Найдите r если известно что кредит будет полностью погашен за два года

Обновлено: 30.04.2024

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«ХАССП — вся правда. Как не отравить школьника за завтраком или обедом?»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r , если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год – 240 000 рублей.

Решение:

Составим решение задачи в общем виде. Для этого обозначим за S – сумму кредита; х ₁ – сумма выплат за первый год (с февраля по июнь), х ₂ – сумма выплат за второй год (с февраля по июнь).

(с февраля по июнь)

S + 0,01 r S = S (1+0 , 0 1 r )

S (1+0,01 r ) – х ₁

( S (1+0,01 r ) – х ₁ ) · 0,01 r + S (1+0,01 r ) – х ₁ =

( S (1+0,01 r ) – х ₁ )(0,01 r +1)

( S (1+0,01 r ) – х ₁ )(0,01 r +1) – х ₂

Кредит будет полностью погашен за два года, значит, с долгом рассчитались полностью, т.е. ( S (1+0,01 r ) – х ₁ )(0,01 r +1) – х ₂ =0

Подставим данные в условия задачи в полученное выражение:

(300000 (1+0,01 r ) – 160000)·(0,01 r +1) – 240000=0

(300000+3000 r – 160000)·(0,01 r + 1) – 240000=0

(140000+3000 r )·(0,01 r + 1) – 240000=0

1400 r +140000+30 r 2 +3000 r – 240000=0

30 r 2 +4400 r – 100000=0

3 r 2 +440 r – 10000=0

D =193600+120000=31360000=560 2

не подходит по смыслу задачи.

Ответ: r = 20% .

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение:

Составим решение задачи в общем виде. Для этого обозначим за S – сумму кредита; r – процент возрастания долга по сравнению с концом предыдущего года; х – сумма выплат за каждый год (с февраля по июнь).

(с февраля по июнь)

S + 0,01 r S = S (1+0 , 0 1 r )

S (1+0, 01 r ) – х

( S (1+0,01 r ) – х ) · 0,01 r + S (1+0,01 r ) – х =

( S (1+0,01 r ) – х )(0,01 r +1)

( S (1+0,01 r ) – х )(0,01 r +1) – х

(( S (1+0,01 r ) – х )(0,01 r +1) – х ) · 0,01 r +

+ ( S (1+0,01 r ) – х )(0,01 r +1) – х =

=(( S (1+0,01 r ) – х )(0,01 r +1) – х ) (0,01 r +1)

(( S (1+0,01 r ) – х )(0,01 r +1) – х ) (0,01 r +1) – х

Кредит будет полностью погашен за два года, значит, с долгом рассчитались полностью, т.е. (( S (1+0,01 r ) – х )(0,01 r +1) – х ) (0,01 r +1) – х = 0

Подставим данные из условия задачи и преобразуем полученное выражение:

((545000 (1+0,01·40) – х )·(0,01·40 +1) – х ) (0,01·40 +1) – х = 0

((545000 · 1,4 – х )1,4 – х )1,4 – х = 0

((763000 – х )1,4 – х )1,4 – х = 0

(1068200 – 2,4 х )1,4 – х = 0

1495480 – 3,36 х – х = 0

1495480 – 4,36 х = 0

х = 1495480 : 4,36

х = 343000 рублей – сумма каждого платежа

343000·3=1029000 рублей будет выплачено банку.

Ответ: 1029000 рублей .

3. 15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r .

Решение:

Составим решение задачи в общем виде. Для этого обозначим S ₀ – сумма кредита (первоначальная сумма долга клиента), S ₁ – сумма долга через месяц; S ₂ – сумма долга через 2 месяца; S ₁₉ – сумма долга через 19 месяцев; r – процент возрастания долга по сравнению с концом предыдущего месяца; х ₁ – сумма выплат за первый месяц, х ₂ – сумма выплат за второй месяц, х ₁₉ – сумма выплат за 19 месяц.

(1-го числа каждого месяца)

(со 2-го по 14-е число каждого месяца)

на начало месяца

S ₁ = S ₀ + 0,01 r S ₀ = S ₀ (1+0 , 0 1 r )

на конец месяца

S ₁ = S ₀ (1+0, 01 r ) – х ₁

на начало месяца

S ₂ = S ₁ (1+0,01 r )

на конец месяца

S ₂ = S ₁ (1+0,01 r ) – х ₂

на начало месяца

S ₁₉ = S _{1 8} (1+0,01 r )

на конец месяца

S ₁₉ = S _{1 8} (1+0,01 r ) – х ₁₉

( S _n ) – арифметическая прогрессия по условию задачи (15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца).

S ₁₉ = 0, т.к. сумма долга через 19 месяцев равна 0.

По формуле п – го члена арифметической прогрессии найдем:

S ₁₉ = S ₀ + d ( 20 – 1) = S ₀ + 1 9 d

сумма выплат клиента

По условию известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит, т. е.,

х ₁ = S ₀ (1+0,01 r ) – S ₁

+ х ₂ = S ₁ (1+0,01 r ) – S ₂

По формуле суммы членов арифметической прогрессии найдем:

r =3% - на столько возрастает долг по сравнению с концом предыдущего месяца.

Распишем все по порядку: что будет происходить с нашими деньгами.

На дворе июль месяц, и мы собрались брать 300 000 рублей в кредит. Очень надеюсь, что на что-то стоящее, а не на айфон 102S. Взяли…

Наступит январь. Дед Мороз сделает нам не очень хороший подарок и увеличит долг по кредиту на r%. Как это записать математически?

Во-первых, давайте сначала представим процент в виде дроби:

Во-вторых, узнаем, на сколько наш долг увеличится. Найдем r% от исходной суммы (другими словами, часть от числа):

В итоге мы должны будем банку за первый год

Потом надо будет сколько-то денег выплатить. В первом году мы планируем накопить 160 000 рублей и отдать их банку.

После выплаты мы должны будем банку на 160 000 рублей меньше, а именно:

Спустя несколько месяцев снова наступит январь и проценты опять накапают, только уже не от 300 000 рублей, а от (140 000+3 000r) рублей.

И опять узнаем на сколько процентов долг увеличился:

И прибавим это неизвестное число к долгу:

В конечном итоге наступит момент, когда мы выплатим 240 000 рублей и освободимся от рабства перед банком! Математически это будет выглядеть в виде уравнения:

Возникла проблемка: как извлечь корень из 313 600?

Попробуем сделать это прикидкой.

Искомое число явно кончается на 0, т.к. у 313 600 два нуля на конце. Значит попробуем найти корень из 3 136, а потом к результату подпишем 0.

Подумаем, между какими числами находится корень из 3 136?

50²=2500, 60²=3600. Значит,

Число 3 136 оканчивается на 6, и дает такое окончание 4² и 6². Делаем вывод, что искомое число мало того, что находится между 50 и 60, так еще и на 6 кончается. Здесь есть только два варианта – это 54 или 56. Возведя в квадрат оба числа видим, что 56*56=3 136. Но исходное подкоренное выражение у нас 313 600, а не 3 136, значит

Задание 15 № 517574

Взяли кредит в банке на сумму 200 000 рублей под r% процентов годовых и выплатили за 2 года платежами 130 000 рублей в первый год и 150 000 рублей — во второй. Найдите r.

Каждый год долг увеличивается на r% или в раз и уменьшается на величину ежегодного платежа. Для удобства вычислений обозначим

Тогда в первый год долг составит:

Остаток будет равен:

После второго года остаток по кредиту составит: .

По условию кредит был погашен за 2 года, а это значит, что остаток за второй год равен 0, то есть:

По условию задачи значит, откуда следует, что

Задание 15 № 517575

Взяли кредит в банке на сумму 250 000 рублей под r% процентов годовых и выплатили за 2 года платежами 150 000 рублей в первый год и 180 000 рублей — во второй.

Каждый год долг увеличивается на r% или в раз и уменьшается на величину ежегодного платежа. Для удобства вычислений обозначим за

Тогда в первый год долг составит: Остаток будет равен: .

После второго года остаток по кредиту составит:

По условию кредит был погашен за 2 года, а это значит, что остаток за второй год равен 0, то есть:

По условию задачи значит, откуда следует, что

Задание 15 № 548489

Банком был выдан кредит на сумму 300 000 рублей. Ежегодно банк увеличивает сумму долга на r процентов, после чего заемщик вносит платеж. Кредит был полностью выплачен за 2 года. Найдите r, если первый платеж составил 260 тысяч рублей, а второй — 169 тысяч рублей.

Обозначим за p величину 1 + 0,01r, на который банк каждый год увеличивает размер долга. Тогда после первого года долг будет равен 300000p − 260000. После начисления процентов долг станет (300000p − 260000)p и это равно второму платежу. Получаем уравнение:

Второй корень не удовлетворяет условию задачи. Таким образом,

Задание 15 № 548560

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму кредита на r%, после чего происходит платеж. Кредит был полностью выплачен за 2 года. Найдите r, если первый платеж составил 150 000 рублей, а второй 180 000 рублей.

В июле 2020 года долг составлял 250 тыс. руб. После начисления r% он стал составлять 250 + 2,5r тыс. руб. Первая выплата была равна 150 тыс. руб. Тогда долг на июль 2021 года стал составлять 250 + 2,5r − 150 = 100 + 2,5r тыс. руб.

После второго начисления процентов сумма долга составила (2,5r + 100)(1 + 0,01r). Этот долг был погашен вторым платежом, равным 180 тыс. руб., откуда получаем уравнение (2,5r + 100)(1 + 0,01r) = 180. Из этого уравнения находим r = 20.

Задание 15 № 517503

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года.

В июле 2020 года долг составлял 147 тыс. руб. После начисления 10% он стал составлять 147 + 14,7 = 161,7 тыс. руб. Пусть первая выплата была равна x тыс. руб. Тогда долг на июль 2021 года стал составлять 161,7 − x тыс. руб.

После второго начисления процентов сумма долга составила (161,7 − x)1,1 = 177,87 − 1,1x. Этот долг был погашен вторым платежом, равным x, откуда получаем уравнение 177,87 − 1,1x = x. Из этого уравнения находим x = 84,7 тыс. руб. Поэтому банку было выплачено 2x = 169,4 тыс. руб.

Приведём решение в общем случае.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга составит S₁ = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит

По условию кредит будет погашен двумя платежами, поэтому откуда

При S = 147 000 и а = 10, получаем: b = 1,1 и

Ответ: 169 400 рублей.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть)., Задания 17 (С5) ЕГЭ 2017, Резервная волна ЕГЭ по математике 24.06.2019. Вариант 992

15 июля планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- 15-го числа 30-го месяца долг составит 500 тысяч рублей;

- к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей.

Пусть S = 1400 тысяч рублей

k = (1 + 0,01r) - повышающий коэффициент

Так как кредит был взят 15-го числа, то 1-го числа следующего месяца на взятую сумму будут начислены проценты, тогда долг составит kS рублей

Известно, что 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Пусть b - сумма, на которую уменьшался долг после совершения платежа.

15-е число 1-го месяца: (kS - b)

15-е число 2-го месяца: (kS - 2b)
.

Тогда долг 15-го числа 30-го месяца составит (kS - 30b)

Долг 1-го числа 1-го месяца: kS

Платеж со 2-го по 14-е число 1-го месяца: kS - (S-b) = kS - S + b

Долг 15-го числа 1-го месяца: (S - b)

Долг 1-го числа 2-го месяца: k(S - b)

Платеж со 2-го по 14-е число 2-го месяца: kS - kb - (S-2b) = kS - kb - S + 2b

Долг 15-го числа 2-го месяца: (S - 2b)

Долг 1-го числа 30-го месяца: k(S - 29b)

Платеж со 2-го по 14-е число 30-го месяца: kS - 29kb - (S-29b) = kS - 29kb - S + 30b

Долг 15-го числа 30-го месяца: (S - 30b) = 500 тысяч рублей

Долг 1-го числа 31-го месяца: 500k

Платеж со 2-го по 14-е число 31-го месяца: 500k

Долг 15-го числа 31-го месяца: 0 рублей

b = 30 тысяч рублей

Посчитаем общую сумму выплат:

30kS - 30S - kb(1 + … + 29) + b(1 + … + 30) + 500k = 30⋅k⋅1400 - 30⋅1400 - 30⋅k⋅435 + 30⋅465 + 500k = 42000k - 42000 - 13050k + 13950 + 500k = 29450k - 28050

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей:

Читайте также:

  
• Как сделать так чтобы одобрили кредит в тинькофф
  
• Как вернуть деньги за обслуживание карты альфа банка кредитная карта
  
• Если угнали кредитную машину которая в залоге у банка
  
• Семейная ипотека постановление правительства
  
• Организация ипотечного кредитования проблемы и перспективы презентация