 27,5x^2 + 4/11*(10000 + 200x + x^2) = 310500 - 400x + 3105x - 4x^2
Получилось хоть и сложное, но всё же квадратное уравнение, которое можно решить.

Здесь я хочу собрать задачи 17 типа из ЕГЭ, которые потом добавлю в курс (в виде разбора или домашнего задания). Поэтому, если вы встретили задачу, аналога которой в курсе нет, то присылайте её сюда!
У задачи должно быть:
1) Условие (фото или скриншот)
2) Источник (нужны задачи из открытого банка; сборников под редакцией Ященко; пробников от СтатГрад)
3) Желательно, ответ (если задача из сборника)

Кроме того, здесь же можно обсуждать решения задач данного номера. Решение присланных задач приветствуется!

На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t^2 человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?

В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на m% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах и стал одинаковым. Найдите m.

Физика с Сергеем Рогиным запись закреплена

Задачи, рассмотренные в этой лекции:

Цены на квартиры в Москве за год упали в рублях на 20%, в евро – на 40%. В Сочи цены на квартиры в рублях упали на 10%. На сколько процентов упали цены в Сочи в евро?

В одной стране доллар по отношению к местной валюте (тугрик-1) вырос за год на 20%, а евро – на 32%. В другой стране доллар к валюте этой страны(тугрик-2) вырос за год на 25%. На сколько процентов вырос за год евро к тугрику-2?
Показать полностью.

Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк три четверти от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая : 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Баба Валя… внесла свои сбережения в ближайшее отделение банка 1. Ровно через год после открытия счета в Зпербанке (банк 1) Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от ее вклада и открыла счет в том коммерческом банке (банк 2),где процент в 20 раз выше.
Через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке(банк 2) превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%.!
А каков в Зпербанке процент годовых для пенсионеров?

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма вы¬плат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Задачи «на проценты» - в большинстве случаев являются экономическими задачами, в которых идёт речь о вкладах в банк с тем или иным процентом. При их решении надо помнить, что процент есть сотая доля числа. Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами: нахождения части от целого, восстановление целого по его известной части, нахождение процентного прироста. Рассмотрим эти алгоритмы.

Пусть известна некоторая величина А, надо найти а % этой величины.

Если считать, что А есть 100%, а неизвестная часть х это а %, то из пропорции A/100=x/a

Пусть известно, что некоторое число b составляет а % от неизвестной величины А. Требуется найти А.

Рассуждая аналогично, из пропорции получаем A=100b/a.

Пусть некоторая переменная величина А, зависящая от времени t, в начальный момент t₀ имеет значение А₀, а в момент t₁ – значение А₁.

Тогда абсолютный прирост величины А за время t₁–t₀ будет равен А₁–А₀; относительный прирост этой величины вычисляется по формуле (A₁-A₀)/A₀, а процентный прирост по формуле ((A₁-A₀)/A₀)100%.

Задача №1.

Известно, что вклад, находящийся в банке, с начала года возрастает к концу года на определённый процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е. Было подсчитано, что если бы первоначально исходного количества денег положили во второй банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 у.е. В предложении, что исходное количество денег первоначально целиком положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет.

Решение.

Обозначим через x первоначальную сумму денег. Тогда через а обозначим процент, на который возрастает сумма за год в первом банке, а через b – во втором банке. К концу первого года сумму вклада в I банке стала равной (5x/6)(1+a/100), во II банке (x/6)(1+b/100), а к концу второго года(5x/6)(1+a/100) 2 и (x/6)(1+b/100) 2 . По условию задачи сумма вкладов в конце первого года составляет 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е., поэтому можно составить два уравнения:

(5x/6)(1+a/100) 2 +(x/6)(1+b/100) 2 =749 (2)

Если во второй банк положить 5x/6 у.е., а в первый – x/6 у.е, то сумма вкладов к концу года составила бы:

что равнялось бы 710 у.е. Поэтому получим третье уравнение:

Для нахождения известного х составим систему уравнений из (1) и (3) и решим её:

Подставляя 660/x вместо 1+a/100 и 720/x вместо 1+b/100 в уравнение (2), приходим к уравнению (5x/6)(660/x) 2 +(x/6)(720/x) 2 =749, имеющему один корень: x=660, но тогда: 1+a/100=660/600=1,1

Если исходное количество денег положить на два года, то к концу второго года величина вклада составит 726 у.е.

Задача №6.

Рабочий положил на хранение в сберегательный банк 5000 руб. По истечении одного года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад ещё на 5000 руб., а по истечении ещё одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет сбербанк, если рабочий получил 1232 руб. процентных денег, оставив вклад в 10 000 руб. на новый срок?

Решение.

Пусть x% в год начисляет сбербанк, а y% - процент за 2 года. x+x+y - весь начисленный процент. По условию задачи 2x+y=1232 (руб.)

За I и II начисленный процент равен 5000?0,01x=50x, а процент за оба года равен 0,01x?(5000+50x).

Решив это уравнение 50x+50x+0,01x(5000+50x)=1232

100x+50x+0,5x 2 -1232=0

0,5x 2 +150x-1232=0

D=b 2 -4ac=150 2 -4?0,5?(-1232)=24964, D>0, два корня.

Найдём два значения для х: х₁=-308 – не удовлетворяет условию задачи, х₂=8. Значит, сбербанк начисляет в год 8%.

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также: