В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму условия его возврата таковы 31

Обновлено: 26.04.2024

Пример 1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Решение.

Введем обозначение: – сумма кредита в рублях; .

Год	Долг на январь	Долг на июль
2021
2022
2023	$(Sm^2-58564m-58564) \cdot m$
2024	$(Sm^3-58564m^2-58564m-58564)\cdot m$

Год	Долг на январь	Долг на июль
2021
2022

Решим систему уравнений:

$\left\{\begin{matrix} Sm^4-58564m^3-58564m^2-58564m-58564=0\\ Sm^2-106964m-106964=0 \end{matrix}\right.$

$106964\frac{m+1}{m^2}=58564\frac{m^3+m^2+m+1}{m^4}$

$106964m^2-58564m^2-58564=0$

Ответ: 10%.

Пример 2. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

Решение.

Введем обозначение: S – сумма кредита в рублях.

По условию задачи составим таблицу:

Месяц	Долг на 1 число	Выплата	Долг на 15-ое число
Январь	—	—
Февраль
Март
…	…	…	…
Январь
…	…	…	…
Декабрь
Январь			0
Всего	1000 000

Составим и решим уравнение:

$S \cdot 0,02+\frac{S}{24}+\frac{23S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24}+\ldots+\frac{S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24}=1000 000$

$\frac{S}{24}\cdot 24+S \cdot 0,02 (\frac{24}{24}+\frac{23}{24}+\ldots+\frac{1}{24})=100 000$

$S+S \cdot 0,02 (\frac{24}{24}+\frac{23}{24}+\ldots+\frac{1}{24})=100 000$

$S+S \cdot 0,02 \cdot 12,5=100 000$

Ответ: рублей.

Пример 3. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Решение.

Пусть тысяч рублей — сумма, которую взяли в кредит.

Месяц	Долг до начисления процентов	Процент	Выплата
1
2
3

20
21

Всего выплатили 1604 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

$30+0,03S+30+(S-30)0,03+30+(S-60)0,03+\ldots+30+(S-570)0,03+S-600+(S-600)0,03=1604$

$600+1,63S-0,03(30+60+\ldots+570+600)-600=1604$

$1,63S=1604+0,03(30+600)10$

Ответ: тысяч рублей.

Пример 4.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Задание 15 № 506958

Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

Пусть сумма кредита S у. е., процентная ставка банка x %.

Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Антон взятую сумму возвращал в банк равными долями. Сумма, образованная применением процентной ставки, составляет:

Общая сумма, выплаченная Антоном за 6 месяцев: (у. е.). А эта сумма по условию задачи равна у. е. Решим уравнение:

«Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину»

"Антон взятую сумму возвращал в банк равными долями."

При этом решение верное, т.к. для составления формулы использована первая фраза.

S=90тр срок выплаты 3 месяца, ставка 10%

Размер кредита после 1 месяца 99. Что бы сумма долга уменьшалась равномерно (равными долями по 30), первая выплата должна составлять 39

Сумма долга уменьшается равномерно(равными долями по 30тр). Выплаты не равномерны.

Антон, спорить с Антоном по поводу задачи про Антона дело неблагодарное. и всё же

В решении нигде не говорится о том, что выплаты были одинаковыми.

Сказано, что "Антон ВЗЯТУЮ сумму возвращал в банк равными долями."

В Вашем примере сумму взятую у банка в размере 90тр Антон возвращал равными долями (по 30тр)

Здравствуйте! Необходимо всё это описывать, если пользоваться формулой Дмитрия Гущина?

Если пользоваться формулой Дмитрия Гущина, могут поставить два балла из трех за недостаточное обоснование.

Задание 15 № 509583

Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?

Пусть B_i — размер долга Жанны на конец месяца i, X_i — платеж Жанны в конце месяца i. Мы знаем, что имеет место соотношение B_i = 1,02B_{i − 1} − X_i. Кроме того, мы знаем, что последовательность (B_i) является арифметической прогрессией. При этом B₀ = 1200 тыс. руб., а B₂₄ = 0, так как в конце срока кредитования долг Жанны должен быть равен нулю. Этих двух точек достаточно, чтобы узнать всю последовательность B_i: Значит,

Поскольку X_i линейно зависит от i, последовательность X_i также является арифметической прогрессией. Значит,

Ответ: 822 тыс. рублей.

Приведём другое решение.

Ежемесячно Жанна возвращает банку по 1,2 млн : 24 = 50 тыс. руб. тела долга и выплачивает равномерно уменьшающуюся от максимального значения до нуля сумму процентов за пользование кредитом. За первый месяц это 0,02 · 1,2 млн = 24 тыс. руб. За второй месяц на 1/24 меньше то есть 23 тыс. руб., затем 22 тыс. руб. и так далее. Поэтому выплаты за 12 первых месяцев составят арифметическую прогрессию с первым членом 74, последним — 63 тыс. руб. Ее сумма равна 12(74 + 63)/2 = 822 тыс. руб.

Задание 15 № 511220

1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?

Если первый платеж банку Аркадия составил x рублей, то второй составит 2x рублей, а третий — 3x рублей, всего 6x рублей, что равно 2 395 800, то есть x = 2 395 800 : 6 = 399 300. Отсюда: 2x = 798 600, 3x = 1 197 900.

Пусть в банке Аркадий взял в кредит S рублей.

Тогда его долг 01.03.2011 составил 1,1S рублей. После первого перечисления Аркадия долг снизился до (1,1S − 399 300) руб.

01.03.2012 банк начислил проценты на долг Аркадия. Долг Аркадия стал (1,1S − 399 300) · 1,1 = 1,21S − 439 230 (руб.)

Аркадий перевел в банк 798 600 руб. Долг снизился до 1,21S − 439230 − 798600 = 1,21S − 1237830 (руб.)

01.03.2013 банк начислил проценты на оставшийся долг Аркадия. Долг Аркадия стал (1,21S − 1237830) · 1,1 = 1,331S − 1 361 613 (руб.)

Аркадий перевел в банк 1 197 900 руб. Кредит погашен полностью, долга у Аркадия нет.

Значит, 1,331S − 1 361 613 − 1 197 900 = 0 ⇔ 1,331S = 2 559 513 ⇔ S = 1 923 000.

15 июля планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- 15-го числа 30-го месяца долг составит 500 тысяч рублей;

- к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей.

Пусть S = 1400 тысяч рублей

k = (1 + 0,01r) - повышающий коэффициент

Так как кредит был взят 15-го числа, то 1-го числа следующего месяца на взятую сумму будут начислены проценты, тогда долг составит kS рублей

Известно, что 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Пусть b - сумма, на которую уменьшался долг после совершения платежа.

15-е число 1-го месяца: (kS - b)

15-е число 2-го месяца: (kS - 2b)
.

Тогда долг 15-го числа 30-го месяца составит (kS - 30b)

Долг 1-го числа 1-го месяца: kS

Платеж со 2-го по 14-е число 1-го месяца: kS - (S-b) = kS - S + b

Долг 15-го числа 1-го месяца: (S - b)

Долг 1-го числа 2-го месяца: k(S - b)

Платеж со 2-го по 14-е число 2-го месяца: kS - kb - (S-2b) = kS - kb - S + 2b

Долг 15-го числа 2-го месяца: (S - 2b)

Долг 1-го числа 30-го месяца: k(S - 29b)

Платеж со 2-го по 14-е число 30-го месяца: kS - 29kb - (S-29b) = kS - 29kb - S + 30b

Долг 15-го числа 30-го месяца: (S - 30b) = 500 тысяч рублей

Долг 1-го числа 31-го месяца: 500k

Платеж со 2-го по 14-е число 31-го месяца: 500k

Долг 15-го числа 31-го месяца: 0 рублей

b = 30 тысяч рублей

Посчитаем общую сумму выплат:

30kS - 30S - kb(1 + … + 29) + b(1 + … + 30) + 500k = 30⋅k⋅1400 - 30⋅1400 - 30⋅k⋅435 + 30⋅465 + 500k = 42000k - 42000 - 13050k + 13950 + 500k = 29450k - 28050

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей:

Экономические задачи ввели в единый государственный экзамен по математике (профильный уровень) с 2015 года. При их решении у экзаменующихся часто возникают затруднения, ведь в жизни они пока не сталкивались с кредитами и вкладами, а значит, плохо понимают условия задач и действия, выполняемые внутри них.

Разбор типовых задач (задание 17) из ЕГЭ по математике профильного уровня будет полезен не только выпускникам школ, но и любителям прикладных методов в банковской сфере.

Как решать экономические задачи?

Часть экономических задач можно решить универсальным способом — с помощью составления таблицы, которая позволит упорядочить данные по временным интервалам.

Для всех типов задач при составлении таблицы используется единый алгоритм.

Условия задач взяты с сайта РЕШУ ЕГЭ .

Задачи на равные платежи по кредиту

В задачах этого типа заёмщик всегда вносит равные суммы. При решении подобных задач надо следовать ряду советов.

Задача 1. Рассчитываем общую сумму кредита

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

Какая сумма была взята в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

S руб. — сумма кредита,
р = 0,31,
r = 131,
В = 69 690 821 руб. — ежегодная выплата.

Долг с начисленными процентами	Выплата	Остаток долга
1	S * r	B	S * r — B
2	(S * r — B) * r	B	(S * r — B) * r — B
3	((S * r — B) * r — B) * r	B	0

По последней строке составляем уравнение:

Далее последовательно раскроем скобки:

Теперь можно подставить числовые данные:

Многолетняя практика по решению реальных экзаменационных вариантов показывает, что числовые данные для задач подбираются неслучайно. Составители могут специально подбирать значения таким образом, чтобы получающиеся при вычислениях дроби можно было сократить. Поэтому, прежде чем взяться за вычисление знаменателя, надо проверить, будет ли число 69 690 821 делиться на 1,31.

Ответ: Общая сумма кредита 124 809 100 руб.

Задача 2. Рассчитываем процент кредита

31 декабря 2020 г. Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на х%), затем Пётр переводит очередной платёж. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 руб., то выплатит долг за четыре года. Если по 4 392 000 руб., то за два года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

S тыс. руб. — сумма кредита,
Х% — в десятичной дроби,
r = 1 + a,
А = 2 592 000 руб. — ежегодный платёж 1,
В = 4 392 000 руб. — ежегодный платёж 2.

Долг с начисленными процентами	Выплата	Остаток долга
1	S * r	А	S * r — А
2	(S * r — А) * r	А	(S * r — А) * r — А
3	((S * r — А) * r — А) * r	А	((S * r — А) * r — А) * r — А
4	(((S * r — А) * r — А) * r — A) * r	А	0
1	S * r	B	S * r — B
2	(S * r — B) * r	B	0

Из таблицы видно, что последнее начисление банка при каждой схеме выплат равно ежегодной выплате.

Получаем систему уравнений:

Помните о культуре вычислений и об отсутствии калькулятора.

Выражаем S из каждого уравнения:

Теперь подставляем числовые значения:

Значит, а = 1,2 — 1 = 0,2, или 20%

Ответ: Пётр взял кредит под 20%.

О чём необходимо помнить при решении экономических задач

Старайтесь предварительно упрощать выражения, используя алгебраические преобразования.

Мы разобрали алгоритм решения задач с использованием таблицы, но возможны и другие способы решений.

Еженедельная рассылка с лучшими материалами «Открытого журнала»

Без минимальной суммы, платы за обслуживание и скрытых комиссий

Для оформления продукта необходим брокерский счёт

проект «Открытие Инвестиции»

Открыть брокерский счёт

Тренировка на учебном счёте

Об «Открытие Инвестиции»

Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4

8 800 500 99 66

Согласие на обработку персональных данных

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Один из типов экономических задач — это задачи на платежи с равномерно убывающим долгом. Каждый месяц (период) основной долг уменьшается на одинаковую сумму. Ежемесячный платёж будет состоять из суммы основного долга и суммы начисленных процентов на остаток долга.

В этом случае мы имеем дело с дифференцированными платежами.

Внимание: в задачах этого типа применяется формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Задачи для разбора берутся из вариантов ЕГЭ прошлых лет, размещённых на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ .

Задача 1. Рассчитать сумму кредита

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту после полного его погашения составила 2 млн руб. (никакие округления при вычислении платежей не производятся)?

S тыс. руб. — сумма кредита,

2 млн руб. = 2000 тыс. руб.,

X тыс. руб. — ежемесячная выплата основного долга.

Суммы ежемесячного долга: S; (S — X); (S — 2 * X . S — 47 * X); (S — 48 * X); 0

S * p; (S — X) * p; (S — 2 * X) * p . (S — 47 * X) * p; (S — 48 * X) * p; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 49 * p — 24 * p) = 2000

S * (1 + 25 * 0,01) = 2000

S = 1600 тыс. руб., или 1,6 млн руб.

Ответ: 1,6 млн руб.

Задача 2. Рассчитать сумму кредита

15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,604 млн руб. (1604 тыс. руб.)?

Задача отличается от предыдущей — выплаты по основному долгу (30 тыс. руб.) осуществляются только первые 20 месяцев, а значит, в последний месяц выплата будет иной.

S тыс. руб. — сумма кредита

Суммы ежемесячного долга: S; (S — 30); (S — 60. S — 570); (S — 600); 0

Начисленные проценты: S * р; (S — 30) * р; (S — 60) * р. (S — 570) * р; (S — 600) * р; 0

Сумма выплат = Сумма кредита + Проценты

S * (1 + 21 * 0,03) — 0,03 * 6300 = 1604

1,63 * S — 189 = 1604

1,63 * S = 1604 + 189

S = 1100 тыс. руб., или 1,1 млн руб.

Ответ: 1,1 млн руб.

Задача 3. Рассчитать, на сколько месяцев планируется взять кредит

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его выплаты таковы:

1-го числа n-ого месяца долг возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?